Funktionalanalysis I - TU Berlin

Beispiel 2.6. In diesem Beipsiel möchte ich zeigen, dass c0 in c abgeschlossen ist: Betrachte
dazu die lineare Abbildung
A : c → K, x = (tn)n ↦→ lim tn.
Es ist A = 1, denn auf der einen Seite hat man
|Ax| = |lim tn| = lim |tn| ≤ sup |tn| = tn ∞ = x ∞ =⇒ A ≤ 1
und auf der anderen Seite gilt
A ≥ |A(1)n| = 1.
Also ist A stetig mit A = 1. Weil A stetig und {0} abgeschlossen ist, folgt aus
dass c0 abgeschlossen in c ist.
c0 = A −1 ({0}) = { x ∈ c | Ax = 0 },
Satz 2.2. Falls (Y, . Y ) ein Banachraum ist, so ist auch (L(X, Y ), . L(X,Y ) ) ein Banachraum.
Insbesondere ist X ′ = L(X, K) ein Banachraum für jeden beliebigen normierten
Vektorraum (X, . X ).
Beweis. Sei also (An)n eine Cauchyfolge in L(X, Y ), d.h.
Da für alle x ∈ X die Abschätzung
∀ɛ>0∃m0∈N : ||An − Am|| L(X,Y ) ≤ ɛ ∀n,m≥m0 .
Anx − Amx Y ≤ An − Am L(X,Y ) x X .
besteht, gilt insbesondere für jedes feste x ∈ X
d.h. (Anx) ist eine Cauchyfolge in Y .
Anx − Amx ≤ ɛ ∀n,m≥m0 , (2.3)
Weil Y vollständig ist, existiert also lim Anx in Y . Wir bezeichnen den Limes als Ax, d.h.
Ax := lim Anx.
Die so definierte Abbildung A : X → Y, x ↦→ Ax ist linear, denn
A(λx1 + µx2) = lim An(λx1 + µx2) = lim(λAnx1 + µAnx2)
= λ lim Anx1 + µ lim Anx2 = λAx1 + µAx2.
Wir zeigen jetzt A ∈ L(X, Y ) (also A < ∞) und An − A → 0.
Für alle x ∈ X gilt
Ax = lim Anx ≤ lim sup An x.
=:C
Es ist C < ∞, da (An) eine Cauchyfolge in L(X, Y ) ist und Cauchyfolgen beschränkt sind.
Es folgt
Ax ≤ Cx für alle x ∈ X
Also ist A beschränkt und damit stetig: A ∈ L(X, Y ).
Es bleibt zu zeigen, dass An − A → 0: Für n → ∞ in (2.3) erhalten wir für alle x ∈ X die
Abschätzung
Ax − Amx Y ≤ ɛ ∀m≥m0 .
Daraus folgt
A − AmL(X,Y ) = sup Ax − AmxY ≤ ɛ ∀m≥m0
x∈BX
,
d.h. aber An → A im Sinne der Operatornorm in L(X, Y ).
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