Funktionalanalysis I - TU Berlin

Beispiel 1.1 (Standardmetrik). Für M = R heißt
die so genannte Standardmetrik.
d(x, y) := |x − y| , x, y ∈ R (1.1)
Beispiel 1.2 (Euklidische Metrik). Für M ⊂ RN , N ∈ N, heißt
N
d2(x, y) := |xk − yk| 2
1/2
, x, y ∈ R N
die so genannte Euklidische Metrik
k=1
(1.2)
Die Metrik in (1.2) kann man für 1 ≤ p < ∞ verallgemeinern zu
N
dp(x, y) := |xk − yk| p
1/p
, x, y ∈ R N . (1.3)
k=1
Man kann zeigen, dass dann für p = ∞
d∞(x, y) = sup |xk − yk| , x, y ∈ R
k=1,...,N
N . (1.4)
Beispiel 1.3 (Diskrete Metrik). Sei M eine beliebige Menge. Dann heißt
d(x, y) :=
1
0
, falls x = y,
, sonst.
die diskrete Metrik auf M.
(1.5)
Beispiel 1.4. Sei M eine beliebige Menge und d eine Metrik auf M. Dann ist auch
¯d(x, y) := min {1, d(x, y)} , x, y ∈ M (1.6)
eine Metrik auf M.
Beispiel 1.5. Sei M = C[a, b] := { f : [a, b] → C | f stetig }. Dann ist
eine Metrik auf M.
Konvergenz:
d(f, g) := max |f(x) − g(x)| , f, g ∈ C[a, b] (1.7)
x∈[a,b]
Definition 1.2 (Konvergenz, Cauchyfolge). Sei (M, d) ein metrischer Raum. Seien
(xn)n ⊂ M eine Folge und x ∈ M. Man sagt
(i) (xn)n konvergiert gegen x, falls gilt
Notation:
∀ɛ>0∃n0∈N : d(xn, x) < ɛ für alle n ≥ n0.
lim
n→∞ xn
d
= x oder xn → x.
(ii) (xn)n konvergiert in M, falls ein x ∈ M existiert, so dass xn
(iii) (xn)n heißt Cauchy-Folge, falls
d
→ x.
∀ɛ>0∃n0∈N : d(xn, xm) < ɛ für alle n, m ≥ n0.
(iv) Der metrische Raum (M, d) heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge in M konvergiert.
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