Funktionalanalysis I - TU Berlin

gibt es t2 ∈ M mit
Nun ist auch
also existiert ein t3 ∈ M mit
d(t1, t2) ≥ ɛ.
B(t1, ɛ) ∪ B(t2, ɛ) = M,
d(t3, tk) ≥ ɛ für k = 1, 2.
So fortfahrend, erhält man eine Folge (tn)n in M, für die
d(tn, tk) ≥ ɛ für alle k < n.
Es ist klar, dass keine Teilfolge von (tn) eine Cauchy-Folge sein kann. Daher enthält
(tn) erst recht keine konvergente Folge. Widerspruch!
Zu ” (iii) =⇒ (i)“: Angenommen, (M, d) ist nicht kompakt.
Dann gibt es eine offene Überdeckung
M ⊂
Oi,
i∈I
die keine endliche Teilüberdeckung von M enthält.
Da M präkompakt ist, existiert zu ɛ1 = 1 eine endliche Überdeckung von M durch Kugeln
mit Radius 1, d.h.
M ⊂
n1
i=1
B(x (1)
i , ɛ1).
Aus unserer Annahme folgt, dass mindestens einer dieser Kugeln B(x (1)
i , ɛ1) nicht durch endlich
viele der Mengen (Oi)i∈I überdeckt werden kann. O.B.d.A. sei das die Kugel B(x (1)
1 ɛ1).
Nun sei ɛ2 = 1/2 und seien (x (2)
1
Es folgt
, . . . , x(2)
n2 ) gemäß der Präkompaktheit von M zu ɛ2 gewählt.
B(x (1)
1 , ɛ1) =
n2
k=1
B(x (1)
1 , ɛ1) ∩ B(x (2)
k
und eine dieser Mengen, sagen wir B(x (1)
1 , ɛ1) ∩ B(x (2)
1 , ɛ2), kann nicht endlich überdeckbar
durch die Oi sein.
Wir führen jetzt das Verfahren fort mit ɛ3 = 1/4, ɛ4 = 1/8, . . . , ɛn = 2−n+1 und konstruieren
so Punkte sn, so dass
n
B(sk, ɛk)
k=1
für kein n ∈ N endlich überdeckbar ist. Insbesondere ist stets
B(sn, ɛn) ∩ B(sn+1, ɛn+1) = ∅.
Ansonsten würde ja doch eine endliche Überdeckung existieren.
Betrachte nun die entstandene Folge (sn)n. Dann ist für jedes beliebige x ∈ B(sn, 2 1−n ) ∩
B(sn+1, 2 −n )
, ɛ2)
d(sn, sn+1) ≤ d(sn, x) + d(x, sn+1) ≤ 2 −n+1 + 2 −n = 2 −n (2 + 1) = 3 · 2 −n .
Daher konvergiert d(sn, sn+1) und nach dem Cauchyfolgenkriterium ist (sn)n eine
Cauchy-Folge.
Weil M vollständig ist, existiert ein s ∈ M mit
s := lim sn. (1.25)
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