Notizen zu Mechanik

y
1.7
Koordinatentransformation
Annahmen Rechtssystem
Als Transformation werden Verschiebungen und Drehungen bezeichnet. In
diesem Abschnitt werden nur Drehungen und Spiegelungen des Koordina-
tensystems betrachtet. Die dazugehörigen Transformationsmatrizen sind
konstant und orthogonal (bzw. die Vektoren der Matrizen orthonormal).
x
y
′ x′
α
Da das Koordinatensystem oft frei gewählt werden kann, kann
es erforderlich sein, Vektoren von ein Koordinatensystem in
z
z
′ ein anderes zu transformieren. Dazu wird ein Vektor r ′ K aus
dem mit K ′ bezeichnetem System an die Drehmatrix vom gestrichenen ins ungestrischene
System multipliziert (CKK ′). Der Vektor rK ist das Ergebnis, das mit Koordinaten des
K-Systems den gleichen Vektor beschreibt. Mit der allgemeinen Drehmatrix aus Gleichung
(12.1) kann jede Verdrehung und Spiegelung dargestellt werden. 8
rK = CKK ′ r′ K
⇔
⎛ ⎞
rx ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ry⎟
⎝ ⎠
rz
=
⎡
cos (x, x
⎢
⎣
′ ) cos (x, y ′ ) cos (x, z ′ )
cos (y, x ′ ) cos (y, y ′ ) cos (y, z ′ )
cos (z, x ′ ) cos (z, y ′ ) cos (z, z ′ ⎤ ⎛
r
⎥ ⎜
⎥ ⎜
⎥ ⎜
⎦ ⎝
)
′ x
r ′ y
r ′ ⎞
⎟
⎠
z
Statt der Transformation vom ungestrichenen ins ge-
strichene System kann auch der umgekehrte Fall ge-
sucht sein. Dazu gilt der rechts aufgezeigte Zusammen-
hang, dass die Transponierte der Rücktransformation entspricht.
y
z
CKK ′ =
y
x
′
z ′
x ′
α
⎡
⎤
cos (α)
⎢
⎢sin
(α)
⎣
− sin (α)
cos (α)
0
⎥
0⎥
⎦
0 0 1
CKK ′ = CT K ′ K
(12.1)
(12.2)
In allen Fällen, in denen die Drehachse auf einer Ko-
ordinatenachse liegt (wie die z-Achse links), kann die
Drehmatrix aus Gleichung (12.1) recht einfach bestimmt
werden: Auf der Hauptdiagonalen befinden sich posi-
tive Kosinusterme und eine Eins in der Koordinate der
Drehachse. In der Spalte und Zeile, die kreuzförmig
auf die Eins treffen, sind Nullen. Die beiden übrigen
Terme sind ein positiver und ein negativer Sinusterm. Wie auch im Bild zu sehen ist, ist
ein Winkel zwischen der einen Koordinatenrichtung vor der Drehung und der anderen nach
der Drehung größer als 90 ◦ (hier: x–y ′ ). In der entsprechenden Position (vgl. Matrix in
Gleichung (12.1)) steht der negative Sinusterm. 9
8 Es können somit auch Linkssysteme in Rechtssysteme überführt werden und umgekehrt.
9 Da cos (90 ◦ + α) = −sin(α) – siehe Gleichung (8.3).
12