Jürgen te Vrugt - Mathematik und Informatik

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 43
Setze ( N([0; ]) = (T n ) n2Z )
T def
= 1fT 1 Ag T 1 + X n2(T n , T n,1)
nY
k=2
1fT k ,T k,1Ag
= 1fT 1 Ag supfT n ; n 2 N;T k ,T k,1A fur alle 2 k ng:
Falls T 1 > A ist gilt T = 0, ansonsten ist T der erste Punkt T k > 0 mit T k+1 , T k > A. Da N
und N 0 auf einem solchen Punkt T k verschieden sein konnen, ist T keine Kopplungszeit. Analog
zur Begrundung von 4.6 zeigt man eine schwachere "
Kopplungsungleichung\
(8.6)
Fur alle >0gilt
, P
sup S t N + 2
C , P S t N 0 +
2 C P(T t) :
C2M 0
P(T t) e t =
Z
e t dP
fTtg
Z
e T dP
fTtg
somit P(T t) , Ee T e ,t . Aus der Denition von T leitet man
ab, was zu
e T = e 0 1fT 1 >Ag + e T 1fT 1 Ag
= 1fT 1 >Ag + 1fT 1 Age T 1
Ee T = P(T 1 >A)
X
n2
1fT n,T n,1>Ag
+ X n2E , 1fT 1 Age T 1
E , 1fT n,T n,1>Ag
n,1
Y
k=2
Y
n,1
k=2
Z 1 X Z A
Z 1
= e ,t dt + e (,)t dt e ,t dt
A
n2
0
A
X ,
= e ,A 1+ e
(,)A
, !
n,1
1
,
n2
Z
!
e T dP = Ee T ;
e (T k,T k,1) 1fT k ,T k,1Ag
,
E e (T k,T k,1) 1fT k ,T k,1Ag
n,1Z A
Y
k=2
0
e (,)t dt
fuhrt, denn die (T n ) n2Z
bilden einen Poisson-Proze. Aus dieser Gleichheit konnen wir ablesen,
,
da der Erwartungswert Ee T genau dann endlich ist, wenn e
(,)A
, 1 < 1. Die Abbildung
7!
,
,
,
e
(,)A
, 1 0 ist stetig auf dem Intervall [0; ), und da
0,
,
e
(0,)A
, 1 =
1 , e ,A < 1 ist, lat sich z.B. ein hinreichend kleines >0nden, so da Ee T endlich ist.
Zusammen mit (8.6) zeigt dies fur ein geeignetes >0
, P
sup S t N + 2
C , P S t N 0 +
2 C , T Ee e ,t
C2M 0
und daher lim t!1 sup C2M 0
P(St
N + 2 C) , P , S t N 0 +
2 C =0.DaN stationar ist, folgt somit
lim t!1 P StN0+ = P N + in Variation, d.h. die Dynamik ist stabil in Variation, und die Konvergenzrate
ist exponentiell schnell, unabhangig von der Anfangsbedingung.