MATLAB - Eine Einführung - TUM

Kapitel 1
Motivation
Bevor wir uns die Funktionen von MATLAB im Detail anschauen, wollen wir an einem kurzen Beispiel
die schnelle und effiziente Umsetzung eines Algorithmus in MATLAB demonstrieren. Wie werden hier
die Vorzüge gegenüber klassischen Programmiersprachen feststellen.
1.1 Interpolation durch kubischen Splines
Bei der Interpolation ist eine stetige Funktion S : R → R gesucht, die eine gegebene Menge von Knotenpunkten
(xi, yi) ∈ R×R, i = 0, . . . , n mit xi < xj, i < j interpoliert, d.h. S(xi) = yi für i = 0, . . . , n. Häufig
benötigt man, dass die Funktion S mindestens zweimal stetig differenzierbar ist, dann bieten sich kubische
Splines zur Interpolation an. Ein kubischer Spline ist eine C 2 ([x0, xn]) Funktion, die eingeschränkt
auf ein Intervall [xi, xi+1], i = 0, . . . , n − 1 ein Polynom 3. Grades ist. Diese Aufgabe ist nur dann eindeutig
lösbar, wenn man noch zusätzliche Informationen am Rand vorgibt. Dafür gibt es mehrere Varianten,
eine davon ist, dass die zweiten Ableitungen in den Randpunkten verschwinden (S ′′ (x0) = 0 = S ′′ (xn)).
In diesem Fall nennt man den Spline natürlichen Spline.
Eine Möglichkeit einen natürlichen Spline zu berechnen, ist die Momentenmethode. Wir wollen in diesem
Rahmen nicht auf deren Herleitung eingehen sondern verweisen auf [1]. Als Momente Mi bezeichnet
man die zweiten Ableitungen an den Stützstellen xi, also Mi = S ′′ (xi). Hat man sie berechnet, kann man
die Koeffizienten des Polynoms
Pi(x) = αi + βi(x − xi) + γi(x − xi) 2 + δi(x − xi) 3
auf dem Intervall [xi, xi+1] direkt angeben (hi+1 = xi+1 − xi):
αi = yi
βi = yi+1 − yi
hi+1
γi = Mi
2
δi = Mi+1 − Mi
6hi+1
− 2Mi + Mi+1
hi+1
6
Die Momente sind Lösung des linearen Gleichungssystems
⎛
2
⎜µ1
⎜
⎝
λ0
2
µ2
λ1
2
. ..
λ2
. ..
µn−1
. ..
2
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
λn−1⎠
2
µn
7
M0
M1
.
Mn−1
Mn
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ = ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
d0
d1
.
dn−1
dn
⎞
⎟
⎠
(1.1)