Funktionalanalysis I - TU Berlin

Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen 6
1.1 Metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Normierte Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Topologische Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Stetigkeit von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Dichtheit und Separabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7 Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8 Der Satz von Arzelà Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9 Der Satz von Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.10 Ergänzung: Eigenschaften von normierten Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Lineare Operatoren und 3 fundamentale Sätze 44
2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 Invertierbare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 Die drei wichtigen Hauptsätze der Funktionalanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3.1 Der Satz von Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3.2 Der Satz von der offenen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.3 Der Satz vom abgeschlossenen Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3 Die Sätze von Hahn-Banach und ihre Konsequenzen 72
3.1 Die Fortsetzungssätze von Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2 Geometrische Formen des Satzes von Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3 Reflexive Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4 Schwache Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.5 Adjungierte und kompakte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4 Kompakte Operatoren 118
4.1 Eine Antwort auf F (X, Y ) ? = K(X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.2 Spektrum und Resolvente beschränkter, linearer Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.3 Das Spektrum von kompakten Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.4 Quotientenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5 Hilberträume, Orthonormalbasen und kompakte Operatoren 153
5.1 Hilberträume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.2 Orthonormalbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.3 Operatoren im Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6 Ausblick: Nichtlineare Funktionalanalysis 185
6.1 Fixpunktsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.2 Anwendungen des Schauderschen Fixpunktsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.3 Weitere Fixpunktsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
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