MATLAB - Eine Einführung - TUM

mit (j = 1, . . . , n − 1)
hj
λj =
hj + hj−1
µj = 1 − λj
6
dj =
hj + hj−1
Für den natürlichen Spline setzt man noch
yj+1 − yj
hj
λ0 = d0 = dn = µn = 0. 1
1.2 Implementierung in MATLAB
− yj
− yj−1
.
hj−1
In diesem Abschnitt werden uns ein kurzes MATLAB Skript ansehen, welches die Koeffizienten der
Polynome die den kubischen Spline beschreiben ausrechnet. Da dies nur eine kurze Motivation für die
Verwendung von MATLAB sein soll, werden wir die Implementierung nicht in voller Ausführlichkeit
besprechen. Die genaue Funktionsweise sollte mit Hilfe der späteren Ausführungen verständlich werden.
Die Funktion kspline bekommt als Eingabeparameter ein Vektor x mit den Stützstellen und ein
Vektor y mit den zu interpolierenden Werten. Zurückgegeben wird eine (n − 1) × 4-Matrix, in deren i-ter
Zeile die Koeffizienten des kubischen Polynoms des Intervalls [xi, xi+1] stehen.
1 function [ P ] = k s p l i n e ( x , y )
2 n = length ( x ) ;
3 j j = 1 : n−1; j = 2 : n−1;
4 h = [ x ( j j +1)−x ( j j ) ] ;
5 lambda = [ 0 , h ( j +1)./( h ( j )+h ( j + 1 ) ) ] ;
6 mu = [1−lambda ( j ) , 0 ] ;
7 d = [ 0 , ( 6 . / ( h ( j )+h ( j + 1 ) ) ) . ∗ ( ( y ( j +1)−y ( j ) ) . / h ( j +1) . . .
8 − ( y ( j )−y ( j −1))./ h ( j ) ) , 0 ] ;
9 A = 2∗eye ( n ) + diag ( lambda , 1) + diag (mu, −1);
10 M = (A \ d ’ ) ’ ;
11 alpha = y ( j j ) ; gamma = M( j j ) / 2 ;
12 beta = ( y ( j j +1)−y ( j j ) ) . / h ( j j +1) − h ( j j +1).∗(2∗M( j j )+M( j j +1))/6;
13 d e l t a = (M( j j +1)−M( j j ) ) . / ( 6 ∗ h ( j j +1));
14 P = [ alpha ’ , beta ’ , gamma’ , delta ’ ] ;
15 end
In der ersten Zeile des Skripts speichern wir die Anzahl der Punkte in der Variable n und erzeugen
Vektoren jj und j in dem die Zahlen von 1 bzw. 2 bis n − 1 stehen. Dann berechnen wir die Länge
der Intervalle [xi, xi+1] und speichern diese in h. Auf dieselbe Weise berechnen wir die λi, µi und di. Die
Einträge λ0, µn, d0 und dn werden hierbei explizit auf Null gesetzt. Man sieht, wie sich die Formeln aus
dem vorherigen Abschnitt nahezu eins zu eins im MATLAB Code wiederfinden.
In Zeile 9 erzeugen wir die Matrix aus (1.1) indem wir auf eine mit zwei multiplizierte Einheitsmatrix
die Vektoren lambda und mu auf die Nebendiagonalen addieren.
Der Aufruf M = (A \ d’)’; löst nun das Gleichungssystem (1.1). Der hierbei verwendete Backslash-
Operator wählt automatisch das Verfahren welches das Gleichungssystem möglichst effizient löst, z.B.
eine Cholesky-Zerlegung bei einer symmetrisch positiv definiten Matrix. Da Vektoren in MATLAB standardmäßig
Zeilenvektoren sind, müssen wir die rechte Seite d mit ’ transponieren und die Lösung auf die
selbe Weise zurück in einen Zeilenvektor transformieren. Alternativ hätten wir auch den Slash-Operator
verwenden können, um das zweimalige Transponieren zu vermeiden: M = d / A;.
Nachdem die Momente bestimmt sind, berechnen die letzten Zeilen der Funktion die Koeffizienten
des Polynoms und schreiben sie in die (n − 1) × 4-Matrix P. Damit ist alles berechnet.
An diesem Beispiel kann man gut erkennen, wie effektiv der gegebene Algorithmus implementiert
wurde. Wir sind komplett ohne Kontrollstrukturen wie z.B. Schleifen ausgekommen. Zusätzlich lässt sich
der Programmcode sehr gut lesen und ist gut verständlich.
1 Mit dieser Wahl folgt sofort M0 = S ′′ (x0) = Mn = S ′′ (xn) = 0
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