A Figurer og tabeller til Kapitel 3 - dirac - Roskilde Universitet

4.3 Model 654.3.9 Model for densiteten af en perturberet membranDensiteten af et system, der deles op i flere elemeter, kan findes ved ataddere del masserne V i ρ i og dividere med totalvolumet, V = ∑ i V i,¯ρ = 1 V∑V i ρ i . (4.42)V i og ρ i er henholdsvis volumet og densiteten af det i’the element. Densitetenaf en perturberet membran kan på denne måde skrives somρ mem = ρ ∗ N ∗ v ∗Vi+ ρ aN a v aV , (4.43)hvor indekset ∗ referer til den rene membran og a til det fremmede molekyle.Dette kan omskrives tilρ mem = ρ ∗ 11 + νn + ρ νna1 + νn , (4.44)hvor ν = va / v∗ og n = N a / N∗ . Det antages at ρ ∗ og ρ a er konstante, hvilketsvarer til en ideal blanding. I grænsen for små perturbationer, νn ≪ 1,gælder atρ mem = ρ ∗ + νn(ρ a − ρ ∗ ), (4.45)ξidet1+ξ → ξ og 11+ξ→ 1 − ξ for ξ → 0 [72].At ρ ∗ og ρ a er konstante, er ikke nødvendigvis en god model idet,der vil forkomme pakning af molekylerne. Dette ses bla. i simuleringerne(afsnit 3.5), i artiklen af Aagaard et al. [2] og i artiklen af Edholm &Nagel [19].Omskrives summen i ligning 4.42 til et integral findes at¯ρ mem =1(z b − z a )A∫ zbz aρ rel (z)Adz = 1 D∫ zbz aρ rel (z)dz, (4.46)hvor D er tykkelsen af dobbeltlaget.For den symmetriske model gælder det at ∫ ρ rel = ρ 0 (2A−1) (ligning4.19).Antages det at massedensiteten og elektrondesiteten er proportionale,se afsnit 4.3.4, ses at for A > 1 / 2 er vesiklerne tungere end solventet og forA < 1 / 2 er de lettere end solventet. For at finde den numeriske størrelseaf membranens densitet er det nødvendigt at kende ρ 0 og D forudenproportionalitetskonstanten i ligning 4.32.Sammenholdes ligning 4.19, 4.45 og 4.46 findes det at,A − 1 / 2 = 2Dρ −10 (ρ∗ + (ρ a − ρ ∗ )νn). (4.47)Denne ligning giver en fysisk fortolkning af A parameteren i ligning 4.18.A − 1 / 2 er den relative densitet af dobbeltlaget (i forhold til solventet)målt i enheder af 2Dρ −10 .