Notizen zu Mechanik

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Dabei ist r T ein Zeilenvektor der Dimension 1 × m und s ein Spaltenvektor der Dimension m × 1. Das Ergebnis ist immer ein Skalar. 6 ANS r Das Skalarprodukt ist das Produkt der gleichgerichteten Anteile von zwei Vektoren. pr→s s Mit Hilfe des Skalarprodukts kann auch die Projektion von einem Vek- tor r auf einen anderen Vektor s pr→s = ANS < r, s > |s| 2 s (10.1) durchgeführt werden. Zuerst wird aus dem Skalarprodukt der gleichgerich- tete Anteil von r in die Richtung von s bestimmt ( ). Anschließend |s| wird er mit der Richtung von s multipliziert ( s ), was Gleichung (10.1) |s| ergibt. Schließlich kann aus zwei Vektoren noch das Kreuzprodukt gebildet werden. Es entsteht ein Vektor, der senkrecht auf der aufgespannten Ebene der beiden Ausgangsvektoren steht. Der Betrag des neuen Vektors entspricht der Fläche des Parallelogramms, das von den ersten beiden Vektoren aufgespannt wird. y z Beispiel x r r × s rz ry rx sx sy s |r × s| sz ⎛ ⎜ r × s = ⎜ ⎝ rx ⎟ ry⎟ rz ⎞ ⎛ ⎠ × ⎜ ⎝ sx ⎟ sy⎟ sz ⎞ ⎛ rysz − rzsy ⎠ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−rxsz + rzsx⎟ ⎝ ⎠ rxsy − rysx Berechnung von Kreuzprodukten – z. B. mit der Regel von Sarrus: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ rx ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ry⎟ ⎝ ⎠ × sx ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜sy⎟ ⎝ ⎠ = rz sz rx sx ex rx sx ry sy ey ry sy rz sz ez rz sz = rxsyez + sxeyrz + exrysz − rzsyex − szeyrx − ezrysx ⎛ ⎞ rysz − rzsy ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜−rxsz + rzsx⎟ ⎝ ⎠ rxsy − rysx Dazu schreibt man die beiden Ausgangsvektoren, einen Achsenvektor T und nochmal die Ausgangsvektoren nebeneinander. An- ex ey ez schließend werden erst die Terme diagonal von links oben nach rechts unten positiv miteinander multipliziert und dann dann diagonal von links unten nach rechts oben negativ. Der Achsenvektor zeigt an, zu welcher Koordinate der jeweilige Term gehört. ⎞ (10.2) 6 Die Multiplikation sr T ist auch definiert und ergibt eine m × m Matrix (das dyadische Produkt). 10 Beispiel
EXT Abhängig vom Typ des Koordinatensystems (Links- oder Rechtssystem) ändert sich auch das Kreuzprodukt. f y e z b) Matrizen z ′ x c b a d In beiden Systemen wird von den gleichen Vektoren das Kreuzprodukt gebildet: ⎛ ⎞ a ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ RS: ⎜b⎟ ⎝ ⎠ c × ⎛ ⎞ d ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜e⎟ ⎝ ⎠ f = ⎛ ⎞ bf − ce ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−af + cd⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ae − bd a ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ LS: ⎜ b ⎟ ⎝ ⎠ −c × ⎛ ⎞ ⎜ ⎝ d ⎟ e ⎟ ⎠ −f = ⎛ ⎞ −bf + ce ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ af − cd ⎟ ⎝ ⎠ ae − bd Um Probleme zu vermeiden und Einheitlichkeit zu wahren, werden als Konvention immer nur Rechtssysteme verwendet (siehe Abschnitt 2.1). EXT Haben die Vektoren sowohl mehrere Zeilen, als auch mehrere Spalten, so spricht man von Matrizen. Auch hier ein kurzer Überblick über verschiedene Rechenmöglichkeiten. Wie bei den Vektoren können auch bei der Multiplikation von einer Ma- trix mit einem Skalar die einzelnen Komponenten mit dem Skalar multipliziert werden. Die Matrixaddition ist nur für Matri- zen der gleichen Dimension (m × n) definiert. Hierbei werden einfach die Komponenten an der gleichen Stelle in beiden Matrizen addiert. ⎡ ⎤ a ⎢ µ ⎢d ⎣ b e c ⎥ f ⎥ ⎦ g h i = ⎡ ⎤ µa ⎢ ⎢µd ⎣ µb µe µc ⎥ µf ⎥ ⎦ µg µh µi ⎡ ⎤ a ⎢ ⎢c ⎣ b ⎥ d⎥ ⎦ e f + ⎡ ⎤ o ⎢ ⎢q ⎣ p ⎥ r⎥ ⎦ s t = ⎡ ⎤ a + o ⎢ ⎢c + q ⎣ b + p ⎥ d + r⎥ ⎦ e + s f + t G m×n · U n×p ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ a b ⎡ ⎤ ao + br ap + bs aq + bt ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ o p q ⎢ ⎥ = ⎢c d⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ = ⎢co + dr cp + ds cq + dt⎥ ⎣ ⎦ r s t ⎣ ⎦ e f eo + fr ep + fs eq + ft (11.1) (11.2) (11.3) Für die Matrixmultiplikation muss die Zeilenzahl n der anmultiplizierten Matrix U n×p der Spaltenzahl der vorderen Matrix G m×n entsprechen. Das Ergebnis ist eine Matrix der Dimension m × p. Eine Multiplikation von einem Vektor mit einer Matrix ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation (G m×n · v n×1 ) und ergibt einen Vektor der Dimension m × 1. Auf Grund der Definition kann nur ein Spaltenvektor an eine Matrix multipliziert werden. 7 7 Ein Zeilenvektor kann nur an einen Skalar (siehe Vektormultiplikation in Gleichung (9.2)) oder an einen Spaltenvektor (dyadisches Produkt) multipliziert werden. 11
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