Jürgen te Vrugt - Mathematik und Informatik

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 19
welcher Position ein solcher Punkt in der Folge der negativen Punkte eingeordnet werden mu
( n-ter Punkt vor 0\ oder n+1-ter Punkt vor 0\ oder ...?), stellen diese Punkte keine Stopzeiten
" "
bezuglich der internen Filtration dar. Auf (0; 1) ist dies jedoch der Fall.
5.2. Lemma. Sei N =(T n ) n2Z
-Stopzeiten, denn fur beliebiges n 2 N und t 2 R gilt
ein Punkt-Proze auf R. Die Punkte der positiven reellen Halbachse
(T n ) n2N sind dann F N t
fT n tg =
(
2F N t
:
; fur t 0
fN((0;t]) ng fur t>0
Schranken wir einen Punkt-Proze mit existierender F t -Intensitat auf die positive reelle
Halbachse ein, so lat sich auch fur diesen Proze die F t -Intensitat angeben.
5.3. Lemma. Gegeben sei eine Filtration (F t ) t2R und ein F t-adaptierter Punkt-Proze N mit
F t -Intensitat ((t)) t2R . Dann besitzt N + die durch
(5.3)
+ (t) =
denierte F t -Intensitat ( + (t)) . t2R
(
0 fur t 0
(t) fur t>0
Beweis: In den Fallen (a; b] (,1; 0) oder (a; b] [0; 1) rechnet man die denierende
Gleichung (1.7) sofort nach. Sei also (a; b] R mit 0 2 (a; b]. Dafur gilt
denn F a F 0 .
,
E N + ((a; b])
Fa = E(N((0;b]) jFa )=E(E(N((0;b]) jF 0 )jF a )
Z b
Z b
F a
=E
E
0
(t)dt
F 0
= E
a
+ (t) dt
Die Hinzunahme von Informationen, die unabhangig vom vorgegebenen Proze sind, andert
die Beziehung zwischen Punkt-Proze und Intensitat nicht, d.h. bedingen wir nicht nur unter der
ursprunglichen -Algebra zum Zeitpunkt a, sondern zusatzlich unter der davon unabhangigen
-Algebra zum Zeitpunkt a, so gewinnen wir keine neuen Erkenntnisse uber das Verhalten von
Punkt-Proze und Intensitat in (a; b].
5.4. Satz. Sei N ein Punkt-Proze mit F t -Intensitat ((t)) und (G t2R t) t2R
eine weitere, von
F 1 (und damit von F1 N) unabhangige Filtration. Dann ist ((t)) t2R ebenfalls eine (F t; G t )-
Intensitat von N.
Beweis: Die Unabhangigkeit von F a und G a zeigt unter Verwendung von Lemma 2.8
E(N((a; b]) jF a ;G a )=E(N((a; b]) jF a )=E
f.s. fur beliebige Mengen (a; b] R.
Z b
a
(t)dt
F a
= E
Z b
a
F a
(t) dt
;
F a; G a