Funktionalanalysis I - TU Berlin

1.10 Ergänzung: Eigenschaften von normierten Vektorräumen
Dieser Abschnitt sei der Äquivalenz von Normen gewidmet. Bevor wir aber dazu kommen,
vorerst noch ein kleiner
Satz 1.18. Sei X ein normierter Vektorraum.
(i) Aus xn → x und yn → y folgt xn + yn → x + y.
(ii) Aus λn → λ und xn → x folgt λnxn → λx.
(iii) Aus xn → x folgt xn → x.
Beweis. Zu (i): Das ist einfach wegen
Zu (ii): Das ist auch nicht schwer, denn
(xn + yn) − (x + y) ≤ xn − x + yn − y → 0.
λnxn − λx ≤ λnx − λnx + λnx − λx = |λn| xn − x + |λn − λ| xn → 0.
Zu (iii): Das ist genauso einfach, weil
|xn − x| ≤ xn − x → 0.
Insbesondere ist also eine konvergente Folge (xn) beschränkt, d.h. die Folge der Normen
(xn) ist beschränkt.
Korollar 1.2. Sei U ein Untervektorraum des normierten Raumes X. Dann ist der Abschluss
Ū ebenfalls ein Untervektorraum.
Beweis. Seien also x, y ∈ Ū. Dann existieren xn, yn ∈ U mit xn → x und yn → y. Es folgt
U ∋ xn + yn → x + y.
Also gilt in der Tat x + y ∈ Ū. Für λ ∈ K konvergiert (λxn) gegen (λx). Also gilt auch
λx ∈ Ū.
Wir kommen nun zur angekündigten
Definition 1.14 (Äquivalenz zwischen Normen). Zwei Normen . und ||| . ||| auf
einem Vektorraum X heißen äquivalent, falls es Zahlen M ≥ m > 0 gibt, so dass
Von Vorteil ist der folgende
mx ≤ ||| x ||| ≤ Mx für alle x ∈ X.
Satz 1.19. Seien . und ||| . ||| zwei Normen auf X. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) . und ||| . ||| sind äquivalent.
(ii) Eine Folge ist bezüglich . konvergent genau dann, wenn sie es bezüglich ||| . ||| ist.
Außerdem stimmen die Grnezwerte überein.
(iii) Eine Folge ist .-Nullfolge genau dann, wenn sie eine ||| . |||-Nullfolge ist.
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