Funktionalanalysis I - TU Berlin

Dann heißt T eine Topologie auf M und (M, T ) heißt topologischer Raum. Die Elemente in
T nennt man die offenen Teilmengen von M.
Achtung. Es gibt Topologien, die nicht von einer Metrik induziert werden (vgl. Beispiel
1.17)!
Es reicht aus, eine Topologie auf einer Menge zu definieren, um Begriffe wie Konvergenz,
Stetigkeit usw. erklären zu können.
Definition 1.8 (Hausdorff-Eigenschaft). Ein topologischer Raum (M, T ) heißt hausdorffsch,
wenn man verschiedene Punkte x, y ∈ M durch offene Kugeln trennen kann, d.h.
es gibt O1, O2 ∈ T mit
x ∈ O1, y ∈ O2 und O1 ∩ O2 = ∅.
Beispiel 1.16. Jeder metrische Raum ist hausdorffsch.
Beweis. Seien also x, y ∈ M mit x = y. Setze
Definiere dann
Wäre nun z ∈ O1 ∩ O2, so wäre
ɛ := d(x, y) > 0.
O1 := B(x, ɛ/3) und O2 := B(y, ɛ/3).
ɛ = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) < ɛ/3 + ɛ/3 = 2/3ɛ.
Das ist aber ein Widerspruch, also gibt es kein z ∈ O1 ∩ O2: Der Durchschnitt ist leer.
Beispiel 1.17. Sei M := {1, 2}. Wir betrachten die so genannte Klumpentopologie
T := {∅, M} .
Dann ist (M, T ) nicht hausdorffsch und kann insbesondere nach Beispiel 1.16 nicht von einer
Metrik erzeugt sein.
Definition 1.9 (Inneres, Abschluss, Rand). Seien (M, d) ein metrischer Raum und
A ⊂ M.
(i) Die Menge
◦
A:= A ◦ = { x ∈ A | x ist innerer Punkt von A }
heißt das Innere von A. A ◦ ist die größte offene Teilmenge von A, d.h. A ◦ ⊂ A.
(ii) Die Menge
Ā := { x ∈ M | ∀r>0B(x, t) ∩ A = ∅ }
heißt der Abschluss von A. Ā ist die kleineste abgeschlossene Menge M, die A umfasst,
also A ⊂ Ā. Man kann zeigen, dass
(iii) Die Menge
heißt der Rand von A und es gilt
Ā = { x ∈ M | ∃ (xn)n⊂A : xn
∂A := Ā \ A◦
d
−→ x }.
∂A = { x ∈ M | ∀r>0 : B(x, r) ∩ A = ∅ = B(x, r) ∩ M \ A }.
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