Funktionalanalysis I - TU Berlin

1.4 Stetigkeit von Abbildungen
Wir kommen nun zum Begriff der Stetigkeit, den Sie natürlich schon aus dem Grundstudium
kennen. Wir wollen hier auch nur noch einmal schnell die Definition und äquivalente
Formulierungen geben:
Definition 1.10 ((Folgen-)Stetigkeit). Seien (M1, d1) und (M2, d2) zwei metrische
Räume sowie f : M1 → M2 eine Abbildung.
(i) f heißt (folgen-)stetig in x ∈ M1, wenn für jede Folge (xn)n ⊂ M1 mit lim xn = x
gilt
lim f(xn) = f(x).
(ii) f heißt stetig auf M1, wenn f stetig in jedem x ∈ M1.
Manchmal ist es nützlich einige äquivalente Formulierungen zu kennen:
Satz 1.2. Seien (M1, d1) und (M2, d2) metrische Räume und f : M1 → M2 eine Abbildung.
Weiter sei x ∈ M1. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(i) f ist stetig in x,
(ii)
∀ɛ>0∃δ>0 : (d1(x, y) < δ =⇒ d2(f(x), f(y))) < ɛ,
(iii) Für alle Umgebungen U von f(x) in M2 gilt
f −1 (U) ist Umgebung von x,
(iv) Für alle offenen (abgeschlossenen) Mengen U ⊂ M2 mit f(x) ∈ U gilt
Bemerkungen.
f −1 (U) ist offen (abgeschlossen) in M1 und enthält x.
1. Man kann mit Hilfe von (iii) die Stetigkeit von Abbildungen
f : (M1, T1) → (M2, T2)
in topologischen Räumen M1 und M2 definieren.
Natürlich kann man auch die Folgenstetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen
definieren. Aber die beiden Begriffe sind i.a. nicht zueinander äquivalent!
2. Die Formulierung (ii) der Stetigkeit von f in x ist äquivalent zu
Das folgt im Grunde aus
und
∀ɛ>0∃δ>0 : f(B(x, δ)) ⊂ B(f(x), ɛ).
d1(x, y) < δ ⇐⇒ y ∈ B(x, δ) ⇐⇒ f(y) ∈ f(B(x, δ))
d2(f(x), f(y)) < ɛ ⇐⇒ f(y) ∈ B(f(x), ɛ).
Beweis des Satzes. Zu ” (i) =⇒ (ii)“: Sei ɛ > 0. Gäbe es kein δ > 0 wie angegeben, so gäbe
es insbesondere zu jedem k ∈ N ein xk ∈ G mit
d1(x, xk) < 1
k + 1 , aber d2(f(x), f(xk)) ≥ ɛ.
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