MATLAB - Eine Einführung - TUM

1.4 Erweiterung
Abbildung 1.1: Kubischer Spline der Wurzelfunktion
Eine weitere Qualität von MATLAB ist die einfache Möglichkeit vorhandene Algorithmen zu ersetzen.
Wir wollen dies an der Funktion kspline vorführen.
Bei Beispielen mit wenig Knotenpunkten arbeitet kspline recht schnell, wird die Zahl der Knotenpunkte
jedoch groß, wird die Funktion überproportional langsamer, auch der Speicherbedarf steigt stark
an. Die Erklärung hierfür ist, dass die Zeit für das Lösen des größer werdenden Gleichungssystems (1.1)
n Zeit (1000 Ausführungen) Speicher Zeit (A dünn) Speicher (A dünn)
100 0.79sec 93kB 0.87sec 17kB
200 2.57sec 342kB 1.33sec 34kB
400 32.00sec 1309kB 2.44sec 68kB
800 138.00sec 5118kB 4.85sec 137kB
1600 570.00sec 20237kB 9.64sec 275kB
Tabelle 1.1: Laufzeiten von kspline
nicht proportional mit der Anzahl der Unbekannten wächst. Die Matrix ist jedoch nur dünn besetzt (fast
alle Einträge sind Null) und hat eine sehr einfache Struktur (Tridiagonal). Diese Tatsache wollen wir im
Folgenden ausnutzen.
MATLAB unterstützt dünnbesetzte Matrizen, hierbei werden im wesentlichen nur die Einträge gespeichert,
die von Null verschieden sind. Zusätzlich erkennt der Gleichungssystemlöser die Bandstruktur der
Matrix und verwendet effiziente Algorithmen um das System zu lösen. Das einzige was wir machen müssen
um diese Funktionen zu verwenden ist die Matrix A dünn besetzt zu erzeugen, alles andere übernimmt
MATLAB für uns. Dies können wir machen, in dem wir z.B. die Zeile 9 durch die folgende ersetzen:
A = 2*speye(n) + spdiags([[lambda, 0]’, [mu, 0]’], [1, -1], n, n);
Die neue Version berechnet die Lösung der Interpolationsaufgabe in optimaler Komplexität: Bei Verdoppelung
der Punkte verdoppelt sich auch die Zeit (und Speicherbedarf) zum Berechnen des Splines (s.
Tabelle 1.1).
1.5 Zusammenfassung
Wir haben in diesem Kapitel gesehen wie man einen Algorithmus mit wenigen Zeilen (25) in MATLAB
implementiert und sich das Ergebnis grafisch darstellen lassen kann.
Zusätzlich konnten wir durch Ändern nur einer Zeile einen nicht optimale Methode in eine mit linearer
Laufzeit umwandeln. MATLAB übernimmt die komplette Arbeit und verwendet automatischen einen
optimalen Algorithmus um das Gleichungssystem zu lösen.
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