Funktionalanalysis I - TU Berlin

1.5 Der Banachsche Fixpunktsatz
Ein wichtiges Hilfsmittel der Funktionalanalysis und der Theorie von Differentialgleichungen
ist der Banachsche Fixpunktsatz. Mit ihm kann man zum Beispiel die Existenz und
Eindeutigkeit einer lokalen Lösung eines Anfangswertproblems zeigen.
Definition 1.11 (Strikt kontraktiv). Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen
Räumen (M1, d1) und (M, d2) heißt kontrahierend oder strikt-kontraktiv, wenn es ein k ∈
]0, 1[ gibt, so dass für alle x1, x2 ∈ M1
d2(f(x1), f(x2)) ≤ kd1(x1, x2).
Die Zahl k heißt auch ein Kontraktionsmodul von f.
Lemma 1.1 (Cauchyfolgen-Kriterium). Sei (xk)k∈N eine Folge im metrischen Raum
(M, d). Setze ak := d(xk, xk+1). Ist ∞
k=0 ak konvergent, so ist (xk)k∈N eine Cauchyfolge.
Beweis. Nach der Dreiecksungleichung gilt
d(xk, xk+l) ≤
k+l−1
j=k
d(xj, xj+1) =
k+l−1
j=k
aj = |sk+l−1 − sk−1| , (1.14)
wenn sk die k-te Partialsumme der Reihe ∞
k=0 ak bezeichnet. Die bilden aber nach Voraussetzung
eine Cauchyfolge.
Bemerkung. Die Umkehrung des Lemmas gilt nicht. Wir betrachten dazu M = R und die
Metrik
d(x, y) =
max {|x| , |y|}
0
für x = y,
sonst.
Dann ist xk := 1
k offensichtlich eine Cauchyfolge, aber ak := d(xk, xk+1) = 1
k
aus dem Lemma ist nicht konvergent (Harmonische Reihe).
und die Reihe
Satz 1.3 (Banachscher Fixpunktsatz (1922)). Sei A ⊂ X eine nichtleere, abgeschlossene
Menge eines vollständigen metrischen Raumes (M, d) und sei
f : A ⊂ X −→ A
eine strikt kontraktive Selbstabbildung. Dann gilt
(i) Die Gleichung
f(x) = x, x ∈ A
hat genau eine Lösung x ∈ A, d.h. f hat genau einen Fixpunkt in A.
(ii) Die durch
x0 ∈ A, xn+1 := f(xn), n = 0, 1, 2, . . .
definierte Folge (xn) konvergiert gegen die Lösung x für alle Startwerte x0 ∈ A.
19