Funktionalanalysis I - TU Berlin

1.9 Der Satz von Baire
Der Satz von Baire ist ein wirklich wichtiger Satz der Funktionalanalysis, da wir ihn noch
oft brauchen werden:
Satz 1.17 (von Baire). Seien (M, d) ein vollständiger, metrischer Raum, M = ∅ und
(Ak)k ⊂ M eine Familie abgeschlossener Teilmengen in M mit
M =
∞
Ak.
k=1
Dann existiert mindestens ein k0 ∈ N mit A◦ = ∅, d.h. mindestens ein abgeschlossenes
k0
Ak enthält eine offene Kugel.
Beweis. Annahme: A ◦ k = ∅ für alle k ∈ N, d.h. kein Ak enthält eine offene Kugel.
Dann gilt die folgende Tatsache:
Für ein beliebiges k ∈ N und eine beliebige offene Menge O ⊂ M mit O = ∅ und Ak ⊂ O
existiert ein x ∈ M und ein ɛ > 0, so dass
¯B(x, ɛ) := { y ∈ M | d(x, y) ≤ ɛ } ⊂ O \ Ak. (1.35)
Hierbei ist wichtig, dass O \ Ak = ∅. Das ist nach Annahme auch der Fall, denn wäre
O \ Ak = ∅, so enthielte ja Ak eine offene Kugel, also A◦ k = ∅, was ein Widerspruch zur
Annahme wäre. Also ist tatsächlich O \ Ak = ∅(!).
Wende nun (1.35) sukzessiv an:
• Zunächst finden wir ein x1 ∈ M und ein 0 < ɛ1 < 1 mit
¯B1 := ¯ B(x1, ɛ1) ⊂ M \ A1 = ∅.
• Weiter existiert nach (1.35) ein x2 ∈ M und ein 0 < ɛ2 < 1
2 , so dass
¯B2 := ¯ B(x2, ɛ2) ⊂ B(x1, ɛ1) \ A2 = ∅.
Beachten Sie, dass auch hier wieder B(x1, ɛ1) offen ist und dass
¯B2 ⊂ B(x1, ɛ1) \ A2 ⊂ B(x1, ɛ1) ⊂ ¯ B(x1, ɛ1) = ¯ B1.
• Wir setzen das Verfahren induktiv fort: Es gibt also ein xk ∈ M und ein 0 < ɛk < 2 1−k ,
so dass für alle k ∈ N
und
¯Bk := ¯ B(xk, ɛk) ⊂ B(xk−1, ɛk−1) \ Ak = ∅
¯Bk ⊂ ¯ Bk−1
Insbesondere gilt wegen (1.36), dass für alle k ∈ N
also
xn ∈ ¯ B(xk, ɛk) = ¯ Bk für alle n ≥ k,
d(xn, xk) < ɛk < 2 1−k
und daher ist (xn)n eine Cauchyfolge in M.
Weil M vollständig ist, gibt es ein x ∈ M mit
x := lim xn.
39
für alle n ≥ k
(1.36)