Funktionalanalysis I - TU Berlin

Angenommen, l ∞ (N) ist separabel, d.h. es gibt ein abzählbares A ⊂ l ∞ (N) mit Ā = l∞ (N).
Da A dicht in l ∞ (N) liegt, existiert zu jedem χD, D ∈ P(N), ein aD ∈ A mit
Dann folgt für C, D ∈ P(N) mit D = C
χD − aD ∞ < 1/4. (1.23)
aD − aC ∞ = aD − χC + χC − χD + χD − aC ∞
(1.22)
= 1
Also gilt aD = aC, d.h. die Abbildung
≥ χD − χC∞ − aD − χD∞ − χC − aC∞ > 1/2.
(1.23)
< 1/4
P(N) → A, D ↦→ aD
ist injektiv. Dann ist aber A überabzählbar. Widerspruch!
Ähnlich kann man zeigen, dass L ∞ [0, 1] nicht separabel ist.
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(1.23)
< 1/4