Jürgen te Vrugt - Mathematik und Informatik

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 5
1.4. Denition (Progressivitat und Vorhersagbarkeit). Es sei (F t ) t2R eine Filtration. Ist
((t)) t2R ein stochastischer Proze derart, da fur alle t 2 R die auf (,1;t] denierte
Funktion (!; s) 7! (s)(!) def
= (!; s) F t B((,1;t])-mebar ist, so heit dieser Proze F t -
progressiv mebar. Die -Algebra der F t -progressiv mebaren Ereignisse wird im folgenden mit
P G
,
(Ft ) t2R
oder kurz PG (F t ) bezeichnet.
Der Proze ((t)) t2R wird F t -vorhersagbar genannt, falls die Funktion :R!R;(!; s) 7!
(!; s) mebar ist bezuglich der -Algebra P , (F t ) t2R
(kurz P (Ft )), welche auf R deniert
ist und durch Mengen der Form A (a; b] mit a b und A 2F a erzeugt wird.
Entsprechende Bezeichnungen werden auch fur Funktionen f verwendet, die auf R deniert
sind.
Im vorliegenden Text nutzen wir stets die abkurzende Schreibweise "
F t -...\ anstelle von
" (F t) t2R-...\, denn es sind keine Miverstandnisse zu erwarten. So schreiben wir beispielsweise
F t -progressiv mebar statt (F t ) t2R-progressiv mebar.
1.5. Denition (Intensitat). Sei (F t ) t2R eine Filtration eines Punkt-Prozesses N und ((t)) t2R
ein nichtnegativer F t -progressiv mebarer Proze mit
(1.7)
E(N(a; b] jF a )=E
Z b
a
(s)ds
fur alle (a; b] R. Der stochastischer Proze ((t)) t2R wird dann F t -Intensitat von N genannt.
Anstelle der bedingten Erwartungswerte in (1.7) konnen in der Denition Erwartungswerte
uber F t -vorhersagbare Funktionen treten.
1.6. Bemerkung. Gegeben sei die Situation von 1.5. Dann ist ((t)) t2R genau dann eine F t -
Intensitat von N, wenn fur alle nichtnegativen F t -vorhersagbaren Funktionen H : R ! R
die Gleichheit
gilt.
Z
E
Z
H(;t)N(dt) = E
F a
f.s.
H(;t)(t)dt
Diese Bemerkung ist eine Konsequenz aus [BB94] Kapitel 1 Gleichung (8.3.3) und der
P (F t )-Mebarkeit von H(!; t) =1 A (!)1 (a;b] (t) fur (a; b] R und A 2F a .
Wir erinnern an die Denition eines Radon-Maes: unter einem Radon-Ma auf (R; B)
verstehen wir ein lokal-endliches und von innen regulares Ma, d.h. zu jedem x 2 R gibt es eine
oene Umgebung V x mit (V x ) < 1, und (C) = supf(K); K 2 K;K Cg fur alle C 2 B (K
System kompakter Mengen), vergleiche [Bau92] x25.
1.7. Bemerkung. In der Situation von 1.5 gilt fur alle C 2 B genau dann N(C) < 1 P -
R
f.s., wenn (s) ds < 1 P -f.s.. Daraus folgt, da N genau dann f.s. ein Radon-Ma ist, wenn
C
((t)) t2R f.s. lokal integrabel ist.