Funktionalanalysis I - TU Berlin

1.8 Der Satz von Arzelà Ascoli
Der Satz von Arzelà Ascoli ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Theorie der Differentialgleichungen,
weil man mit ihm z.B. den klassischen Satz von Peano beweisen kann. Dafür reicht
im Grunde die erste Version des Satzes, den ich hier vorstellen werde. Arbeitet man jedoch
in unendlich dimensionalen Banachräumen, so gilt diese nicht mehr. Dafür gibt es aber dann
eine hübsche Verallgemeinerung dieses Satzes.
Satz 1.15 (von Arzelà-Ascoli: Klassische Version). Sei (K, d) ein kompakter metrischer
Raum und sei A ⊂ C(K), wobei C(K) wie üblich mit der Supremumsnorm versehen
wird. Dann ist A genau dann relativ kompakt, wenn gilt
(i) A ist punktweise beschränkt, d.h.
(ii) A ist gleichgradig stetig auf K, d.h.
Bemerkungen.
∀x∈K∃Cx>0 : |f(x)| ≤ Cx für alle f ∈ A.
∀ɛ>0∃δ>0 : |f(x) − f(y)| < ɛ für alle x, y ∈ K mit d(x, y) < δ und alle f ∈ A.
1. Gilt in dem Satz zusätzlich die Bedingung
(iii) A ist abgeschlossen,
so folgt, dass A kompakt ist bzw. wenn A kompakt ist, dass dann (i), (ii) und (iii)
folgen.
2. Aus der Kompaktheit von K folgt sofort, dass A gleichmäßig gleichgradig stetig ist,
d.h.
∀ɛ>0∃δ>0∀f∈A : |f(x) − f(y)| < ɛ für alle x, y ∈ K mit d(x, y) < δ.
Beweis des Satzes. Zu ” =⇒“.
• A ist punktweise beschränkt:
Da A relativ kompakt ist, ist Ā kompakt, also Ā beschränkt und wegen A ⊂ Ā ist
dann auch A beschränkt, d.h. für alle f ∈ A gilt
sup f∞ = sup max |f(x)| < ∞.
f∈A
f∈A x∈K
Somit ist A insbesondere auch punktweise beschränkt, was zu zeigen war.
• A ist (gleichmäßig) gleichgradig stetig:
A ist relativ kompakt und demnach A präkompakt. Es existieren also zu ɛ > 0 Funktionen
f1, . . . , fn ∈ A mit
A ⊂
n
i=1
B(fi, ɛ
3 ). (1.29)
Alle f1, . . . , fn sind nach Satz 1.14 gleichmäßig stetig (da K kompakt ist). Deshalb
existiert ein δ > 0, so dass
|fi(x) − fi(y)| < ɛ
3 für alle x, y ∈ K mit d(x, y) < δ ∀i=1,...,n. (1.30)
Ist nun f ∈ A beliebig, so gibt es wegen (1.29) ein j ∈ {1, . . . , n}, so dass
f ∈ B(fj, ɛ
3 ). (1.31)
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