MATLAB - Eine Einführung - TUM

Kapitel 5
Lineare Algebra mit MATLAB
5.1 Norm und Kondition
Die Norm eines Vektors oder einer Matrix kann mit dem Befehl norm berechnet werden.
Befehl:
norm(A,p)
wobei A eine m x n Matrix und p=1,2,inf oder fro ist.
p Bedeutung
1 1-Norm, d.h. max. Spaltensumme
2 Spektralnorm, max. Singulärwert, (default)
inf Maximumsnorm, d.h. max. Zeilensumme
fro Frobeniusnorm, definiert als m
i=1
m
i=1 ai,j
Für höherdimensionale Matrizen sind Normberechnung für p = 2 relativ aufwendig und kostenintensiv
– daher werden oft Abschätzungen verwendet.
normest(A,tol)
Mit Hilfe von normest wird die 2-Norm von A bis auf die durch tol gegebene Genauigkeit berechnet.
Defaultwert für tol=1e-16.
Oft werden lineare Gleichungssystem auf das Verhalten von Störungen untersucht (so genannten
Stabilitätsanalyse). Ein Indikator hierfür ist die Kondition einer Matrix A, definiert als
κp(A) = Ap · A −1 p
Je nachdem ob κ groß bzw. klein ist, ist das System schlecht oder gut konditioniert.
Befehl:
cond(A,p)
p ist wie für norm definiert.
Anmerkung:
Normalerweise wird die Kondition nur für quadratische, nicht singuläre Matrizen berechnet. Für p = 2
kann auch die Kondition von rechteckigen Matrizen berechnet werden, wobei dann A ( − 1) durch die
Pseudoinverse (genauer die Moore-Penrose-Inverse) ersetzt wird.
Auch für die Kondition existieren Abschätzungsfunktionen, wie condest und rcond:
[c,v]=condest(A)
c Skalar
v Vektor
mit:
und A · v1 = A1∗v1
c
Befehl:
c ≤ κ1(A)
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