Hohenheimer Working Papers Wirtscha s- & Unternehmensethik

Durch die Annahme der Möglichkeit von Leerverkäufen sowie der Geldanlage bzw.
-aufnahme des Betrags B zum risikolosen Zinssatz r f kann mit dem Verkauf
von N Anteilen des Assets i zum Spot-Preis S i ,0 und der Wiederanlage des Be-
trags zum Zeitpunkt 0 ein Portfolio aus der risikolosen Anlage B sowie die Call-
Option c i ,0 erworben werden – Gleichung (23):
N S i ,0 = B+c i ,0
Zum Zeitpunkt 1 erhält man bei einem Kursanstieg die Auszahlung der Call-Option
c i ,1, u plus die Auszahlung der mit r f auf den Zeitraum Δ t verzinsten risikolo-
sen Anlage B . Mit dieser Auszahlung lassen sich N Anteile des Assets i zum
gestiegenen Spot-Preis S i ,1 ,u erwerben – siehe Gleichung (24a). Entsprechend
lässt sich bei einem Kursabfall die Auszahlung c i ,1, d plus die Auszahlung der mit
r f verzinsten risikolosen Anlage B realisieren, mit welcher sich N Anteile
des Assets i zum gesunkenen Spot-Preis S i ,1 ,d kaufen lassen – siehe Gleichung
(24b).
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(23)
N S i ,1, u =c i ,1 , u +exp r f Δ t B (24a)
N S i ,1, d =c i ,1 , d +exp r f Δ t B (24b)
Die Wahrscheinlichkeiten sind nur noch vom relativen Up-Faktor u=S i ,1 ,u /S i ,0 ,
vom relativen Down-Faktor d =S i ,1, d / S i ,0 sowie vom risikolosen Zinssatz r f und
dem Zeitraum Δ t abhängig. Nach Umformen der beiden Gleichungen (24a) und
(24b) und Einsetzen in die Gleichung (23) wird die Arbitragefreiheit der generierten
Portfolio bewiesen und man erhält die zeit- und erwartungsunabhängige Wahr-
scheinlichkeiten Π und (1−Π) der Gleichungen (25a) und (25b): 145
Π= expr f Δt −d
(u−d )
1−Π= u−expr f Δ t
(u−d )
(25a)
(25b)
Alternativ zu der Methode aus den Aktienkursen lassen sich die Parameter u und
d aus der Standardabweichung des Asset i σ i sowie dem Zeitraum Δ t ge-
mäß Gleichung (26a) bzw. Gleichung (26b) ermitteln: 146
u=exp σ i √Δt
d =exp −σ i √Δ t
145 Vgl. Ebenda, S. 233f; Ausführliche Herleitung siehe u.a. Hull (2009), S. 302f.
146 Vgl. Spremann (2002), S. 652.
(26a)
(26b)