Notizen zu Mechanik

2.7
Schwerpunkte
Annahmen starres System
statisch bestimmt
homogene Verteilung
Die Gewichtskraft greift im Schwerpunkt an. Mehrere Teilkörper können
als Gesamtsystem betrachtet werden, wenn die gewichtete Summe der
einzelnen Gewichtskräfte im Schwerpunkt angenommen wird. Neben dem
Massenschwerpunkt können Linien-, Flächen- und Volumenschwerpunkte
berechnet werden (jeder Schwerpunkt einer homogenen Verteilung). Bei
symmetrischen Körpern liegt der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse.
a) Zeichnerische Bestimmung des Schwerpunktes:
S1
S2
S3 S1
S2
S3 S1
Zeichnerisch kann der Gesamtschwerpunkt eines Systems mit n Elementen in n Schritten
ermittelt werden. Im ersten Schritt werden alle Einzelschwerpunkte ermittelt. Jeder
weitere Schritt besteht daraus, zwei Schwerpunkte mit einer Linie zu verbinden und durch
einen neuen zu ersetzen bis nur noch der Gesamtschwerpunkt übrig bleibt. Die Lage des
gemeinsamen Schwerpunktes kann durch die Teilverhältnisse (Massen/ Volumen/ Flächen/
Linien) bestimmt werden.
ANS
Gesucht ist der Schwerpunkt von zwei Teilkörpern. Die Gewichtung ist
über die Art des Schwerpunktes bestimmt (Massen/ Volumen ...). Hat der
erste Teilkörper K1 die Gewichtung G1 und Teilkörper K2 die Gewichtung
G2, so teilt der Schwerpunkt die Verbindungslinie von K1 zu K2 im
Verhältnis G2:G1. Das heißt, von K1 aus ist der Schwerpunkt G2
G1+G2 der
Verbindungslinie entfernt, von K2 aus G1 . Bei gleicher Gewichtung
G1+G2
liegt der Schwerpunkt in der Mitte der Verbindungslinie.
b) Rechnerische Bestimmung des Schwerpunktes:
Ist die Lage des Schwerpunktes un-
bekannt, so kann sie jeweils für ei-
ne Koordinatenrichtung folgender-
xs =
x dA
dA =
xEnde yEnde
xStart yStart
xEnde yEnde
xStart yStart
x dy dx
dy dx
S2
S3
ANS
(26.1)
maßen bestimmt werden: In x-Richtung bezeichnet xs den Schwerpunktsabstand und
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