Funktionalanalysis I - TU Berlin

• Ist |s − t| < √ δ, so folgt (1.20) aus (1.19).
• Ist |s − t| ≥ √ δ, so ergibt sich (1.20) aus
Setze jetzt
ɛ + α(t − s) 2 ≥ ɛ + αf ∞ > |f(s)| + |f(t)| ≥ |f(s) − f(t)| .
Dann kann man (1.20) auch schreiben als
gt(s) := (t − s) 2 .
− ɛ − αgt < f − f(t) < ɛ + αgt für alle t ∈ [0, 1]. (1.21)
Wir berechnen jetzt Bn(., xj) für xj(s) = s j , j = 0, 1, 2, mit Hilfe des binomischen Satzes:
Bn(s, x0) =
n
i=1
n
s
i
i (1 − s) n−i = (s + (1 − s)) n = 1.
n
n
Bn(s, x1) = s
i
i=0
i n−i i
(1 − s)
n =
n
n i
i n
i=0
si (1 − s) n−i
n
n − 1
=
s
i − 1
i=0
i (1 − s) n−i n
n − 1
=
s
i − 1
i=1
i (1 − s) n−i
n−1
n − 1
=
s
i
i+1 (1 − s) n−(i+1) n−1
n − 1
= s
s
i
i (1 − s) (n−1)−i
i=0
= s(s + (1 − s)) n−1 = s.
n
n
Bn(s, x2) = s
i
i=0
i (1 − s) n−i
2 n−1
i
wie oben n − 1
=
s
n
i
i=0
i+1 n−(i+1) i + 1
(1 − s)
n
= 1
n−1
n − 1
s
n i
i=0
i+1 (1 − s) n−(i+1) + s
n−1
n − 1
is
n i
i=0
i (1 − s) n−(i+1)
= Bn(s, x1)
+
n
s
n−1
n − 1
s
n i − 1
i=1
i (1 − s) n−(i+1)
= s
n−2
s
n − 1
+ s
n n i
i=0
i+1 (1 − s) (n−2)−i
= s
n−2
s2
n − 2
+ (n − 1)
s
n n i
i (1 − s) (n−2)−i
i=0
= s s2
+
n n (n − 1)(s + (1 − s))n−2 =
i=0
s(1 − s)
n
+ s 2 .
Wir bilden jetzt die Bernsteinpolynome aus den Funktionen aus (1.21). Wegen der Monotonie
(1.17) und der Linearität (1.18) ist dann
Wegen
ist also
−Bn(., ɛ + αgt) = Bn(., −ɛ − αgt) < Bn(., f − f(t)) < Bn(., ɛ + αgt).
Bn(., f − f(t)) = Bn(., f) − f(t) Bn(., 1) = Bn(., f) − f(t).
=1
Bn(., −ɛ − αgt) < Bn(., f) − f(t) < Bn(., ɛ + αgt).
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