- Seite 1: Funktionalanalysis I Prof. Dr. Petr
- Seite 6 und 7: 1 Grundlagen In diesem Skriptum ben
- Seite 8 und 9: Bemerkungen. 1. Direkt aus der Defi
- Seite 10 und 11: 1.2 Normierte Vektorräume Wir begi
- Seite 12 und 13: c) Der Raum der konvergenten Folgen
- Seite 14 und 15: Beweis. Zu 1: Wir müssen zeigen, d
- Seite 16 und 17: Zum Abschluss dieses Abschnittes no
- Seite 18 und 19: Dann wäre aber lim xk = x und lim
- Seite 20 und 21: Beweis. Eindeutigkeit. Angenommen,
- Seite 22 und 23: Korollar 1.1. Sei P eine metrischer
- Seite 24 und 25: Dann ist B abzählbar. Wir werden
- Seite 26 und 27: Daraus folgt dann für alle s, t
- Seite 28 und 29: 1.7 Kompaktheit Definition 1.13 ((R
- Seite 30 und 31: Beispiel 1.23. Betrachte (l ∞ , .
- Seite 32 und 33: Da M überdeckt wird von den Oi, gi
- Seite 34 und 35: Satz 1.14. Seien (M1, d1) und (M2,
- Seite 36 und 37: Dann folgt |f(x) − f(y)| ≤ |f(x
- Seite 38 und 39: Daraus folgt also nach dem Mittelwe
- Seite 40 und 41: Weiter gilt x ∈ ¯ B(xk, ɛk) ⊂
- Seite 42 und 43: Beweis. Die Implikationskette (i) =
- Seite 44 und 45: 2 Lineare Operatoren und 3 fundamen
- Seite 46 und 47: eine abzählbare Teilmenge. Definie
- Seite 48 und 49: Beweis. Dass L(X, Y ) ein Vektorrau
- Seite 50 und 51: Satz 2.3. Sind . a und . b zwei Nor
- Seite 52 und 53: 2.2 Invertierbare Operatoren Will m
- Seite 54 und 55:
Beispiel 2.10. Wir betrachten die F
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Die Neumannsche Reihe. In einem Spe
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Jetzt gilt die Abschätzung Daraus
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2.3 Die drei wichtigen Hauptsätze
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Folgerungen aus dem Satz von Banach
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Beispiel 2.14. Die Abbildung ist ni
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Somit ist demnach auch der Abschlus
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dass (A0xn)n eine Cauchyfolge in Y
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2.3.3 Der Satz vom abgeschlossenen
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3 Die Sätze von Hahn-Banach und ih
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Sei (M, ≤) eine teilweise geordne
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Zu (iv): Zunächst gilt Wähle nun
- Seite 78 und 79:
Auf der anderen Seite ist Demnach i
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Beweis. Für x = 0 ist die Behauptu
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Setze nun T := ker P. Dann ist T
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• ⊃: Sei nun x ∈ X mit pC(x)
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Dann gilt nämlich Für k → ∞ f
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Wende nun den ersten Schritt an auf
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Zu ⇐=“: Angenommen ” Ū = X.
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Wir fassen nocheinmal zusammen: Sat
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Beweis. Sei also (X, . X ) ein refl
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3.4 Schwache Konvergenz Definition
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6. Im Falle dim X < ∞ gilt Diesel
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∗ un ⇀ u ≡ 0 in L 2 (R), denn
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Auf X ′ kann aber auch noch ein w
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Dann ist (ϕn(x1))n ⊂ K beschrän
- Seite 106 und 107:
Dann gilt ϕ X ′ ≤ ϕ − ϕn X
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Bemerkung. Das Teilfolgenprinzip gi
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Dann gilt nach Linearer Algebra Wei
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Beispiel 3.17. Seien X, Y normierte
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Sei nun x ∈ BX. Dann existiert we
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als den Annihilator von U in X ′
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4 Kompakte Operatoren • Eine Antw
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Beweis. Wir führen den Beweis indu
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Definition 4.1 (Schauderbasis). Ein
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a) φi ist linear für alle i ∈ N
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Es folgt dann zk − x Y = lim n→
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Nun ist T kompakt und daher gibt es
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Korollar 4.1. Sei A ∈ L(X). Dann
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Satz 4.8. Sei wieder K = C. Dann gi
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Bestandteile des Spektrum. 1. Die M
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Beispiel 4.6 (Fortsetzung von Beisp
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4.3 Das Spektrum von kompakten Oper
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also 1 Auf der anderen Seite gil
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Die Annahme der Unbeschränktheit v
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Bemerkungen. 1. Im endlichdimension
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4.4 Quotientenräume Aus dem endlic
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Satz 4.15. 1. Bezüglich der Norm .
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Zu 3. (4.47): Betrachte dazu die Ab
- Seite 152 und 153:
Tatsächlich ist T ∈ K(X), denn A
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Die ersten beiden Eigenschaften ein
- Seite 156 und 157:
Beweis. Zu (i): Nachrechnen ergibt
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Beweis. Seien (xn)n, (yn)n ⊂ X Fo
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Umstellen und teilen durch t liefer
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) Stetigkeit und Norm: Nach der obi
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Sei dann w ∈ U ⊥ mit ϕ(w) = 1,
- Seite 166 und 167:
5.2 Orthonormalbasen Eine Familie (
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Beweis. Sei N ∈ N und Dann gilt d
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Da (αk)k ∈ l2 K (N), ist ( n k=1
- Seite 172 und 173:
Solche Kerne heißen symmetrisch. E
- Seite 174 und 175:
Zu 11: Zunächst gilt ker A = (R(A
- Seite 176 und 177:
Lemma 5.5. Sei A ∈ L(H). Dann gil
- Seite 178 und 179:
Ist y = 0, so gilt Axn → 0. Darau
- Seite 180 und 181:
die Abschätzung Daraus folgt Somit
- Seite 182 und 183:
) Die Konstruktion bricht nie ab: D
- Seite 184 und 185:
Beweis. Zur Existenz: Nach Satz 5.9
- Seite 186 und 187:
Beweis. Sei T : M → M eine stetig
- Seite 188 und 189:
Offensichtlich ist ψ stetig. Setze
- Seite 190 und 191:
denn 13 uk → 0, da uk ∈ l 2 . A
- Seite 192 und 193:
eine endliche Teilüberdeckung, d.h
- Seite 194 und 195:
6.2 Anwendungen des Schauderschen F
- Seite 196 und 197:
Beispiel 6.4. Eine weitere Anwendun
- Seite 198 und 199:
6.3 Weitere Fixpunktsätze • Kura
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Beweis. Zu 1: Trivial. Zu 2: Zunäc
- Seite 202 und 203:
Beweis. Die Idee des Beweises beste
- Seite 204 und 205:
Beweis. Nach Lemma 6.4 existiert ei
- Seite 206 und 207:
Beweis. 1. Schritt: Existenz einer
- Seite 208 und 209:
Wegen der gleichmäßigen Konvexit
- Seite 210 und 211:
d.h. ∀f∈A∀ i∈{1,...,I}∃ j
- Seite 212 und 213:
Um den Widerspruchsbeweis zu beende
- Seite 214 und 215:
7.3.2 Laurantreihen Kreisring: Sei
- Seite 216 und 217:
und ˜ynx ≤ n˜yn, also ˜yn ∈
- Seite 218 und 219:
Beweis. Zu ” (i) ⇐⇒ (iii)“:
- Seite 220 und 221:
und damit könnnen wir nun die 1. V
- Seite 222 und 223:
Also ist ∂ det P ∂p r s Setze n
- Seite 224 und 225:
7.5.2 Der Beweis des Brouwerschen F
- Seite 226 und 227:
7.5.3 Der Satz von Kakutani In Kapi
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