7 Dynamische Spiele mit unvollständiger Information 7.1 Einleitung

Spieltheorie (Winter 2009/10) 7-1 Prof. Dr. Ana B. Ania 

7 Dynamische Spiele mit unvollständiger 

Information 

Literaturhinweise zu Kapitel 7: 

Osborne (2004), Kapitel 10 

Gibbons (1992), Kapitel 4 

MasColell, Whinston, Green (1995), Kapitel 9C+D 

Fudenberg und Tirole (1991), Kapitel 8, 9 und 11.2 

7.1 Einleitung 

In dynamischen Spielen mit unvollständiger Information stellt 

sich wie in dynamischen Spielen mit vollständiger Information 

das Problem, Gleichgewichte, die auf unglaubwürdigen 

Drohungen beruhen, zu eliminieren. 

Beachten Sie, dass Teilspielperfektheit bei unvollständiger 

Information keinen Biss hat. Da die Spieler die Typen ihrer 

Gegenspieler nicht kennen, gibt es keine einelementigen 

Informationsmengen mehr, nachdem die Natur die Typen 

gezogen hat. Das einzige Teilspiel ist das gesamte Spiel. 

Klaus M. Schmidt 2007


Verallgemeinerung der Idee der Teilspielperfektheit für “Fortsetzungsspiele” 

(continuation games). 

Ein Fortsetzungsspiel kann auch in einer mehrelementigen 

Informationsmenge beginnen. Aber der Spieler, der in einer 

mehrelementigen Informationsmenge am Zug ist, muss 

einen “Belief”, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung darüber 

haben, in welchem Entscheidungsknoten der Menge 

er sich befindet. 

So können wir erneut “sequentiell rationales Verhalten” analysieren, 

d.h., Verhalten, das in allen Fortsetzungsspielen des 

ursprünglichen Spiels optimal ist, sowohl auf als auch außerhalb 

des Gleichgewichtspfades. 

Das wird uns zu einem neuen Gleichgewichtskonzept führen: 

Perfektes Bayesianisches Gleichgewicht. 

In dem Maße, in dem die Spiele, die wir betrachten, komplizierter 

werden, müssen wir zusätzliche Anforderungen stellen, 

um nicht-überzeugende Gleichgewichte auszuschließen. 

Beachten Sie jedoch, dass die Gleichgewichtsbegriffe nicht 

willkürlich sind, sondern systematisch aufeinander aufbauen. 

Wir werden sehen, dass perfekte Bayesianische Gleichgewichte 

übereinstimmen mit 

teilspielperfekten Gleichgewichten, wenn es sich um ein 

dynamisches Spiel mit vollständiger Information handelt;


Bayesianischen Nash-Gleichgewichten, wenn es um ein 

statisches Spiel mit unvollständiger Information geht; 

Nash-Gleichgewichten, wenn es sich um ein statisches 

Spiel mit vollständiger Information handelt. 

Zunächst wenden wir die Idee sequentieller Rationalität auf 

Spiele mit vollständiger, aber unvollkommener Information 

an. Der Schritt zu Spielen mit unvollständiger Information 

ist dann nicht mehr groß. 

7.2 Sequentielle Rationalität 

Betrachten Sie zunächst das Spiel in Abb. 7.1, das auf Selten 

(1975) zurückgeht. 

1 

① 

 

2 

 

① 

 

ℓ r 

 

 

2 

1 

0 

0 

L M 

R 

① 

 

 

ℓ 

0 

2 

Abb. 7.1 

r 

 

0 

1 

 

1 

3 

Wie sollte sich Spieler 2 in diesem Spiel verhalten?


Wenn Spieler 2 am Zug ist, hat er eine dominante Strategie: 

ℓ. Gegeben, dass 2 ℓ spielen wird, ist es für Spieler 1 optimal, 

ebenfalls L zu spielen. 

Gibt es noch andere Gleichgewichte in diesem Spiel? 

❅❅ 

❅ 

❅ 

❅ 

1 

L 

M 

R 

2 

ℓ 

r 

2, 1 0, 0 

0, 2 0, 1 

1, 3 1, 3 

Abb. 7.2: Normalform des Spiels in Abb. 7.1 

Analyse der Normalform des Spiels zeigt, dass es noch ein 

zweites Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien gibt: (R, r). 

Ist dieses Gleichgewicht (R, r) teilspielperfekt? 

Ja! In diesem Spiel ist das einzige Teilspiel das gesamte 

Spiel. Da (R, r) im gesamten Spiel ein Nash-Gleichgewicht 

ist, ist es auch teilspielperfekt. Aber es ist ganz sicher nicht 

sequentiell rational.


Wie können wir dieses unglaubwürdige Gleichgewicht ausschließen? 

Betrachten Sie das Fortsetzungsspiel, dasbeginnt, 

wenn Spieler 2 am Zug ist. Dieses Fortsetzungsspiel 

beginnt in einer mehrelementigen Informationsmenge und 

ist darum kein Teilspiel. Trotzdem wollen wir verlangen, dass 

die Strategien auch in solchen Fortsetzungsspielen optimales 

Verhalten vorschreiben. 

Welches Verhalten in einem Fortsetzungsspiel optimal ist, 

hängt im allgemeinen von den Wahrscheinlichkeiten ab, die 

ein Spieler den verschiedenen Knoten in seiner Informationsmenge 

zuordnet. 

Zusätzliche Anforderungen an ein Gleichgewicht: 

Bedingung 7.1 In jeder Informationsmenge muss 

der Spieler, der am Zug ist, einen Belief darüber 

haben, an welchem Knoten er sich befindet. Ein Belief 

ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die 

möglichen Knoten. Ein System von Beliefs für alle 

Informationsmengen bezeichnen wir mit μ. 

Bedingung 7.2 Gegeben seine Beliefs muss das Verhalten 

eines jeden Spielers sequentiell rational 

sein, d.h., gegeben seine Beliefs muss seine Strategie 

in jedem Fortsetzungsspiel eine beste Antwort gegen 

die Strategien seiner Gegenspieler sein.


Diese Bedingungen schließen das Gleichgewicht (R, r) aus. 

Ganz gleich, welchen Belief Spieler 2 in seiner Informationsmenge 

hat, es ist immer besser, ℓ zu spielen, als r. 

In diesem Beispiel spielt es keine Rolle, welche Beliefs Spieler 

2 hat. Im allgemeinen wird die optimale Aktion eines Spielers 

jedoch von seinen Beliefs abhängen. Darum können wir 

nicht beliebige Beliefs zulassen, sondern müssen verlangen, 

dass diese Beliefs konsistent mit den Strategien der Spieler 

und der bisherigen Geschichte des Spiels sind. 

Bedingung 7.3 Die Beliefs eines Spielers in jeder 

Informationsmenge (entlang und abseits des Gleichgewichtspfades) 

ergeben sich aus den Gleichgewichtsstrategien 

der Spieler und aus Bayes’ Regel, wann immer 

diese Regel angewandt werden kann. 

Beispiele: 

Betrachten Sie erneut Abb. 7.1 und das Gleichgewicht 

(L, ℓ). Wenn die Informationsmenge von Spieler 2 erreicht 

wird, muss Spieler 2 glauben, dass er sich mit 

Wahrscheinlichkeit 1 im linken Knoten befindet. 

Angenommen, es gäbe in diesem Spiel ein Gleichgewicht 

in gemischten Strategien, in dem Spieler 1 mit Wahrscheinlichkeit 

p, q und 1 − p − q nach L bzw. M bzw. 

R geht. Wenn jetzt die Informationsmenge von Spieler


2 mit den Knoten L und M erreicht wird, muss Spieler 

p 

2 glauben, dass er sich mit Wahrscheinlichkeit p+q in 

q 

Knoten L und mit Wahrscheinlichkeit p+q in Knoten M 

befindet. 

Exkurs: Bayes’ Regel 

Betrachten wir eine Wahrscheinlichkeitsverteilung p und zwei 

Ereignisse E und F . Dann besagt Bayes’ Regel, dass 

prob(E|F )= 

prob(E und F ) 

. 

prob(F ) 

Beispiel: Spieler 1 geht mit Wahrscheinlichkeit p nach L, 

mit W. q nach M, und mit W. 1 − p − q nach R. Wie 

hoch ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 in 

Knoten L gelandet ist, wenn wir wissen, dass er entweder 

in Knoten L oder M ist? 

E = L 

F = {L, M} 

prob(E und F )=p 

prob(F )=p + q 

prob(E|F )= p 

p+q


7.3 Gleichgewichtsdefinition 

Definition 7.1 Ein perfektes Bayesianisches 

Gleichgewicht (PBGG) ist ein Profil von Strategien 

und ein System von Beliefs (σ, μ), sodass 

die Strategien aller Spieler sequentiell rational 

sind gegeben das System von Beliefs μ; 

die Beliefs (entlang und abseits des Gleichgewichtspfades) 

aus den Gleichgewichtsstrategien der Spieler 

mit Hilfe von Bayes’ Regel abgeleitet werden, 

wann immer diese Regel anwendbar ist 

Bemerkungen: 

1) Wenn die Spieler vollständig gemischte Strategien verwenden, 

werden alle Knoten mit positiver Wahrscheinlichkeit 

erreicht. Dann können wir Bayes’ Regel immer 

anwenden, um die Beliefs der Spieler zu “aktualisieren”. 

2) Wenn die Strategien nicht vollständig gemischt sind, 

werden bestimmte Informationsmengen mit Wahrscheinlichkeit 

0 erreicht. In solchen Informationsmengen kann 

es sein, dass Bayes’ Regel nicht anwendbar ist. Dann 

lässt das Konzept des PBGG beliebige Beliefs zu, sodass 

oft sehr viele Ergebnisse als PBGG gestützt werden 

können. Deshalb werden wir weitere Verfeinerungen des 

Gleichgewichtskonzepts benötigen (siehe unten).


7.4 Beispiele 

Beispiel 1 hat ein echtes Teilspiel mit einem eindeutigen 

Gleichgewicht: (L, r). Deshalb ist das eindeutiges PBGG: 

(D, L, r), μ =1. Dies ist auch das einzige TPGG. 

Es gibt noch weitere Nash-Gleichgewichte, z.B. (A, L, ℓ). 

In diesem Gleichgewicht wird die Informationsmenge von 

Spieler 3 mit Wahrscheinlichkeit 0 erreicht. 

Wenn wir nur verlangen, dass Bayes’ Regel auf dem 

Gleichgewichtspfad verwendet werden muss, dann sind 

die Beliefs von Spieler 3 beliebig. Insbesondere ist μ =0 

möglich. Mit μ =0ist es für Spieler 3 tatsächlich optimal, 

ℓ zu wählen. 

Wir verlangen jedoch zusätzlich, dass Bayes’ Regel auch 

außerhalb des Gleichgewichtspfades angewendet werden 

soll, wann immer das möglich ist. Hier ist es möglich. 

Gegeben die Strategie von Spieler 2, L, schreibt Bayes’ 

Regel vor: μ =1.Darumistℓ für Spieler 3 nicht optimal 

und (A, L, ℓ) somit kein PBGG.


1 

① 

 

2 ① 

3 

 

① 

 

ℓ r 

⎛ 

⎞ 

⎛ 

⎞ 

⎜ 

⎝ 

⎟ 

⎠ 

⎜ 

⎝ 

⎟ 

⎠ 

1 

2 

1 

D 

A 

L R 

[μ] [1−μ] 3 

3 

3 

① 

ℓ 

⎛ 

⎞ 

 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

Abb. 7.3: Beispiel 1 – Bayes’ Regel anwendbar 

1 

① 

 

2 ① 

3 

 

① 

 

ℓ r 

⎛ 

⎞ 

⎛ 

⎞ 

⎜ 

⎝ 

⎟ 

⎠ 

⎜ 

⎝ 

⎟ 

⎠ 

1 

2 

1 

D 

0 

1 

2 

A 

A ′ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

L R 

[μ] [1−μ] 3 

3 

3 

① 

ℓ 

⎛ 

⎞ 

 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

Abb. 7.4: Beispiel 2 – Bayes’ Regel nicht anwendbar 

0 

1 

2 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

r 

0 

1 

1 

r 

0 

1 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

2 

0 

0 

2 

0 

0 

0 

2 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠


In Beispiel 2 hat Spieler 2 die Option, das Spiel zu beenden 

(A ′ ). Das alte Gleichgewicht (D, L, r) mit μ =1ist 

nach wie vor ein PBGG. Jetzt gibt es aber noch ein zweites 

PBGG: (A, A ′ ,ℓ) und μ ≤ 1 

3 . 

Wenn in diesem Gleichgewicht Spieler 2 zum Zug kommt, 

wählt er sowohl L als auch R mit Wahrscheinlichkeit 0. 

Bayes’ Regel greift deshalb nicht. 

⇒ Die Beliefs von Spieler 3 sind beliebig; insbesondere 

ist μ ≤ 1 

3 möglich. 

⇒ Für 3 ist es tatsächlich optimal, ℓ zu spielen. 

⇒ Für 2 ist es tatsächlich optimal, A ′ zu spielen. 

⇒ Für 1 ist es tatsächlich optimal, A zu wählen. 

Beispiel 3 illustriert ein PBGG in gemischten Strategien: 

1 

① 

2 

 

① 

 

ℓ r 

 

 

1 

1 

R 

L M 

[μ] [1−μ] 5 

0 

① 

 

 

ℓ 

3 

1 

r 

 

4 

3 

 

0 

2 

Abb. 7.5: Beispiel 3 – PBGG in gemischten Strategien


Analyse des Spiels: 

Wenn die Informationsmenge von Spieler 2 erreicht wird, 

ist ℓ genau dann optimal, wenn 

1 ≥ 3(1 − μ) ⇔ μ ≥ 2 

3 . 

sei Teil eines PBGG. Dann spielt 

Spieler 2 ℓ und Spieler 1 M. Daswürde jedoch μ =0 

implizieren, ein Widerspruch. 

Angenommen, μ> 2 

3 

sei Teil eines PBGG. Dann spielt 

Spieler 2 r und Spieler 1 L. Daswürde jedoch μ =1 

implizieren, erneut ein Widerspruch. 

Angenommen, μ< 2 

3 

Also muss μ = 2 sein. Jetzt ist Spieler 2 indifferent und 

3 

muss im Gleichgewicht ℓ mit einer Wahrscheinlichkeit p 

spielen, so dass Spieler 1 ebenfalls indifferent zwischen 

L und M ist. Das ist genau dann der Fall, wenn 

p +5(1−p) =3p +4(1−p) ⇔ p = 1 

3 . 

Also ist das eindeutige PBGG in diesem Spiel: 

– Strategie von Spieler 1: 2 

3 

– Strategie von Spieler 2: 1 

3 

1 , 3 

2 , 3 

– Beliefs von Spieler 2: μ = 2 

3 . 

, 0,


7.5 Sequentielle und Perfekte Gleichgewichte 

Perfekte Bayesianische Gleichgewichte sind erst relativ spät 

in die Literatur eingeführt worden (Fudenberg und Tirole 

1991). Die Idee, ein Gleichgewicht als Kombination aus 

Strategien und Beliefs aufzufassen, um so sequentielle Rationalität 

auch in Spielen mit unvollkommener oder unvollständiger 

Information definieren zu können, stammt von 

Kreps und Wilson (1982). Sie hatten das etwas strengere 

Konzept des sequentiellen Gleichgewichts eingeführt, 

das wir wie folgt definieren können: 

Definition 7.2 Ein sequentielles Gleichgewicht 

ist ein Profil von Strategien und ein System von Beliefs 

(σ, μ) mit den folgenden Eigenschaften: 

(σ, μ) ist ein perfektes Bayesianisches Gleichgewicht. 

Es existiert eine Folge von vollständig gemischten 

Strategien {σk } ∞ k=1 mit limk→∞ σk = σ, sodass 

μ = limk→∞ μk , wobei μk dasjenige System von 

Beliefs bezeichnet, das sich aus den Strategien 

σk und Bayes’ Regel ergibt.


Sequentielle Gleichgewichte verlangen also zusätzlich, dass 

sich die Beliefs rechtfertigen lassen durch ein Profil vollständig 

gemischter Strategien, die sehr “nahe” bei den 

Gleichgewichtsstrategien liegen. Da bei vollständig gemischten 

Strategien alle Informationsmengen mit positiver Wahrscheinlichkeit 

erreicht werden, kann man Bayes’ Regel immer 

anwenden. 

Bemerkungen: 

1) Alle sequentiellen Gleichgewichte sind PBGGe, aber die 

Umkehrung gilt nicht. Sequentielle Gleichgewichte lassen 

bestimmte Beliefs außerhalb des Gleichgewichtspfades 

nicht zu. 

2) Insbesondere impliziert die Definition eines sequentiellen 

Gleichgewichts, dass alle Spieler ihre Beliefs außerhalb 

des Gleichgewichtspfades konsistent miteinander aktualisieren 

müssen. Wenn Spieler 2 und 3 einen Zug von 

Spieler 1 außerhalb des Gleichgewichtspfades beobachten, 

dann müssen Spieler 2 und 3 denselben Belief über 

den Typ von Spieler 1 bilden. 

3) Kreps und Wilson haben gezeigt, dass sequentielle Gleichgewichte 

in allen endlichen Spielen existieren. 

4) Die zusätzliche (Limes-)Bedingung lässt sich typischerweise 

nur sehr schwer überprüfen. Darum wird in der Li-


teratur eigentlich immer nur mit PBGG gearbeitet, auch 

wenn viele Autoren von “sequentiellen Gleichgewichten” 

reden. 

5) Fudenberg und Tirole (1991) geben (recht restriktive) 

Bedingungen an, unter denen die beiden Gleichgewichtsbegriffe 

zu identischen Ergebnissen führen. Dies ist z.B. 

in den Signalisierungsspielen des folgenden Abschnitts 

der Fall. Ebenso sind diese Bedingungen in der Lösung 

des Handelsketten-Paradoxons in Abschnitt 7.13 erfüllt. 

6) Kreps und Wilson (1982) haben gezeigt, dass die Menge 

aller sequentiellen Gleichgewichte generisch mit der 

Menge aller (trembling hand) perfekten Gleichgewichte 

übereinstimmt. 

Das Konzept des perfekten Gleichgewichts (trembling 

hand perfect equilibrium) wurde von Selten (1975) eingeführt. 

Die Idee ist, dass jeder Spieler “zittert” und in jeder 

Informationsmenge, in der er am Zug ist, jede mögliche Aktion 

mit einer positiven Wahrscheinlichkeit wählt. 

Dazu führt man ɛ-beschränkte Strategien ein, bei denen 

jeder Spieler jede Aktion mindestens mit Wahrscheinlichkeit 

ɛ>0 wählen muss, und betrachtet die resultierenden 

ɛ-beschränkten Nash-Gleichgewichte. Dann läßt man das 

“Zittern” (ɛ) gegen 0 gehen.


Definition 7.3 Ein perfektes Gleichgewicht ist 

ein Nash-Gleichgewicht mit der Eigenschaft, dass es 

eine Folge von ɛ-beschränkten Nash-Gleichgewichten 

gibt, die gegen dieses Gleichgewicht konvergieren, 

wenn ɛ gegen 0 geht. 

Bemerkungen: 

1) Das Zittern hat zur Folge, dass jede Informationsmenge 

mit positiver Wahrscheinlichkeit erreicht wird. Dadurch 

werden Nash-Gleichgewichte, die nicht sequentiell rational 

sind, eleminiert. 

2) Selten (1975) hat gezeigt, dass perfekte Gleichgewichte 

in allen endlichen Spielen existieren. 

3) Perfekte Gleichgewichte sind grundsätzlich auch für Spiele 

mit unvollständiger Information definiert. Aber: Perfekte 

Gleichgewichte sind ohne Referenz auf Beliefs definiert. 

Das macht es sehr schwer, zu überprüfen, ob ein 

Gleichgewicht perfekt ist oder nicht. 

4) Alle perfekten Gleichgewichte sind sequentiell, aber nicht 

umgekehrt, d.h., Perfektheit stellt stärkere Anforderungen. 

Aber: Für generische Spiele stimmen beide Konzepte 

überein. 

5) Da es sich sehr viel leichter prüfen lässt, ob ein Gleichgewicht 

sequentiell oder perfekt Bayesianisch als (tremb-


ling hand) perfekt ist, werden perfekte Gleichgewichte 

bei Spielen mit unvollständiger Information kaum verwendet. 

6) Für eine ausführliche Diskussion der technischen Eigenschaften 

beider Konzepte siehe Fudenberg und Tirole 

(1991, Kapitel 8). 

7.6 Signalisierungsspiele 

Wir betrachten jetzt Spiele mit unvollständiger Information. 

Eine wichtige Klasse solcher Spiele sind sogenannte 

Signalisierungsspiele, die die folgende Struktur haben: 

Es gibt zwei Spieler, einen Sender und einen Empfänger. 

1) Die Natur wählt den Typ t des Senders aus einer Menge 

T = {t1,...,tI} entsprechend der W-Verteilung μ(t). 

2) Der Sender erfährt seinen Typ und wählt eine Botschaft 

m aus M = {m1,...,mJ}. 

3) Der Empfänger beobachtet die Botschaft (aber nicht 

ti) und wählt dann eine Aktion a aus der Menge der 

möglichen Aktionen A ∈{a1,...,aK}. 

4) Die Auszahlungen sind US(t, m, a) und UE(t, m, a).


Solche Signalisierungsspiele sind in vielen Bereichen der VWL 

angewendet worden. 

Beispiele: 

Job market signaling: Der Sender ist ein Arbeiter, dessen 

Fähigkeiten private Information sind. Er wählt ein Ausbildungsniveau. 

Der Unternehmer beobachtet die Ausbildung, 

aber nicht die Fähigkeit, und entscheidet über 

ein Lohnangebot. 

Initial public offering: Der Sender ist ein Unternehmer, 

der den Wert seines Unternehmens kennt. Er wählt einen 

Anteil seiner Firma, den er auf dem Aktienmarkt verkaufen 

will. Der Markt beobachtet diesen Anteil, nicht aber 

den Wert des Unternehmens, und entscheidet über die 

Bewertung der Aktien. 

Limit pricing: Der Sender ist ein Monopolist, der seine 

Grenzkosten kennt. Er wählt seine Produktionsmenge 

in der ersten Periode. Der Empfänger ist ein potentieller 

Marktzutreter. Er beobachtet die gewählte Menge, nicht 

aber die Grenzkosten des Monopolisten, und entscheidet 

dann über Marktzutritt. 

Wir betrachten zunächst ein abstraktes Signalisierungsspiel 

mit zwei Typen, zwei Botschaften des Senders und zwei 

Aktionen des Empfängers:


Sender 

 

a1 

a1 

 

m1 t1 m2 

① ① 

① 

 

a2 

a2 

 

μ0 

① Natur 

 

1 − μ0 

a1 

a1 

 

① 

① 

① 

 

m1 t2 m2 

 

a2 

a2 

 

Empfänger Empfänger 

Sender 

Abb. 7.6: Struktur eines Signalisierungsspiels 

In diesem Spiel hat jeder Spieler vier mögliche Strategien. 

Beachten Sie, dass eine Strategie für jede Informationsmenge, 

in der Spieler i am Zug ist, angeben muss, wie sich 

Spieler i dort verhalten soll. 

Eine mögliche Strategie des Senders ist (m2,m1): “Spiele 

m2, wennDuTypt1 bist, und m1, wennDuTypt2 

bist.” 

Eine mögliche Strategie des Empfängers ist (a2,a1): 

“Spiele a2, wenn der Sender m1 gesendet hat, und a1, 

wenn der Sender m2 gesendet hat.”


Außerdem muss der Empfänger nach beiden Botschaften 

einen Belief darüber haben, an welchem Knoten er sich 

befindet. Da es für den Empfänger zwei mögliche Informationsmengen 

gibt, gibt es auch zwei Beliefs (μ1,μ2). 

Es gibt zwei mögliche Arten von Gleichgewichten in reinen 

Strategien: 

Separierende Gleichgewichte: Unterschiedliche Typen 

des Senders wählen unterschiedliche Botschaften. 

Pooling-Gleichgewichte: Beide Typen des Senders 

wählen dieselbe Botschaft. 

Bei mehr als zwei Typen kann es auch halb-separierende 

Gleichgewichte geben: Einige Botschaften werden nur von 

einigen Typen und nicht von anderen gewählt, aber die Separierung 

ist nicht perfekt. 

Bei gemischten Strategien sind auch hybride Gleichgewichte 

möglich: Ein Typ sendet eine Botschaft mit Wahrscheinlichkeit 

1, der andere Typ randomisiert zwischen beiden 

Botschaften. 

7.6.1 Ein Beispiel 

Suchen wir jetzt alle Gleichgewichte in reinen Strategien in 

dem folgenden Beispiel:


 

1 

3 

 

4 

0 

 

2 

4 

 

0 

1 

o 

Sender 

 

 

[μl] 

L t1 R 

[μr] 

① ① 

① 

 

u 

 

1 

2 

① Natur 

1 

 

o 

2 

 

① 

① 

① 

 

[1 − μl] L t2 R [1−μr] 

 


u 

Sender 

Abb. 7.7: Ein Signalisierungsspiel 

o 

u 

o 

u 

 

2 

1 

 

0 

0 

 

1 

0 

 

1 

2 

1) Pooling auf L: Angenommen es gibt ein PBGG, in 

dem beide Typen L wählen. 

⇒ μl = 1 

2 . 

⇒ Empfänger reagiert mit o. 

Ist es für beide Typen tatsächlich optimal, L zu wählen? 

Für t2 auf jedem Fall, für t1 nur, wenn der Empfänger 

mit u reagiert, wenn der Sender R spielen würde. 

Was wird der Empfänger tun, wenn er R beobachtet? 

Für ihn ist u optimal, falls μr ≤ 2 

3 . Beachten Sie, dass 

Bayes’ Regel hier nicht angewandt werden kann, um μr 

festzulegen. 

Also sind die folgenden Strategien und Beliefs PBGGe:


(L, L) (Strategie des Senders) 

(o, u) (Strategie des Empfängers) 

(Belief des Empfängers nach L) 

(Belief des Empfängers nach R) 

2) Pooling auf R: 

⇒ μr = 1 

2 . 

⇒ Empfänger reagiert mit u. 

⇒ Sender vom Typ t1 bekommt 0. 

Das kann kein Gleichgewicht sein, denn t1 kann sich 

eine Auszahlung von mindestens 1 garantieren, wenn er 

L spielt. 

3) Separierung (L,R): 

⇒ μl =1, μr =0. 

⇒ Empfänger reagiert auf L mit o und auf R mit u. 

⇒ Beide Typen des Senders erhalten Auszahlung 1. 

Das kann kein Gleichgewicht sein: Typ t2 stellt sich besser, 

wenn er L wählt, worauf der Empfänger mit o reagiert, 

was dem Sender 2 statt 1 gibt. 

4) Separierung (R,L): 

μl = 1 

2 

μr ≤ 2 

3 

⇒ μl =0, μr =1. 

⇒ Empfänger reagiert auf L mit o und auf R mit o.


⇒ Beide Typen des Senders erhalten Auszahlung 2. 

Kein Typ kann sich durch Wechsel seiner Strategie verbessern. 

Also sind die folgenden Strategien und Beliefs ein PBGG: 

(R, L) (Strategie des Senders) 

(o, o) (Strategie des Empfängers) 

μl =0 (Belief des Empfängers nach L) 

μr =1 (Belief des Empfängers nach R) 

7.6.2 Signalisierung durch Ausbildung 

Das folgende Modell von Spence (1973) ist das klassische 

Signalisierungsmodell. Es zeigt, dass asymmetrische Information 

zu ineffizientem Signalisierungsverhalten führen kann. 

Zeitstruktur: 

1) Die Natur bestimmt den Typ, θ, eines Arbeiters: Mit 

Wahrscheinlichkeit μ0 hat er eine hohe Produktivität 

(θH), mit Wahrscheinlichkeit 1 − μ0 hat er eine niedrige 

Produktivität (θL). 

2) Der Arbeiter lernt seine Fähigkeiten und wählt ein Ausbildungsniveau, 

e.


3) Zwei Unternehmen beobachten das Ausbildungsniveau 

des Arbeiters, nicht aber seine Fähigkeiten, und machen 

konkurrierende Lohnangebote. 

4) Der Arbeiter akzeptiert das höhere Lohnangebot oder 

randomisiert 50:50 bei identischen Angeboten. 

Auszahlungen: 

Ein Unternehmen, das den Arbeiter zum Lohn w einstellt, 

bekommt 

Π(θ, w) =θ − w. 

Ein Arbeiter vom Typ θ mit Ausbildungsniveau e erhält 

U(θ, w, e) =w − c(e, θ). 

Um den Effekt des Modells besonders klar herauszuarbeiten, 

nehmen wir an, dass die Produktivität des Arbeiters 

überhaupt nicht von seiner Ausbildung abhängt! 

Diese Annahme könnten wir leicht aufgeben, ohne die qualitativen 

Resultate zu verändern (siehe Gibbons). 

Annahme 7.1 Die Ausbildungskosten des Arbeiters 

sind private, nicht beobachtbare Kosten, für die gilt: 

1) c(0,θ)=0für θ ∈{θL,θH};


2) ce(e, θ) = ∂c(e,θ) 

∂e > 0 und 

cee(e, θ) = ∂2c(e,θ) ∂e2 > 0 für θ ∈{θL,θH}; 

3) c(e, θL) >c(e, θH) für alle e>0; 

4) ce(e, θL) >ce(e, θH) für alle e>0. 

Die zentrale Annahme ist, dass der schlechte Typ sowohl 

höhere Kosten als auch höhere Grenzkosten als der gute 

Typ hat (single crossing property). 

Die Indifferenzkurven der beiden Typen im (e, w)-Raum illustriert 

Abb. 7.8. 

w 

 

 

 

 

Abb. 7.8: Indifferenzkurven im Spence-Modell 

 

 

 

e


Betrachten Sie die letzte Stufe des Spiels. Nehmen wir zunächst 

an, es gäbe keine Ausbildung, d.h., keine Möglichkeit, die 

Fähigkeiten zu signalisieren. In diesem Fall werden beide 

Firmen dem Arbeiter einen Lohn anbieten, der seiner erwarteten 

Produktivität entspricht: 

ˆw = μ0θH +(1− μ0)θL 

Nehmen wir jetzt an, dass Signalisierung durch Ausbildung 

möglich ist. Nachdem sie das Ausbildungsniveau beobachtet 

haben, werden beide Firmen ihre Beliefs über den Typ des 

Arbeiters aktualisieren. Wir nehmen an, dass beide Firmen 

auch außerhalb des Gleichgewichtspfades ihre Beliefs über 

den Typ des Arbeiters identisch aktualisieren (dies muss 

in einem sequentiellen Gleichgewicht notwendigerweise der 

Fall sein). Sei μ(e) die Wahrscheinlichkeit, die beide Unternehmen 

dem Ereignis zuordnen, dass der Arbeiter eine hohe 

Produktivität hat. 

In der letzten Stufe des Spiels herrscht Bertrand-Wettbewerb. 

Beide Firmen bieten deshalb den Lohn 

w(e) =μ(e) θH +(1− μ(e)) θL 

und der Arbeiter randomisiert, welches Angebot er annimmt. 

Beachten Sie, dass θL ≤ w(e) ≤ θH für alle e ≥ 0.


w 

 

 

 

Abb. 7.9: Eine mögliche Lohnfunktion 

Separierende Gleichgewichte 

Im Gleichgewicht sei e ∗ (θ) das Ausbildungsniveau von Typ 

θ und w ∗ (e) die Lohnfunktion der Unternehmen. In einem 

separierenden GG muss gelten: e ∗ (θL) = e ∗ (θH). 

Lemma 7.1 In jedem separierenden Gleichgewicht 

muss gelten: 

w ∗ (e ∗ (θL)) = θL und w ∗ (e ∗ (θH)) = θH. 

Beweis: In einem PBGG müssen die Beliefs entlang des GG- 

Pfades mit Bayes’ Regel aktualisiert werden: 

e = e ∗ (θL) ⇒ μ(e) =0 

e = e ∗ (θH) ⇒ μ(e) =1 

 

 

 

e


Die entsprechenden Löhne ergeben sich durch den Bertrand- 

Wettbewerb. Q.E.D. 

Lemma 7.2 In jedem separierenden Gleichgewicht 

ist e ∗ (θL) =0. 

Beweis: Angenommen e ∗ (θL) > 0. Wegen Lemma 7.1 bekommt 

Typ θL den Lohn w = θL. Wenn er ein niedrigeres 

Ausbildungsniveau wählt, sind seine Kosten niedriger, ohne 

dass sein Lohn weiter fallen kann. Also lohnt sich eine 

Abweichung. Q.E.D. 

Wegen Lemma 7.2 muss die relevante Indifferenzkurve von 

Typ θL wie folgt aussehen: 

w 

 

 

 

 

Abb. 7.10: Indifferenzkurve für Typ θL in einem 

separierenden Gleichgewicht 

 

 

 

e


Die GG-Allokation für Typ θL ist der Punkt (0,θL). 

Die GG-Allokation für Typ θH muss auf der Geraden w = 

θH liegen. Sein Ausbildungsniveau e ∗ (θH) kann aber nicht 

links von e ′ liegen, sonst würde Typ θL den Punkt (e ∗ (θH),θH) 

seiner eigenen Allokation vorziehen. 

Behauptung: Der Punkt (e ′ ,θH) ist Teil eines separierenden 

Gleichgewichts. 

Beweis: Die Punkte (0,θL) und (e ′ ,θH) sind für die Typen 

θL bzw. θH optimal, wenn die Lohnfunktion diese beiden 

Punkte berührt und an keiner Stelle links oberhalb von den 

Indifferenzkurven durch diese Punkte verläuft. 

Eine solche Lohnfunktion können wir leicht konstruieren. 

Beachten Sie, dass Bayes’ Regel nicht angewendbar ist, 

wenn der Arbeiter e ∈ {0,e ′ } wählt, so dass wir die Beliefs 

für diese e beliebig wählen können. Sei z.B. 

μ(e) = 

⎧ 

⎪⎨ 

Das erzeugt die Lohnfunktion 

w(e) = 

⎪⎩ 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

0 falls e


w 

 

 

 

 

Abb. 7.11: Separierende Gleichgewichte 

Dieses Gleichgewicht ist offensichtlich nicht das einzige separierende 

Gleichgewicht: 

Jedes Ausbildungsniveau e ∈ [e ′ ,e ′′ ] kann in einem separierenden 

PBGG gestützt werden. 

Für jedes Ausbildungsniveau e ∈ [e ′ ,e ′′ ] gibt es viele verschiedene 

Beliefs außerhalb des Gleichgewichtspfades, 

die dieses Gleichgewicht stützen. 

Bemerkungen: 

Das Ausbildungsniveau e ′ ist das niedrigste Ausbildungsniveau, 

dass der gute Typ in einem separierenden Gleichgewicht 

wählen kann. 

 

 

 

e


Der schlechte Typ ist in einem separierenden Gleichgewicht 

immer schlechter gestellt, als wenn Signalisierung 

unmöglich ist. 

Der gute Typ kann in einem separierenden Gleichgewicht 

besser gestellt sein, als wenn Signalierung unmöglich ist. 

Wenn μ0 jedoch groß genug ist, ist er immer schlechter 

gestellt. Beachten Sie, dass das Gleichgewicht oben 

unabhängig von μ0 ist. Wenn μ0 sehr groß ist, muss 

jeder der guten Arbeiter die teure Ausbildung absolvieren, 

nur um nicht mit einem der wenigen schlechten 

Arbeiter verwechselt zu werden. 

Die Möglichkeit von Signalisierung kann also zu einer 

Pareto-Verschlechterung führen! 

Die Gleichgewichte können nach dem Pareto-Kriterium 

geordnet werden. 

Pooling-Gleichgewichte 

Betrachten wir jetzt potentielle Pooling-Gleichgewichte, in 

denen beide Typen dasselbe Ausbildungsniveau, e ∗ (θL) = 

e ∗ (θH) =e ∗ ,wählen. Dann muss gelten: 

w ∗ (e ∗ )=μ0θH +(1− μ0)θL =ˆw.


Beachten Sie: Wenn der Arbeiter e = e ∗ wählt, sind wir 

außerhalb des Gleichgewichtspfads und Bayes’ Regel greift 

nicht. Also können wir hier beliebige Beliefs und damit beliebige 

Lohnangebote zulassen. 

Welche Ausbildungsniveaus können Teil eines Pooling-Gleichgewichts 

sein? 

w 

 

 

 

 

Abb. 7.12: Pooling-Gleichgewichte 

Abb. 7.12 zeigt, dass alle Ausbildungsniveaus e ∈ [0, ˜e] als 

Pooling-Gleichgewichte gestützt werden können. 

 

 

 

e


Bemerkungen: 

1) Wieder gibt es sehr viele unterschiedliche Gleichgewichtsergebnisse 

und noch mehr unterschiedliche Gleichgewichte 

(verschiedene Beliefs abseits des Gleichgewichtspfades 

bedeuten verschiedene Gleichgewichte, auch wenn 

das Ergebnis dasselbe ist). 

2) Die Pooling-Gleichgewichtsergebnisse können wieder nach 

dem Pareto-Kriterium geordnet werden. 

3) Pooling-Gleichgewichte mit e>0 werden gestützt durch 

die Furcht des Arbeiters, sich als Typ niedriger Produktivität 

zu entlarven, wenn er die Ausbildung nicht auf 

sich nimmt. 

4) Ein staatlicher Eingriff kann hier zu einer Pareto-Verbesserung 

führen, auch wenn der Staat nicht besser informiert 

ist als die Privaten: Er kann Ausbildung verbieten 

und damit das Ergebnis (0, ˆw) herbeiführen.


7.7 Multiple Gleichgewichte und “Refinements” 

Da es in Signalisierungsspielen sehr viele PBGGe gibt, fällt 

es uns schwer, das Ergebnis eines solchen Spiels vorherzusagen. 

Das Problem multipler Gleichgewichte rührt vor allem daher, 

dass wir die Beliefs außerhalb des Gleichgewichtspfades 

beliebig aktualisieren können. 

Beachten Sie: Das Aktualisieren von Beliefs außerhalb des 

Gleichgewichtspfades ist ein Spekulieren darüber, welcher 

Typ vom Gleichgewichtspfad abgewichen ist. Nicht alle Spekulationen 

sind gleich überzeugend. 

Zahlreiche Autoren haben eine Reihe von Verfeinerungen 

(Refinements) des Konzepts des PBGG vorgeschlagen, um 

das Aktualisieren der Beliefs außerhalb des GG-Pfades zu 

strukturieren und unplausible Gleichgewichte auszuschließen. 

Alle diese Verfeinerungen fragen: Für welchen Typ kann sich 

das Abweichen auf keinen Fall gelohnt haben? Welcher Typ 

hätte von einer Abweichung möglicherweise doch profitieren 

können?


7.8 Verfeinerung durch Dominanz-Argumente 

Betrachten Sie das folgende Spiel: 

1 

① 

 

2 

 

① 

 

ℓ r 

 

 

3 

1 

R 

L M 

[μ] [1−μ] 0 

0 

❅❅ 

❅ 

❅ 

❅ 

1 

L 

M 

R 

2 

ℓ 

① 

 

 

ℓ 

1 

0 

r 

3, 1 0, 0 

1, 0 0, 1 

2, 2 2, 2 

r 

 

0 

1 

 

2 

2 

Abb. 7.13: Ein Beispiel für das Dominanz-Argument


Analyse: 

Die Analyse der Normalform dieses Spiels zeigt, dass 

es zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien gibt: 

(L, ℓ) und (R, r). 

Da es kein echtes Teilspiel gibt, sind beide Nash-Gleichgewichte 

teilspielperfekt. 

Was sind die entsprechenden PBGGe? 

– (L, ℓ, μ =1) 

– (R, r, μ ≤ 1). 

Beachten Sie: Wenn Spieler 1 R spielt, 

2 

wird die Informationsmenge von Spieler 2 nicht erreicht. 

Bayes Regel kann daher nicht angewandt werden, 

um μ zu bestimmen. 

Aber das zweite Gleichgewicht ist nicht überzeugend: 

M ist eine strikt dominierte Strategie im gesamten 

Spiel. Darum sollte Spieler 2 nicht glauben, dass Spieler 

1 M gewählt hat, wenn die Informationsmenge von 

Spieler 2 erreicht wird. Also sollte μ =1sein.


Bemerkung: 

Angenommen, die Auszahlung für Spieler 1 nach (L, ℓ) 

ist nicht 3, sondern 1,5. Dann sind sowohl L als auch 

M strikt dominierte Strategien. Wenn die Informationsmenge 

von Spieler 2 erreicht wird, ist μ =1deshalb 

nicht mehr zwingend; wir müssen also wieder beliebige 

μ ∈ [0, 1] zulassen. 

Diese Diskussion motiviert die folgende zusätzliche Bedingung 

an perfekte Bayesianische Gleichgewichte: 

Bedingung 7.4 In einer Informationsmenge außerhalb 

des Gleichgewichtspfades sollten die Beliefs eines 

Spieler einem Knoten Wahrscheinlichkeit 0 zuordnen, 

wenn dieser Knoten nur dann erreicht werden 

kann, wenn ein Spieler in irgendeinem Fortsetzungsspiel 

eine strikt dominierte Strategie gewählt 

hat, vorausgesetzt, dass wenigstens ein anderer Knoten 

in dieser Informationsmenge existiert, der durch 

eine nicht strikt dominierte Strategie erreicht werden 

konnte. 

Bedingung 7.4 schließt das “unplausible” Gleichgewicht 

(R, r, μ ≤ 1 

2 ) aus.


Betrachten wir Bedingung 7.4 in einem Signalisierungsspiel: 

 

3 

2 

 

2 

0 

 

1 

0 

 

1 

1 

o 

Sender 

 

 

[μl] 

L t2 R 

[μr] 

① ① 

① 

 

u 

 

1 

2 

① Natur 

1 

 

o 

2 

 

① 

① 

① 

 

[1 − μl] L t1 R [1−μr] 

 


u 

Sender 

o 

u 

o 

u 

 

1 

0 

 

0 

1 

 

2 

1 

 

0 

0 

Abb. 7.14: Dominanz in einem Signalisierungsspiel 

Die folgenden Strategien und Beliefs sind Pooling-Gleichgewichte: 

[(L, L), (o, u),μl = 1 

2 ,μr ≥ 1 

2 ]. 

Da R hier mit Wahrscheinlichkeit 0 gespielt wird, sind die 

Beliefs μr unbestimmt. 

Das Pooling auf L wird gestützt durch den Belief μr ≥ 1 

2 . 

Aber: Für Typ t2 ist R eine strikt dominierte Strategie, nicht 

jedoch für Typ t1. Also verlangt Bedingung 7.4, dass μr =0. 

Fazit: Die obigen Pooling-Gleichgewichte überleben Bedingung 

7.4 nicht!


In Signalisierungsspielen können wir Bedingung 7.4 auch wie 

folgt formulieren: 

Beobachtung: In einem Signalisierungsspiel ist die 

Botschaft ˜m für den Sender vom Typ ti genau dann 

strikt dominiert, wenn es eine Botschaft ˆm gibt, so 

dass 

min 

a∈A US(ti, ˆm, a) > max 

a∈A US(ti, ˜m, a). 

Bedingung 7.4’: Wenn die Informationsmenge, die 

nach Botschaft ˜m erreicht wird, außerhalb des Gleichgewichtspfades 

liegt, und wenn diese Botschaft für 

den Sender vom Typ ti strikt dominiert ist, dann sollte 

der Empfänger dem Typ ti Wahrscheinlichkeit 0 

zuordnen, vorausgesetzt, es existiert wenigstens ein 

anderer Typ tj, für den ˜m nicht strikt dominiert ist. 

Dieses Dominanzargument erlaubt es uns, einige Gleichgewichte 

auszuschließen. Die Menge der PBGGe in einem Signalisierungsspiel, 

die Bedingung 7.4’ erfüllen, kann aber 

immer noch sehr groß sein.


7.9 Gleichgewichtsdominanz: Das Intuitive 

Kriterium 

Betrachten wir das folgende Signalisierungs-Spiel: 

Der Empfänger muss sich entscheiden, ob er mit dem 

Sender einen Kampf anfängt oder nicht. 

Es gibt zwei Typen von Sendern: 

– Typ t1 ist ein “Schwächling”; p(t1) =μ0 =0, 1. 

– Typ t2 ist ein “Kraftprotz”; p(t2) =1− μ0 =0, 9. 

Der Empfänger möchte gern gegen den Schwächling, 

nicht aber gegen den Kraftprotz kämpfen. 

Der Sender kann durch die Wahl seines Frühstücks zwei 

mögliche Signale aussenden: 

– “Bier” oder “Quiche”. 

Die Auszahlungen sind wie folgt: 

– Empfänger: Wenn er nicht kämpft, bekommt er 0. 

Wenn er kämpft, bekommt er gegen den Schwächling 

1, gegen den Kraftprotz -1. 

– Sender: Beide Typen ziehen es vor, nicht zu kämpfen. 

Der Kraftprotz hat lieber Bier zum Frühstück, der 

Schwächling lieber Quiche. Das bevorzugte Frühstück 

gibt einen zusätzlichen Payoff von 1, nicht kämpfen 

zu müssen einen zusätzlichen Payoff von 2.


 

 

1 

1 

 

3 

0 

0 

−1 

 

 

2 

0 

k [μq] 

Schwächling 

[μb] k 

 

 

Quiche t1 Bier 

① ① 

① 

 

n 

 

0, 1 

① Natur 

 

0, 9 

 

k 

① 

① 

① 

 

Quiche t2 Bier 

 

 


[1 − μq] [1 − μb] 

n 

Kraftprotz 

n 

Abb. 7.15: Das “Bier-Quiche”-Spiel 

n 

k 

 

 

0 

1 

 

2 

0 

1 

−1 

 

 

3 

0 

Betrachten Sie die folgenden Pooling-Gleichgewichte: 

[(Quiche, Quiche), (n, k), μq =0, 1, μb ≥ 1 

2 ]. 

Entlang des Gleichgewichtspfades essen beide Typen Quiche, 

und es gibt keinen Kampf. Wenn der Empfänger jedoch 

Bier beobachtet, glaubt er, dass die Wahrscheinlichkeit des 

gesunken ist, und kämpft. 

Kraftprotzes auf unter 1 

2 

Erfüllen diese Gleichgewichte Bedingung 7.4’? Ja, denn Bier 

ist weder für den Kraftprotz noch für den Schwächling eine 

strikt dominierte Strategie. 

Sind diese Gleichgewichte plausibel? Stellen Sie sich vor, der 

Sender könnte, nachdem er Bier getrunken hat, die folgende 

Rede an den Empfänger halten:


“Die Tatsache, dass ich Bier getrunken habe, sollte 

Dich davon überzeugen, dass ich der Kraftprotz bin: 

Wenn ich der Schwächling wäre, könnte ich meine 

Situation durch Biertrinken unmöglich verbessern: 

Anstatt der Gleichgewichtsauszahlung von 

3würde ich entweder 0 oder 2 bekommen. 

Wenn ich jedoch der Kraftprotz bin, dann könnte 

ich meine Auszahlung von 2 auf 3 verbessern, 

nämlich wenn Dich mein Frühstück davon überzeugt, 

dass ich in der Tat der Kraftprotz bin. 

Also macht diese Abweichung nur Sinn, wenn ich 

tatsächlich der Kraftprotz bin.” 

Würde Sie diese Rede überzeugen? Wenn ja, dann überzeugt 

Sie auch die folgende Bedingung von Cho und Kreps 

(1987): 

Bedingung 7.5 (Intuitives Kriterium) Gegeben 

sei ein PBGG eines Signalisierungsspiels mit Senderstrategie 

m ∗ und Empfängerstrategie a ∗ .Wenndie 

Informationsmenge, die nach Botschaft ˜m erreicht 

wird, außerhalb des Gleichgewichtspfades liegt, und 

wenn die Botschaft ˜m für den Sender vom Typ ti 

gleichgewichtsdominiert ist, d.h., 

U ∗ S(ti,m ∗ (ti),a ∗ (m ∗ (ti))) > max 

a∈A US(ti, ˜m, a),


dann sollte der Empfänger Typ ti Wahrscheinlichkeit 

0 zuordnen, vorausgesetzt, es existiert wenigstens ein 

anderer Typ tj, für den ˜m nicht gleichgewichtsdominiert 

ist. 

Bemerkungen: 

1) Das Intuitive Kriterium vergleicht die höchstmögliche 

Auszahlung, wenn ˜m gesendet wird, nicht mit der niedrigstmöglichen 

Auszahlung, die Typ ti durch eine andere 

Botschaft hätte erhalten können, sondern mit der 

(höheren) Auszahlung von Typ ti, wennersichandas 

Gleichgewicht gehalten hätte. Dieses Kriterium steht auf 

deutlich schwächeren Füßen als Bedingung 7.4. 

2) Wenn ein Gleichgewicht das Intuitive Kriterium erfüllt, 

dann muss es auch Bedingung 7.4 erfüllen. 

3) Das Intuitive Kriterium unterstellt eine Art “Hyperrationalität”: 

Wenn es zu Abweichungen vom Gleichgewichtspfad 

kommt, dann sollten die Spieler versuchen, 

auch diese Abweichungen “rational” zu erklären. Dies 

steht im Gegensatz zur Idee nicht-intendierter Fehler 

(Zittern). 

4) Cho und Kreps zeigen, dass jedes Signalisierungsspiel 

wenigstens ein PBGG hat, das das Intuitive Kriterium 

erfüllt.


7.10 Das Intuitive Kriterium im Spence- 

Modell 

Wir hatten gesehen, dass es im Spence Modell sehr viele 

(Trenn- und Pooling-)Gleichgewichte gibt. Wir zeigen jetzt, 

dass nur ein einziges dieser Gleichgewichte das Intuitive Kriterium 

überlebt. 

1. Schritt: Bedingung 7.4’ impliziert μ(e) =1, falls e ′ < 

ee ′ 

wählt, ist, dass er den Lohn w = θH bekommt. Der 

Punkt (e, θH) (e >e ′ ) ist aber schlechter als der Punkt 

(0,θL), was das mindeste ist, das der Arbeiter bekommen 

muss, wenn er e =0wählt. Also wird e>e ′ für 

Typ θL strikt von e =0dominiert. 

Falls e ′


w 

 

 

 

 

Abb. 7.16: Separierende Gleichgewichte und Bedingung 

7.4’ im Spence-Modell 

3. Schritt: Der 1. Schritt impliziert auch, dass Typ θH in 

allen Gleichgewichten wenigstens den Nutzen U(θH,e ′ ,θH) 

bekommen muss, den er im Punkt (e ′ ,θH) erhielte. 

Im letzten Schritt werden wir die Pooling-Gleichgewichte 

eliminieren. Dazu müssen wir zwei Fälle unterscheiden. 

 

 

 

e


4. Schritt, Fall 1: Die Wahrscheinlichkeit von Typ θH ist 

so niedrig, dass die konstante Lohnfunktion 

w(e) = ˆw = μ0θH +(1− μ0)θL 

unterhalb der Indifferenzkurve von Typ θH durch den Punkt 

(e ′ ,θH) verläuft: 

w 

 

 

 

 

Abb. 7.17: Pooling-Gleichgewichte – Fall 1 

In diesem Fall kann kein Pooling-Gleichgewicht existieren, 

das Bedingung 7.4’ erfüllt, weil Typ θH in einem solchen 

Gleichgewicht einen geringeren Nutzen hätte, als den, den 

er im Punkt (e ′ ,θH) erhielte. 

 

 

 

e


4. Schritt, Fall 2: Die Wahrscheinlichkeit von Typ θH ist 

so hoch, dass die konstante Lohnfunktion 

w(e) = ˆw = μ0θH +(1− μ0)θL 

die Indifferenzkurve von Typ θH durch den Punkt (e ′ ,θH) 

schneidet: 

w 

 

 

 

 

Abb. 7.18: Pooling Gleichgewichte – Fall 2 

Betrachten wir ein Pooling-Gleichgewicht auf e P . Hier hilft 

uns Bedingung 7.4’ nicht weiter, wohl aber das stärkere 

Intuitive Kriterium. 

Alle e>esind für Typ θL gleichgewichtsdominiert: Das 

beste, was Typ θL bekommen kann, wenn er ein solches e 

wählt, ist schlechter als seine Auszahlung bei e p . Dagegen 

sind alle e ∈ ]e, e[ für Typ θH nicht gleichgewichtsdominiert. 

 

 

 

e


Wenn die Firmen e ∈ ]e, e[ beobachten, verlangt das Intuitive 

Kriterium also, dass sie glauben, mit Wahrscheinlichkeit 

1TypθH gegenüberzustehen. Also werden sie in diesem Fall 

w = θH anbieten. Dann aber hat Typ θH einen Anreiz, von 

dem Pooling-Gleichgewicht abzuweichen, was dieses Gleichgewicht 

zerstört. 

Beachten Sie, dass dieses Argument für alle e p ≥ 0 gilt. Es 

existiert also kein Pooling-Gleichgewicht, das dem Intuitiven 

Kriterium genügt. 

Bemerkungen: 

1) Wenn es mehr als zwei Typen im Spence-Modell gibt, 

ist das Intuitive Kriterium zu schwach, um ein eindeutiges 

Gleichgewicht auszuzeichnen. Eine stärkere Verfeinerung 

ist dann notwendig, z.B.: “D1” (“universal divinity”). 

2) Es gibt eine ganze Reihe anderer Verfeinerungen. Fast 

alle wählen im Spence-Modell das sog. Riley-Ergebnis 

(das Pareto-beste separierende Gleichgewicht) als einziges 

Gleichgewicht aus. In komplizierteren Spielen führen 

verschiedene Verfeinerungen aber oft zu einer unterschiedlichen 

Gleichgewichtsauswahl. Es existiert kein Konsens 

über die “richtige” Verfeinerung.


7.11 Reputationsmodelle 

Wir betrachten jetzt wiederholte Spiele mit asymmetrischer 

Information. Hier kann ein Spieler, dessen Typ private Information 

ist, versuchen, eine Reputation dafür aufzubauen, 

ein bestimmter Typ zu sein. 

Der Aufbau einer Reputation ist immer dann interessant, 

wenn es Commitment-Probleme (Probleme der Selbstbindung) 

gibt. 

Beispiele: 

Die Zentralbank möchte sich binden, nicht zu inflationieren. 

Ein Monopolist möchte sich binden, etwaige Marktzutreter 

rigoros zu bekämpfen. 

Die Spieler im Gefangenendilemma möchten sich binden, 

“Tit-for-tat” zu spielen. 

Ein Verkäufer möchte sich binden, seinen Preis nicht zu 

senken. 

In allen diesen Fällen ist die Aktion, an die der Spieler sich 

ex ante binden möchte, ex post nicht mehr optimal. 

In einmaligen Spielen ist die Selbstbindung deshalb nicht 

glaubwürdig.


Wir haben bereits gesehen, dass in unendlich oft wiederholten 

Spielen implizite Verträge möglich sind, die eine Selbstbindung 

stützen können. 

Jetzt betrachten wir einen anderen Mechanismus der Selbstbindung, 

der auch in endlich oft wiederholten Spielen funktionieren 

kann: Reputationseffekte. 

7.12 Das Handelsketten-Paradoxon 

Betrachten Sie erneut das folgende Marktzutrittsspiel: 

Zutreter 

① 

 

 

 

0 

a 

O I 

 

① 

k 

 

 

−1 

−1 

Monopolist 

n 

 

1 

0 

Abb. 7.19: Marktzutrittsspiel 

Dieses Spiel hat zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: 

(I,n) und (O, k), aber das zweite ist nicht teilspielperfekt. 

Darum sollten wir erwarten, dass der Zutreter zutritt 

und der Monopolist den Markt teilt.


Betrachten Sie jetzt das folgende wiederholte Spiel: 

Der Monopolist hat eine Ladenkette mit Filialen in 20 

Orten. 

In jedem Ort gibt es einen lokalen potentiellen Marktzutreter. 

Die Marktzutreter müssen in einer festen Reihenfolge, 

einer pro Periode, über Marktzutritt entscheiden. 

Nach jedem Marktzutritt entscheidet der Monopolist, 

ob er kämpft. 

Auch dieses wiederholte Spiel hat ein eindeutiges TPGG: 

Alle Zutreter treten zu, der Monopolist gibt immer nach. 

Handelsketten-Paradoxon (Chain-Store Paradox) 

(Selten, 1978): 

Der Monopolist sollte die ersten Zutreter bekämpfen, 

um dadurch zukünftige Zutreter vom Zutritt abzuschrecken. 

Aber das ist kein TPGG.


7.13 Das Handelsketten-Spiel mit asymmetrischer 

Information 

Angenommen, die Zutreter sind sich nicht sicher, welchem 

“Typen” von Monopolist sie gegenüberstehen: 

Der “normale” Typ (N) hat dieselben Auszahlungen wie 

in Abb. 7.19. Seine ex-ante-Wahrscheinlichkeit sei 1−ɛ. 

Der “Commitment”-Typ (C) hat die folgenden Auszahlungen: 

Zutreter 

① 

 

 

 

0 

a 

O I 

 

① 

k 

 

 

−1 

−1 

 

Monopolist 

n 

1 

−∞ 

Abb. 7.20: Auszahlungen des “Commitment”-Typen 

Für C ist es eine streng dominante Strategie, jeden Zutreter 

zu bekämpfen. Seine ex-ante-Wahrscheinlichkeit 

sei ɛ. 

Wir nehmen an, dass a>1 und der Monopolist seine 

Auszahlungen nicht diskontiert.


Analyse des Spiels 

Wir bezeichnen die Zutreter mit Zt, wobei der Zeitindex 

“rückwärts” läuft und angibt, wieviele Zutreter (einschließlich 

Zt) noch kommen werden. Der erste Zutreter hat somit 

den Index T , der letzte den Index 1. 

Sei μt(ht) der Belief von Zutreter Zt, dass er dem Commitment-Typen 

gegenübersteht, gegeben, dass er die Geschichte 

ht beobachtet hat. 

Angenommen, der Monopolist hat gegen den Zutreter Zˆt 

nicht gekämpft. Da nicht zu kämpfen für C eine strikt dominierte 

Strategie ist, hat der Monopolist damit offenbart, 

dass er nicht C ist. Das bedeutet: 

μt =0für alle t


Die letzte Runde 

Z1 habe Belief μ1, der sich aus der Vorgeschichte des Spiels 

und den Gleichgewichtsstrategien aller Spieler ergibt. 

Wenn Z1 zutritt, wird 

C kämpfen; 

N nicht kämpfen. 

Zutritt ist für Z1 genau dann strikt besser, wenn 

das heißt, 

(1 − μ1) · 1+μ1 · (−1) > 0, 

μ1 < 1 

2 . 

In der letzten Runde müssen Gleichgewichtsstrategien also 

folgendes vorschreiben: 

Wenn μ1 < 1 

2 ,trittZ1 zu. 

Wenn μ1 > 1 

2 , bleibt Z1 draußen. 

N kämpft nicht. 

Das Verhalten von Z1 bei μ1 = 1 

2 ist dabei (noch) unbestimmt.


Die vorletzte Runde 

Z2 habe Belief μ2.Diemöglichen Beliefs des Z1 hängen vom 

Verhalten des Z2 und des Monopolisten ab; wir bezeichnen 

sie mit μ1(I,n), μ1(I,k) und μ1(O). Dabei gilt μ1(I,n)= 

0 und μ1(O) =μ2. 

Wir müssen zwei Fälle unterscheiden: 

Fall 1: μ2 ≥ 1 

2 . 

Falls Z2 zutritt, wird auch N kämpfen; dies zeigen die folgenden 

Überlegungen: 

Nehmen wir einmal an, dass N mit Wahrscheinlichkeit 

x2 < 1 kämpft. 

Dann ist nach Bayes’ Regel 

μ1(I,k)= 

μ2 

μ2 +(1− μ2) · x2 

>μ2 ≥ 1 

2 . 

Kämpfen heute würde also Zutritt morgen verhindern. 

Wegen UN,2(k) =−1 +a>0 würde es sich für N 

also lohnen, heute mit Wahrscheinlichkeit 1 zu kämpfen 

– dies ist ein Widerspruch zur obigen Annahme. 

Wenn nach Zutritt von Z2 aber sicher gekämpft wird, bleibt 

Z2 besser draußen.


Fall 2: μ2 < 1 

2 . 

Gibt es ein Pooling-Gleichgewicht? 

Nehmen wir an, auch N kämpft. 

Dann ist μ1(I,k)=μ2 < 1 

2 . 

Das bedeutet Zutritt morgen. 

Es wäre für N daher besser, heute nicht zu kämpfen: 

Pooling ist also unmöglich. 

UN,2(k) =−1+0< 0. 

Gibt es ein separierendes Gleichgewicht? 

Nehmen wir an, N kämpft nicht. 

Dann ist μ1(I,k)=1. 


Es würde sich für N daher lohnen, heute doch zu kämpfen: 

UN,2(k) =−1+a>0. 

Separierung ist also auch unmöglich. 

Einzige verbleibende Möglichkeit: Hybrides Gleichgewicht.


Sei x2 die Wahrscheinlichkeit, mit der N bei Zutritt von Z2 

kämpft. 

Im Gleichgewicht muss x2 so gewählt sein, dass der aktualisierte 

Belief von Z1 nach Beobachtung von (I,k) diesen 

gerade indifferent macht zwischen Zutritt und Nicht-Zutritt. 

Gemäß Bayes’ Regel ist dieser Belief 

μ2 

μ1(I,k)= 

. 

μ2 +(1−μ2) · x2 

Indifferenz von Z1 erfordert μ1(I,k)= 1 

2 ,also 

x2 = μ2 

. 

1 − μ2 

Sei y1 die Wahrscheinlichkeit, mit der Z1 nach Beobachtung 

von (I,k) zutritt. 

Im Gleichgewicht muss y1 so gewählt sein, dass N tatsächlich 

indifferent zwischen k und n ist. Da 

UN,2(k) =−1+y1 · 0+(1− y1) · a, 

ist N indifferent genau dann, wenn 

y1 = 

a − 1 

a .


Gegeben dieses Verhalten im Fortsetzungsspiel nach Marktzutritt 

von Z2, sollte Z2 zutreten? 

Wenn Z2 zutritt, erhält er die erwartete Auszahlung 

UZ2 (I) =μ2 · (−1) + (1 − μ2) · [x2 · (−1) + (1 − x2) · 1] 

= −μ2 +(1−μ2)(1 − 2x2) 

= −μ2 +(1−μ2) − 2μ2 

=1−4μ2. Zutritt ist also genau dann strikt besser für Z2, wenn 

μ2 < 1 

4 . 

Fazit: 

In der vorletzten Runde müssen Gleichgewichtsstrategien 


Wenn μ2 < 1 


Wenn μ2 > 1 


N kämpft mit Wahrscheinlichkeit min 

μ2 

1−μ2 

, 1. 

Das Verhalten von Z2 bei μ2 = 1 ist (noch) unbestimmt. 

4 

Dafür wissen wir nun, was Z1 tut, wenn er indifferent ist: 

(und es sich nicht um ein Ein-Perioden- 

Wenn μ1 = 1 

2 

Spiel handelt), tritt Z1 mit Wahrscheinlichkeit a−1 

a zu.


Die drittletzte Runde 

Z3 habe Belief μ3.Diemöglichen Beliefs des Z2 hängen vom 

Verhalten des Z3 und des Monopolisten ab; wir bezeichnen 

sie mit μ2(I,n), μ2(I,k) und μ2(O). Dabei gilt μ2(I,n)= 

0 und μ2(O) =μ3. 

Wir müssen wieder zwei Fälle unterscheiden: 

Fall 1: μ3 ≥ 1 

4 . 

Falls Z3 zutritt, wird auch N kämpfen; dies zeigen die folgenden 

Überlegungen: 

Nehmen wir einmal an, dass N mit Wahrscheinlichkeit 

x3 < 1 kämpft. 

Dann ist nach Bayes’ Regel 

μ2(I,k)= 

μ3 

μ3 +(1− μ3) · x3 

>μ3 ≥ 1 

4 . 

Kämpfen heute würde also den Zutritt von Z2 verhindern. 

Wegen UN,3(k) ≥−1+a>0 würde es sich für N 

also lohnen, heute mit Wahrscheinlichkeit 1 zu kämpfen 

– dies ist ein Widerspruch zur obigen Annahme. 

Wenn nach Zutritt von Z3 aber sicher gekämpft wird, bleibt 

Z3 besser draußen.


Fall 2: μ3 < 1 

4 . 

Gibt es ein Pooling-Gleichgewicht? 

Nehmen wir an, auch N kämpft. 

Dann ist μ2(I,k)=μ3 < 1 

4 . 

Das bedeutet Zutritt morgen, worauf N indifferent zwischen 

Kämpfen und Marktaufteilung sein wird. 

Es wäre für N daher besser, heute nicht zu kämpfen: 

UN,3(k) =−1+UN,2(n) =−1+0+0< 0. 

Pooling ist also unmöglich. 

Gibt es ein separierendes Gleichgewicht? 

Nehmen wir an, N kämpft nicht. 

Dann ist μ2(I,k)=1. 


Es würde sich für N daher lohnen, heute doch zu kämpfen: 

UN,3(k) ≥−1+a>0. 

Separierung ist also auch unmöglich. 

Wir haben also wieder ein hybrides Gleichgewicht.


Sei x3 die Wahrscheinlichkeit, mit der N bei Zutritt von Z3 

kämpft. 

Im Gleichgewicht muss x3 so gewählt sein, dass der aktualisierte 

Belief von Z2 nach Beobachtung von (I,k) diesen 

gerade indifferent macht zwischen Zutritt und Nicht-Zutritt. 

Gemäß Bayes’ Regel ist dieser Belief 

μ3 

μ2(I,k)= 

. 

μ3 +(1−μ3) · x3 

Indifferenz von Z2 erfordert μ2(I,k)= 1 

4 ,also 

x3 = 3μ3 

. 

1 − μ3 

Sei y2 die Wahrscheinlichkeit, mit der Z2 nach Beobachtung 

von (I,k) zutritt. 

Im Gleichgewicht muss y2 so gewählt sein, dass N tatsächlich 

indifferent zwischen k und n ist. Da die Gesamtauszahlung 

von N nach Zutritt von Z2 gleich Null sein wird, ist 

UN,3(k) =−1+y2 · 0+(1− y2) · [a +0]. 

Deshalb ist N vor Zutritt von Z2 genau dann indifferent, 

wenn 

a − 1 

y2 = 

a .


Gegeben dieses Verhalten im Fortsetzungsspiel nach Marktzutritt 

von Z3, sollte Z3 zutreten? 

Wenn Z3 zutritt, erhält er die erwartete Auszahlung 

UZ3 (I) =μ3 · (−1) + (1 − μ3) · [x3 · (−1) + (1 − x3) · 1] 

= −μ3 +(1−μ3)(1 − 2x3) 

= −μ3 +(1−μ3) − 6μ3 

=1−8μ3. Zutritt ist also genau dann strikt besser für Z3, wenn 

μ3 < 1 

8 . 

Fazit: 

In der drittletzten Runde müssen Gleichgewichtsstrategien 


Wenn μ3 < 1 


Wenn μ3 > 1 


N kämpft mit Wahrscheinlichkeit min 

3μ3 

1−μ3 

, 1. 

Das Verhalten von Z3 bei μ3 = 1 ist (noch) unbestimmt. 

8 

Dafür wissen wir nun, was Z2 tut, wenn er indifferent ist: 

(und es sich nicht um ein Zwei-Perioden- 

Wenn μ2 = 1 

4 

Spiel handelt), tritt Z2 mit Wahrscheinlichkeit a−1 

a zu.


Das T -Perioden-Spiel 

Durch vollständige Induktion kann man zeigen, dass das 

Gleichgewicht des T -Perioden-Spiels die folgende Struktur 

hat. 

Wenn ɛ> 1 

2t, dann bleibt Zt draußen. (Beachten Sie 

hierbei, dass μt = ɛ, solange noch niemand zugetreten 

ist.) 

Der erste Marktzutritt erfolgt durch den ersten Zutreter 

Zt, für den ɛ< 1 

2t ist. (Im Grenzfall, dass es ein t gibt 

mit ɛ = 1 

2t, randomisiert Zt. Falls er draußen bleibt, tritt 

Zt−1 zu.) 

Ab dem ersten Marktzutritt randomisiert der normale 

Typ des Monopolisten so, dass der nächste Zutreter gerade 

indifferent ist, ob er zutreten soll, wenn er in der 

Vorperiode Kampf beobachtet hat; und der nächste Zutreter 

randomisiert so, dass der normale Typ tatsächlich 

indifferent ist. 

Jedesmal, wenn der normale Typ kämpft, steigt der Belief 

des nächsten Zutreters, dass er es mit dem Commitment-Typen 

zu tun hat. 

Sobald der normale Typ jedoch einmal nachgegeben hat, 

wird er danach immer nachgeben, und alle folgenden 

Zutreter treten ein.


Bemerkungen: 

1) Marktzutritt erfolgt nur in den letzten Runden des Spiels. 

Wenn T groß ist, wird also in fast allen Perioden (bis 

kurz vor Schluss) kein Zutritt stattfinden. 

2) Schon eine sehr kleine ex-ante-Wahrscheinlichkeit des 

Commitment-Typs reicht bei hinreichend langen Spielen 

aus, um das unplausible TPGG zu überwinden. 

3) Es wird manchmal gesagt, dass der Monopolist im obigen 

Gleichgewicht eine Reputation dafür aufbaut, ein 

Commitment-Typ zu sein. Dies ist nicht ganz richtig, 

denn entlang des Gleichgewichtspfades findet ja zunächst 

kein Zutritt statt, sodass der Monopolist gar keine Möglichkeit 

hat, durch seine Taten eine Reputation aufzubauen. 

Nur wenn ein Zutreter tatsächlich zutritt (entweder 

auf dem Gleichgewichtspfad gegen Ende des Spiels 

oder abseits des Gleichgewichtspfades), kann der Monopolist 

aktiv die Beliefs der anderen Zutreter beeinflussen. 

Aber auch dabei geht es eher um die Erhaltung als den 

Aufbau einer Reputation. 

4) Das Gleichgewicht ist generisch eindeutig. Wir haben 

hier keine Probleme mit multiplen Gleichgewichten, weil 

das Verhalten des Commitment-Typs durch seine extremen 

Präferenzen festgelegt ist.


5) Commitment-Typen dominieren das Spiel auch, wenn 

noch viele andere Typen positive Wahrscheinlichkeit haben 

(Fudenberg und Levine, 1989). 

6) Die Idee zur Lösung des Handelsketten-Paradoxons (und 

anderer Paradoxa, wo TPGGe unplausible Vorhersagen 

machen – siehe endlich wiederholtes Gefangenen-Dilemma 

oder Rosenthals Hundertfüßler) durch Einführung eines 

“Quäntchens” unvollständiger Information geht zurück 

auf die “Viererbande” Kreps, Milgrom, Roberts und 

Wilson (KW 1982, MR 1982 und KMRW 1982). 

7) Gibbons (1992, Kap. 4.3.C) betrachtet ein einfaches 

Beispiel der Reputationseffekte im endlich wiederholten 

Gefangen-Dilemma.

7 Dynamische Spiele mit unvollständiger Information 7.1 Einleitung

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