Jürgen te Vrugt - Mathematik und Informatik

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 21
Unter (1) wurde die aus der Darstellung (s) =(N; s) resultierende Identitat
1fN((0;s])=0g(;s)=1fN((0;s])=0g(N; s) =1fN((0;s])=0g(N , ;s)
genutzt (siehe auch Korollar 2.6). Dies wiederum zeigt mit dem Satz von Fubini, da
P , fN((0;t]) = 0gjF N 0
=1,E
=1,
=1,
Z
Z
Z
(0;t]
(0;t]
(0;t]
,
=E 1fN((0;t])=0g
1fN((0;s])=0g(N , ;s)ds
F
N
E , 1fN((0;s])=0g(N , ;s) F
N
0
P , N((0;s]) = 0 jF N 0
Eine induktive Anwendung dieser Gleichung liefert (s 0
def
= t)
0
F N 0
ds
(N
, ;s)ds:
(5.7)
P , N((0;t])=0jF N 0
+
nX
k=1
=1
Z s0
(,1) k (N , ;s 1 )
Z s0
+(,1) n+1 (N , ;s 1 )
0
0
Z sn
0
Z s1
0
Z s1
0
Z
(N , sk,1
;s 2 ) (N , ;s k )ds k :::ds 2 ds 1
0
(N , ;s 2 )
P , N((0;s n+1 ]) = 0 jF N 0
Z sn,1
(N , ;s n )
0
(N
, ;sn+1 ) ds n+1 ds n :::ds 2 ds 1 :
In A2.1 wird gezeigt:
Z s0
(5.8)
0
Z
(N , s1
;s 1 )
0
=
Z
(N , sk,1
;s 2 )
R t
Aus (5.7) und (5.8) folgt die Abschatzung
0
0 (N, ;s)ds
k!
k
:
(N , ;s k )ds k :::ds 2 ds 1
nX
k=0
R t
(,1) k 0 (N, ;s)ds
k!
k
P , N((0;t])=0jF N 0
,
R t
0 (N, ;s)ds
nX
k=0
(n + 1)!
n+1
R t
(,1) k 0 (N, ;s)ds
k!
k
+
R t
n+1
0 (N, ;s)ds
(n + 1)!
;
was im Grenzubergang n !1wegen (R t
0 (N, ;s) ds) n+1
(n+1)!
! 0zuGleichung (5.4) fuhrt.
Satz 5.5 kann im Fall der K-variaten Punkt-Prozesse auf den Proze ubertragen werden,
der die gesamten Punkte aller univariaten Punkt-Prozesse umfat.