Notizen zu Mechanik

1.5
Additionstheoreme
Unter Additionstheoreme werden hier Beziehungen der trigonometrischen
Funktionen aufgelistet, die auf den ersten Blick nicht unbedingt ersichtlich
sind. Sie sind allgemeingültig und deshalb für beliebige Winkel verwendbar.
Es folgt eine unvollständige Auflistung wichtiger Zusammenhänge.
Die folgende Aussage kann über die Parame-
trisierung am Einheitskreis (x 2 + y 2 = 1 mit
x = cos (t) und y = sin (t)) oder an rechtwinklig-
sin 2 (α) + cos 2 (α) = 1 (8.1)
en Dreiecken über den Satz des Pythagoras und der Relation der Katheten zur Hypothenuse
(Gleichungen (7.4) und (7.5)) bestätigt werden.
α+β
r
r cos (α)
α
β
r cos (α + β)
r cos (α) cos (β)
r sin (α) cos (β)
β
r sin (α)
Unabhängig von der Herlei-
tungsart sind diese Additions-
theoreme für beliebige Winkel
α und β gültig.
Aus den Gleichungen ergeben
sich mit α = β die Gleichun-
gen (8.4) und (8.5) für den dop-
pelten Winkel.
r sin (α) sin (β)
r sin (α + β)
r cos (α) sin (β)
Die letzten hier aufgeführten Additi-
onstheoreme zeigen die Abhängigkeit
vom halben Winkel und können bei-
spielsweise mit Hilfe von Gleichung
(8.1) und (8.5) hergeleitet werden.
Als nächstes wird eine Strecke r betrachtet, an
deren Ende die Winkel α und β anliegen. Zu-
erst werden die Katheten eines rechtwinkligen
Dreiecks mit r als Hypotenuse beim anliegen-
den Winkel α bestimmt. Beide Katheten sind
gleichzeitig wieder Hypotenusen rechtwinkliger
Dreiecke mit dem Winkel β. Zeichnet man diese
beiden Dreiecke neben dem großen rechtwink-
ligen Dreieck mit der Hypotenuse r über dem
Winkel α+β ein, so kann das Additionstheorem
für eine Winkelsumme abgelesen werden.
sin (α + β) = sin (α) cos (β) + sin (β) cos (α) (8.2)
cos (α + β) = cos (α) cos (β) − sin (α) sin (β) (8.3)
8
sin (2α) = 2 sin (α) cos (α) (8.4)
cos (2α) = cos 2 (α) − sin 2 (α) (8.5)
α
sin =
2
1
2 − 2 cos (α) (8.6)
2
α
cos =
2
1
2 + 2 cos (α) (8.7)
2