Jürgen te Vrugt - Mathematik und Informatik

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 25
6.3. Lemma. Sei A 2 (0; 1) und N = (T n ) n2Z ein homogener Poisson-Proze mit Intensitat
2 (0; 1) auf R. Ein Punkt T n von N sei ein Punkt des Punkt-Prozesses R genau dann, wenn
T n ,T n,1 >A. Die Punkte des resultierenden Punkt-Prozesses R werden mit (R k ) k2Z bezeichnet,
wobei die ublichen Konventionen erfullt sein sollen.
Dann gilt:
(i) lim k!,1 R k = ,1 f.s.
(ii) R , (s) = ^R , (s)fur alle s 2 R, dabei ist
mit der Festlegung sup ; = ,1.
R , (s) def
= sup fR k ; k 2 Z;R k sg
^R , (s) def
= sup ft s; N([t , A; t)) = 0;N([t , A; t]) 1g
(iii) R , (s) ist F N s
-mebar, s 2 R.
Beweis: zu (i). Wahle t 2 (,1; 0]. Die Zuwachse T n ,T n,1, n 2 Z, eines Poisson-Prozesses
sind unabhangig Exp()-verteilt. Mit Borel-Cantelli folgt aus
X
P(T n , X Z 1 X
T n,1 >A)= e ,t dt = e ,A = 1
n2Z 0 n2Z 0 A
n2Z 0
T n , T n,1 >Aunendlich oft f.s. (n 2 Z 0 ) und damit naturlich R n !1f.s. fur n !1.
zu (ii). Sei ! 2 und s 2 R.
Da R k (!) > R k,1(!) +A fur alle k 2 Z wird das Maximum in der Denition von R , (s)
angenommen, d.h. es gibt ein k 0 (!) 2 Z mit R , (s)(!) = R k0 (!)(!) s. Nach Denition der
(R k ) k2Z gilt
N , !; R k0 (!)(!) , A; R k0 (!)(!) =0 und N , !; R k0 (!)(!) , A; R k0 (!)(!) > 0;
so da R , (s) ^R , (s).
Sei 0 0:
Fur alle t 2 t 0 (!); ^R , (s)(!)
i
i
und
ist t 0 (!) 2 [t , A; t), woraus t 0 (!) = ^R , (s)(!) folgt. Auerdem
mu t 0 (!) = T k0 (!)(!) fur ein k 0 (!) 2 Z sein, was zu T k0 (!)(!) > T k0 (!),1(!) +A fuhrt, denn
N (!; [t 0 (!) , A; t 0 (!))) = 0. Daher gilt R , (s) ^R , (s), also ist (ii) gezeigt.
zu (iii). Die F N s
-Mebarkeit von R , (s) ist naturlich eine Folge der Gleichheit R , (s) =
^R , (s), und damit eine Folgerung aus der Darstellung von R , (s) mittels N( \[,1;s]): Sei
s 2 R. Fur alle x 2 R gilt nach Anhang A1.4
R
, (s) >x =
[
t2Q[fsg
x