Funktionalanalysis I - TU Berlin

Beispiel 1.28 (Gewichtete Norm). Betrachte für α > 0 die Normen
||| f ||| α = sup |f(t)| e
0≤t≤1
−αt .
auf C[0, 1]. Dann sind . ∞ und ||| . ||| α äquivalent, denn es gilt
||| f ||| α ≤ f ∞ ≤ e α ||| f ||| α
für alle f ∈ C[0, 1].
Auf der einen Seite gilt nämlich für alle f ∈ C[0, 1] und t ∈ [0, 1]
und auf der anderen Seite
e −αt |f(t)| ≤ |f(t)| ≤ f ∞
|f(t)| = e αt e −αt |f(t)| ≤ e αt ||| f ||| α ≤ e α ||| f ||| α .
Die ||| . ||| α -Norm wird oft in der Theorie der gewönhlichen Differentialgleichungen benutzt,
weil mit dieser oft aus einer nichtkontraktiven Abbildung eine Kontraktion wird, was von
Vorteil ist, wenn man den Banachschen Fixpunktsatz anwenden möchte.
Abschließend kommmen wir nun zu dem nützlichen
Satz 1.20. Auf einem endlichdimensionalen Raum sind je zwei Normen äquivalent.
Beweis. Sei etwa
dim X =: N
Weiter sei {e1, . . . , eN } eine Basis von X sowie . eine Norm auf X. Wir wollen zeigen, dass
. äquivalent zur euklidischen Norm
N
N
αiei
= |αi|
2
1/2
ist.
Definiere
Dann folgt
Also gilt
i=1
i=1
i=1
2
N
N
αiei ≤ |αi| ei Hölder
≤
i=1
M := max{e1, . . . , eN} > 0.
x ≤ M √ Nx 2
N
|αi| 2
1/2
N
ei 2
i=1
für alle x ∈ X.
i=1
1/2
Daraus sieht man, dass . bezüglich . 2 stetig ist, denn aus xk − x 2 → 0 folgt
Weiter ist die Menge
in (X, . 2 ) abgeschlossen, weil
|xk − x| ≤ xk − x ≤ M √ Nxk − x 2 → 0.
S := { x ∈ X | x 2 = 1 }
S = . −1
2 ({1})
und {1} abgeschlossen sowie . 2 stetig ist. Offensichtlich ist auch S beschränkt bezüglich
. 2 und zusammenfassend heißt das, dass S kompakt ist nach dem Satz von Heine Borel
(Satz 1.9). Daher nimmt die stetige Funktion . auf S ihr Minimum m ≥ 0 an. Es gilt sogar
m > 0, denn wäre m = 0, so folgte x = 0 im Widerspruch zu x ∈ S. Schließlich folgt
mx 2 ≤ x für alle x ∈ X,
weil x/x 2 ∈ S für x = 0. Damit ist gezeigt, dass jede Norm zu . 2 äquivalent ist und
daraus folgt die Behauptung.
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