Funktionalanalysis I - TU Berlin

1.3 Topologische Begriffe
Definition 1.6 (Kugel). Sei (M, d) ein metrischer Raum. Seien x ∈ M und r > 0. Dann
heißt
B(x, r) := { y ∈ M | d(x, y) < r }
die offene Kugel vom Radius r um x.
Beispiel 1.15. Hier sehen Sie B(0, 1) bezüglich veschiedener Metriken:
1
(R 2 , d1)
1
1
(R 2 , d2)
1
1
(R 2 , d∞)
Definition 1.7 (Offen, abgeschlossen, Umgebung, innerer Punkt). Sei (M, d) ein
metrischer Raum.
(i) Ein Punkt x ∈ M heißt innerer Punkt von M, falls ein r > 0 existiert mit
B(x, r) ⊂ M.
(ii) Eine Teilmenge O ⊂ M heißt offen, wenn jeder Punkt in O ein innerer Punkt ist,
d.h.
∀x∈O∃r>0 : B(x, r) ⊂ O.
(iii) Eine Menge A ⊂ M heißt abgeschlossen, falls das Komplement A C = M \ A offen
ist.
(iv) Eine Menge U ⊂ M heißt Umgebung eines Punktes x ∈ M, falls ein r > 0 exsitiert
mit
B(x, r) ⊂ U.
Wichtige Fakten:
1. Die offene Kugeln sind nach der Definition tatsächlich offen.
2. (i) ∅ und M sind offen.
(ii) O1, O2 ⊂ M offen =⇒ O1 ∩ O2 offen.
(iii) (Oi)i∈I ⊂ M offen =⇒
i∈I Oi offen.
3. (i) ∅ und M sind abgeschlossen.
(ii) O1, O2 ⊂ M abgeschlossen =⇒ O1 ∪ O2 abgeschlossen.
(iii) (Oi)i∈I ⊂ M abgeschlossen =⇒
i∈I Oi abgeschlossen.
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