x - Natur och Kultur

substitution
Nya typer av ekvationer kan vi ibland omforma och lösa med kända
metoder. Ett sätt att omforma en ekvation är att ersätta ett uttryck med ett
annat, enklare uttryck. Vi gör en substitution.
1175
Lös ekvationen x 4 – 8x 2 – 9 = 0
Vi ersätter x 2 med t. Då kan x 4 ersättas med t 2 och vi får
andragradsekvationen t 2 – 8t – 9 = 0
t = 4 ± √16 + 9
t = 4 ± 5
t 1 = 9 och t 2 = –1
Vi får x 2 = 9 och x 2 = –1
Ekvationen x 2 = 9 har lösningen x = ±3
Ekvationen x 2 = –1 saknar reell lösning
(men de komplexa
rötterna är x = ±i )
Svar: Ekvationen x 4 – 8x 2 – 9 = 0 har den reella lösningen x = ±3
1176
Lös ekvationen
a) (x 2 – 2) 2 – 16(x 2 – 2) + 28 = 0 b) x + √ x = 12
a) Sätt x 2 – 2 = t b) Sätt √ x = t Då blir x = t 2 .
t 2 – 16t + 28 = 0 t 2 + t – 12 = 0
t = 8 ± √64 – 28 t = – 1 2 ± √ 1 4 + 12
t = 8 ± √36 t = – 1 2 ± √ 1 4 + 48
4
t = 8 ± 6 t = – 1 2 ± 7 2
t 1 = 14 t 2 = 2 t 1 = 3 t 2 = – 4
x 2 – 2 = 14 x 2 – 2 = 2 √ x = 3 √ x = – 4
x 2 = 16 x 2 = 4 x = 9 Saknar lösning.
x = ± 4 x = ± 2
Svar: a) Lösningarna är –4, –2, 2 och 4.
b) Lösningen är 9.
√x är
positivt.
20 1.1 Algebra och polynom
Bla 3c.indb 20 2012-07-10 09.35