MATLAB - Eine Einführung - TUM

mit A einer n × n Matrix. Für gewisse Zwecke, z.B. zur Lösung eines least squares Problem ist die
so genannte Pseudoinverse einer Matrix A von Interesse. Die Pseudoinverse X von A erfüllt folgende
Bedingungen:
Befehl:
pinv(A)
XAX = X
AXA = A
(XA) T = XA
(AX) T = AX
wobei A hier nun auch eine rechteckige m × n Matrix sein kann.
5.4 Zerlegungen
Oben wurde bereits erwähnt, dass der ’\’ Operator lineare Gleichungssysteme löst, bzw. Näherungslösungen
dazu angibt. MATLAB verwendet dazu geeignete Algorithmen, die sich je nach Matrix unterscheiden
können.
MATLAB unterstützt aber auch das Zerlegen von Matrizen mit speziellen Zerlegungen, z.B. die LRoder
Cholesky-Zerlegung.
5.4.1 LR-Zerlegung
Befehl:
[L,R]=lu(A) \\ [L,R,P]=lu(A)
L untere Dreiecksmatrix mit 1 auf der Hauptdiagonale
R obere Dreiecksmatrix
wobei A eine quadratische n × n Matrix ist.
Nicht jede Matrix A kann auf diese Weise zerlegt werden, es existieren Matrizen bei denen ’Pivoting’
notwendig ist. Hierbei gibt der lu Befehl eine zusätzliche Permutationsmatrix P aus, sodass gilt: P ∗ A =
L ∗ R. Wird P bei der Rückgabe von lu nicht aufgefangen so wird L = P T · L.
Mit Hilfe der Zerlegung kann ein lineares Gleichungssystem dann wie folgt gelöst werden:
[L,R]=lu(A);
x=R\(L \ b);
5.4.2 Cholesky-Zerlegung
Falls A eine symmetrische, positiv definite (s.p.d.) Matrix ist, d.h. sie genügt:
1. A T = A
2. ∀x : x T Ax ≥ 0
existiert, die Cholesky Zerlegung von A in eine obere Dreiecksmatrix R, so dass gilt:
A = R T · R
Anmerkung:
In vielen Lehrbüchern wird die Cholesky-Zerlegung mit unteren Dreicksmatrizen L beschrieben. Beide
Formulierungen sind äquivalent, da für L = R T gilt:
Befehl:
R=chol(A)
[R,p]=chol(A)
A = L · L T
wobei A eine quadratische n × n Matrix ist. Falls A nicht positiv definit ist, ist p eine ganze Zahl größer
0, andernfalls gleich 0.
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