Funktionalanalysis I - TU Berlin

Das gilt natürlich auch für x = 0.
Zu (iv) =⇒ (v): Sei also ɛ > 0. Wähle δ := ɛ
C mit dem C > 0 aus (iv). Beachte, dass für
C = 0 nichts zu zeigen wäre. Dann gilt für alle x, y ∈ X mit x − y ≤ δ
Notationen.
Ax − Ay = A(x − y) ≤ Cx − y ≤ Cδ = ɛ.
• L(X, Y ) ist der K-Vektorraum aller stetigen linearen Abbildungen von X nach Y :
L(X, Y ) := { A : X → Y | A linear und stetig } .
Ein Element A ∈ L(X, Y ) heißt auch stetiger linearer Operator oder beschränkter
linearer Operator. Beachten Sie, dass L(X, Y ) = ∅, denn stets ist der Nulloperator
x ↦→ 0 in L(X, Y ).
• Ist der Bildraum Y = X, so schreiben wir auch
• Die Menge
L(X) := L(X, X) .
X ′ := L(X, K)
heißt der topologische Dualraum von X und die Elemente A ∈ X ′ heißen stetige, lineare
Funktionale auf X.
Bemerkungen.
1. Tatsächlich ist L(X, Y ) ein Vektorraum. Das liegt daran, weil Summen und skalare
Vielfache von Nullfolgen wieder Nullfolgen sind. Also ist L(X, Y ) bezüglich der algebraischen
Operationen
ein Vektorraum.
(A + B)(x) = Ax + Bx
(λA)(x) = λAx
2. Beachten Sie, dass man zwischen dem algebraischen und dem topologischen Dualraum
unterscheiden muss. Nicht jedes lineare Funktional ist stetig (vgl. das folgende
Beispiel 2.1).
Beispiel 2.1. Sei (X, . ∞ ) ein unendlich-dimensionaler normierter Vektorraum. Dann besitzt
X eine Hamelbasis, d.h. eine maximale lineare Menge von Elementen
{ xi ∈ X | i ∈ I }
aus X, so dass jedes Element x ∈ X eine eindeutige Darstellung als endliche Linearkombination
von Elementen xi besitzt 3 .
O.B.d.A. sei xi = 1 für alle i ∈ I. Weiter sei
{ xik | k ∈ N } ⊂ { xi | i ∈ I }
3 Das kann man z.B. mit dem Lemma von Zorn beweisen
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