Jürgen te Vrugt - Mathematik und Informatik
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i. Hawkes-Prozesse <strong>und</strong> In<strong>te</strong>nsita<strong>te</strong>n von Hawkes-Prozessen 15<br />
fur 2 M <strong>und</strong> alle C 2 B. Auf M k (k 2) oder M E wirke der Operator nur auf die ers<strong>te</strong><br />
Komponen<strong>te</strong> des Gr<strong>und</strong>raumes:<br />
(4.2)<br />
S t (C L) =((t + C) L)<br />
fur 2 M k <strong>und</strong> alle C 2 B, L 2 B k,1 (bzw. 2 M E , C 2 B, L 2 E).<br />
Es s<strong>te</strong>llt (S t ) einen mebaren Flu auf (M t2R 1; M 1 ) bzw. (M E ; M E ) dar (vergleiche [BB94]<br />
1.1 <strong>und</strong> 1.3), d.h. die Abbildung (t; ) 7! S t ist B M 1 ,M 1 -mebar (bzw. B M E ,M E -<br />
mebar), S t ist bijektiv <strong>und</strong> S t S u = S t+u fur alle t; u 2 R.<br />
Der Shift-Operator besitze Vorrang vor der Einschrankung eines Punkt-Prozesses auf die positive<br />
oder negative reelle Halbachse, d.h. S t N = N ((t + ) \ R ).<br />
Nach Denition gilt fur einen K-varia<strong>te</strong>n Punkt-Proze N =(N 1 ;:::;N K ) nach Anwendung des<br />
Shift-Operators S t N =(S t N 1 ;:::;S t N K ).<br />
4.2. Denition (Stationaritat <strong>und</strong> t -Kompatiblitat). (i) Ein Punkt-Proze N heit stationar,<br />
falls P(N 2)=P(S t N2)fur alle t 2 R gilt.<br />
(ii) Sei ( t ) t2R ein mebarer Flu auf einem mebaren Raum (; F), vergleiche [BB94]<br />
Kapi<strong>te</strong>l 1 1.2. Ein Punkt-Proze N heit t -kompatibel, wenn er fur alle t 2 R <strong>und</strong> ! 2 <br />
(4.3)<br />
S t N(!;) =N( t !;)<br />
erfullt. Eine Verschiebung einer Realisierung des Punkt-Prozesses als Radon-Ma entspricht also<br />
einer "<br />
Verschiebung\ der zufalligen Komponen<strong>te</strong>.<br />
Fur einen stochastischen Proze ((t)) t2R verwenden wir ebenfalls das Symbol S u, um die<br />
Verschiebung um u Zei<strong>te</strong>inhei<strong>te</strong>n darzus<strong>te</strong>llen: S u (t) def<br />
= (u + t).<br />
Wir ubernehmen auf (M 0 ; M 0 ) die Denition der vagen <strong>und</strong> schwachen Konvergenz aus<br />
[Als98] (Denition 36.1 <strong>und</strong> 43.4): eine Folge ( n ) n2N von Maen aus M 0 konvergiert vage gegen<br />
einen Grenzwert 2 M 0 , wenn fur alle s<strong>te</strong>tigen Funktionen f auf R mit kompak<strong>te</strong>n Trager<br />
(4.4)<br />
Z<br />
n!1<br />
fd n ,,,!<br />
gilt. Die Folge ( n ) n2N konvergiert schwach gegen , falls (4.4) fur alle s<strong>te</strong>tigen <strong>und</strong> beschrank<strong>te</strong>n<br />
Funktionen f auf R richtig ist.<br />
Der Raum der ganzzahligen Mae (M 0 ; M 0 ) auf (R; B) wird versehen mit der Topologie der<br />
vagen Konvergenz.<br />
4.3. Denition (Anfangsbedingung <strong>und</strong> Konvergenz). (i) Der Punkt-Proze N besitzt<br />
die Anfangsbedingung (P , ), falls die Beschrankung von N auf (,1; 0], also N , = S 0 N , , die<br />
Bedingung (P , ) erfullt.<br />
von Punkt-Prozessen konvergiert in Ver<strong>te</strong>ilung gegen einen Grenzpro-<br />
, (ii) Eine Folge N (n) n2N ,<br />
ze N, wenn die zugehorigen auf M 0 induzier<strong>te</strong>n Wahrscheinlichkeitsmae P N (n) 2 schwach<br />
Z<br />
fd
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