Funktionalanalysis I - TU Berlin

Weiter gilt
Au ∞ = sup
x∈[a,b]
b
a
b
k(x, y)u(y)dy
≤ sup |k(x, y)| dy u∞ ,
x∈[a,b] a
=:C
d.h. A erfüllt (iv) von Satz 2.1 und daher ist A stetig, also A ∈ L(X, Y ).
Der hier betrachtete Operator heißt Fredholmscher Integraloperator und k sein Kern.
Die letzten Beispiele motivieren die folgende Norm einzuführen:
Operatornorm.
Für A ∈ L(X, Y ) definiert man
A = A L(X,Y ) := inf{ C ≥ 0 | Ax Y ≤ C ∀x∈BX
und A heißt die Operatornorm von A.
Es gibt noch eine andere Möglichkeit, die Operatornorm auszudrücken, was viel schöner für
die Anwendung ist:
A = sup Ax .
x∈BX
Beweis. Setze C0 := sup x∈BX
} .
Ax. Dann gilt offensichtlich für alle x ∈ BX
Ax ≤ C0 =⇒ A ≤ C0.
Wählt man andererseits zu ɛ > 0 ein xɛ = 0 mit
so ergibt sich
Da ɛ > 0 beliebig war, folgt A = C0.
Axɛ ≥ C01 − ɛ, xɛ ∈ BX,
A ≥ C01 − ɛ.
Eine wichtige Tatsache ist die, dass für alle x ∈ X
Beweis. Für x ∈ BX gilt
Ax ≤ Ax .
Ax ≤ sup Ax = A
x∈BX
Für beliebiges x ∈ X mit x = 0 ist x
x ∈ BX, also
x
A
x
≤ A ⇐⇒ Ax ≤ Ax
und die letzte Ungleichung gilt sogar für x = 0.
Weiter halten wir fest:
(L(X, Y ), . L(X,Y ) ) ist ein normierter Vektorraum
47