MATLAB - Eine Einführung - TUM

V =
D =
0.7071 0.7071
0.7071 0.7071
1 0
0 1
Wie man an diesem Beispiel auch sieht, normiert MATLAB die Eigenvektoren immer bzgl. der 2-Norm.
Falls A eine hermitesche Matrix ist, d.h. A = A T , gibt es nur reelle Eigenwerte und eine Orthonormalbasis
aus Eigenvektoren. So eine Basis ist in V gespeichert.
>> [V,D]=eig([2 -1;-1 1])
V =
-0.5257 -0.8507
-0.8507 0.5257
D =
0.3820 0
0 2.6180
Um die Kondition der Berechnung der einzelnen Eigenwerte zu berechnen, ist der Befehl [V,D,s]=condeig(A)
implementiert. Die i-te Stelle im Vektor s entspricht der Kondition des i-ten Eigenwert.
>> [V,D,s]=condeig([2 0.9;200 5]);
>> [diag(D)’;s’]
ans =
-10.0000 17.0000
7.4416 7.4416
Wenn man eine sehr große quadratische Matrix A hat und sich nur für die 6 größten Eigenwerte
interessiert, kann man sich durch eigs(A) eine Approximation an diese Eigenwerte anzeigen lassen. Für
weitere Informationen help eigs.
5.6 Matrixfunktionen
Zum Lösen gewöhnlicher Differentialgleichungen wird oft die Exponentialfunktion mit einer Matrix als
Argument benötigt. Diese ist auch wie folgt definiert:
Von MATLAB wird dies direkt unterstützt:
expm(A)
exp(A) =
wobei A eine quadratische n × n Matrix ist
Anmerkung: Im Gegensatz zu der Funktion expm operiert exp nur auf den einzelnen Komponenten
der Matrix A!
Weiterhin sind in MATLAB folgenden Matrixfunktionen definiert:
∞
i=1
• logm: Der Logarithmus einer Matrix als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, d.h. logm(expm(A))=A
• sqrtm: Quadratwurzel aus A, d.h. B=sqtrm(A) mit B · B = A
• funm: Mit Hilfe von funm können Funktionen als Argument Matrizen übergeben werden. Zum Beispiel
funm(A,@sin) berechnet den Sinus der Matrix A.
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A i
i