Jürgen te Vrugt - Mathematik und Informatik

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 31
Deniert man fur C 2 B
(6.9)
X N(C) def
= 1 C (T n ) 1 (Tn) [0; ] (U n)=
n2Z
Z
C
N
dt
0; (t)
:
Dann besitzt der Punkt-Proze N ((t)) t2R als eine F t -Intensitat.
Beweis: Unter Ausnutzung von (6.3) folgt aufgrund der F t -Vorhersagbarkeit von ((t)) t2R
E(N((a; b]) jF a )=E
= E
Z
(a;b][0;1]
Z
1 [ 0; (t)
(a;b][0;1]
1 [ 0; (t)
] (z) n2 (dt dz)
] (z) N(dt dz)
F a
= E
F a
Z
(a;b]
(t) n (dt)
fur alle Teilmengen (a; b] R, denn (!; s; z) 7! 1 (!;t) [0; ] (z) ist P (F t) B([0; 1])-mebar,
vergleiche A1.3.
liegt.
Zu jedem Punkt lautet die Auswahlregel also: Teste, ob die Marke U n im Intervall
F a
h
0; (Tn)
Ist N ein markierter Punkt-Proze oder ein Poisson-Proze auf R 2 und ((t)) t2R eine
Intensitat, so werden wir die in 6.11 bereits benutzte Schreibweise
verwenden.
Z
C
N (dt [0;(t)]) def
=
Z Z
1 C (t) 1 [0;(t)] (z) N(dt dz); C 2 B;
Die zweite (allgemeinere) Konstruktions-Moglichkeit nutzt einen Poisson-Proze auf R 2 .
Diese Moglichkeit ndet Verwendung, falls der betrachtete vorhersagbare Proze nicht beschrankt
ist:
6.12. Satz. Sei N ein Ft -Poisson-Proze mit Intensitat 1 auf R 2 , d.h. F N
t
F t und F s , S t
N
+
sind unabhangig fur alle s