BuMa_2010_04 - Deutsche Bunsengesellschaft für Physikalische ...

DEUTSCHE BUNSEN-GESELLSCHAFT
normierte Werte
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
MBV GP TW
3,7E-4
2,8E-27
7,0E-3
0,0
0 5 10 15 20
Protonenenrgie Protonenenergie (keV)
Abb. 3. Maxwell - Boltzmann - Energieverteilung (MBV, berechnet für 15 Mio .
K), Tunnelwahrscheinlichkeit (TW) und Gamow-Peak (GP), aufgetragen gegen
die Protonenenergie (normierte Darstellung). Die eingetragenen Ziffern geben
die Absolutwerte der Funktionen bei den jeweiligen Protonenenergien
an; TW dimensionslos; MBV 1/V; GP m³/(s V).
Es gibt also relativ viele Teilchen niedriger Energie, deren Tunnelwahrscheinlichkeit
äußerst gering ist, und umgekehrt gibt
es extrem wenige Teilchen hoher Energie, deren Tunnelwahrscheinlichkeit
relativ hoch ist.
Das Produkt der Tunnelwahrscheinlichkeit D E bei der Energie
E und der Verteilungsfunktion bei gleicher Energie dN E/(N dE)
gibt die Anzahl der fusionsfähigen Teilchen der Energie zwischen
E und E + dE relativ zur Gesamtzahl N aller Teilchen
an. Das Produkt hat irgendwo zwischen den Extremen niedriger
Energie, bei dem die Tunnelwahrscheinlichkeit gegen Null
geht, und hoher Energie, bei dem die Verteilungsfunktion gegen
Null strebt, ein Maximum.
Damit die Fusionsreaktion der fusionsfähigen Teilchen im
Energiebereich zwischen E und E + dE wirklich stattfi ndet,
müssen diese zusammenstoßen; wir müssen – wie in Gl. (7)
– ihre Stoßzahl berechnen, die durch die mittlere Relativgeschwindigkeit
und den Stoßquerschnitt der Protonen im angegebenen
Energiebereich gegeben ist.
Die mittlere Relativgeschwindigkeit der Protonen mit der Energie
E und der reduzierten Masse μ ist u E = (2 E / μ) 1/2 .
Wir hatten in Gl. (7) wie bei chemischen Reaktionen als Reaktionsquerschnitt
s den aus dem Protonendurchmesser folgenden
geometrischen Querschnitt (p d 2 ) eingesetzt. Wir müssen
aber den Wellencharakter der Protonen berücksichtigen, der
durch ihre de-Broglie-Wellenlänge l E (und damit durch deren
Impuls p E = m u E bzw. Energie E) beschrieben wird und der ihre
wirksame Größe bestimmt:
2
sE ≈ p lE (12)
lE = h / pE = h / (m uE) = h / (2 m E) 1/2 ;
Bei einer Energie von 10 keV hat ein Proton eine Wellenlänge
von 3•10 -13 m (zum Vergleich: Protonendurchmesser
2,6•10 -15 m); damit ist sein Reaktionswirkungsquerschnitt
etwa 10.000-mal größer als sein geometrischer Querschnitt.
ASPEKTE
Die Werte für die Anzahl der Protonen dN E/(N dE), ihre wellenmechanische
Tunnelwahrscheinlichkeit D E, ihre Relativgeschwindigkeit
u E und ihren wellenmechanischen Reak tionsquerschnit t
s E, alle bei der Energie E, werden nun als Produkt zusammengefasst
zur differentiellen Fusionsgeschwindig keitskonstante
(Dimension m 3 /s/V).
In Abb. 3 ist als Funktion der Energie aufgetragen
(schwarzer Kurvenzug). Die als Gamow-Peak bezeichnete
Kurve hat unterhalb 2 und oberhalb 16 MeV vernachlässigbar
kleine Werte; sie hat ein Maximum von 2,8•10 –27 (m 3 /s/V)
bei 5,8 keV. − Durch Integration des Gamow-Peaks über die
Energie (in Volt) wird die integrale Fusionsgeschwindigkeitskonstante
= 1,6•10 –23 m 3 /s erhalten (≈ Produkt aus
Halbwertsbreite (5,4 keV) und Höhe des Gamow-Peaks).
Der klassische Ausdruck der Fusionsgeschwindigkeit Gl. (7) wird
ersetzt durch den die Wellenmechanik enthaltenden Ausdruck
v = ½ (N / V) 2 (13)
Mit den oben angegebenen Werten für die Protonendichte
folgt aus Gl. (13) die Fusionsgeschwindigkeit im Sonnenkern
v ≈ 6•10 40 /(m 3 s). − Der tatsächliche Wert ist in der Größe von
nur 3•10 13 /(m 3 s), wie weiter oben gezeigt.
Der Unterschied von weit über 20 Zehnerpotenzen liegt nicht
in der mit der Wellenmechanik aufgebesserten klassischen
Theorie der Reaktionskinetik; er ist vielmehr dadurch bedingt,
dass die die Fusion auf der Sonne auslösende pp-Reaktion den
schwachen Wechselwirkungen (Emission eines Neutrinos) unterliegt
und daher extrem verzögert ist. Das Proton kann zwar – wie
beschrieben – schnell durch den Potentialwall eines anderen
hindurchtunneln, da aber die Stabilisierung des entstehenden
hoch angeregten Zwischenkerns ( 2 He) durch Emission eines
Elektron-Neutrino-Paars nur langsam erfolgt, kann es ebenso
schnell wieder heraustunneln. Der Zusammenstoß zwischen
den beiden Protonen war also erfolglos. Dies wird durch den
nuklearen oder astrophysikalischen S-Faktor beschrieben, mit
dem die Fusionsgeschwindigkeit nach Gl. (13) zu korrigieren ist.
Er kann jedoch experimentell nur bei hohen Energien (> 1 MeV)
bestimmt werden, bei denen die Reaktionsausbeute hoch genug
für die Messungen ist. Bei den hier interessierenden niedrigen
Energien (um 10 keV) ist er experimentell nicht zugänglich. –
Wir werden jedoch im nächsten Abschnitt bei der Besprechung
der Fusionsreaktion von Deuterium und Tritium, die den starken
Wechselwirkungen unterliegt, sehen, dass unsere Rechnungen
sehr gut mit dem Experiment übereinstimmen.
So können wir hier abschließend nur qualitativ argumentieren:
Die schwache Wechselwirkung verhindert, dass ein Wasserstoffstern
wie unsere Sonne wie eine Wasserstoffbombe explodiert;
die Sonne kann über 10 Mrd. Jahre stabil brennen.
Sie hat jetzt ein Alter von etwa 4,5 Mrd. Jahren.
Nach der Wasserstoff-Brennphase wird sich der Sonnenkern
unter Temperatursteigung kontrahieren, dann setzt die Helium-Brennphase
ein, der sich nach weiteren Kontraktionen
mit Temperatursteigerungen weitere Brennphasen bis zur Si-
Brennphase anschließen.
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