Jürgen te Vrugt - Mathematik und Informatik

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 41
Gelte die t -Kompatibilitat fur n 2 N 0 . Dann folgt
N (k;n+1) (!; t + C)
=
=
=
Z
Z
Z
t+C\[T k (!)(!);T k (!)+n+1(!)]
C\[R k ( t!);T k ( t !)+n+1( t!)]
C\[T k ( t !)( t!);T k ( t !)+n+1( t!)]
= N (k;n+1) ( t !; C);
N
N
!; dr 0; 1
!; t + dr
S t
N
!; dr
0; 1
,
Sr N (k;n) (!;)
0; 1
,
Sr S t N (k;n) (!;)
,
Sr N (k;n) ( t !;)
die Induktionsvoraussetzung wurde dabei beim vorletzten, die t -Kompatibilitat von N und R
beim letzten und zweiten Gleichheitszeichen genutzt.
Nach Korollar A1.8 ist N ein F N
t
-adaptierter Punkt-Proze. Die F N t
-Vorhersagbarkeit von
(!; t) 7! S t N(!;\(,1; 0)) zeigt die folgende Uberlegung: Fur beliebige Mengen A 2M 0 1 der
Gestalt A = f 2M 0 1;(C)2Bgmit C 2 B, B ein Element der Potenzmenge von N 0 , gilt nach
Lemma 6.8
f(!; t) 2 R; S t N(!;\(,1; 0)) 2 Ag
= f(!; t) 2 R; S t N(!; C \ (,1; 0)) 2 Bg
Z
= (!; t) 2 R;
N(!; ds) 2 B
(t+C)\(,1;t)
2P , F N t
:
Der Beginn von Abschnitt 4 rechtfertigt die Beschrankung auf Mengen A der obigen Form.
Es folgt die F N t
-Vorhersagbarkeit fur Prozesse ((t)) t2R der Form (t) = (S t N).
N
Da N naturlich auch F t
-adaptiert ist, gilt F N N
t
F t
und Satz 6.11 zeigt, da N die F N
t
-
Intensitat ((t)) t2R zulat. Hieraus folgt schlielich, da ((t)) t2R ebenfalls eine F N t
von N ist.
-Intensitat
Beachten wir nun noch 5.7, so erhalten wir fur kausale Abbildungen mit beschranktem
Gedachtnis die Existenzaussage:
8.5. Satz (Dynamiken mit beschranktem Speicher I). Es sei die Situation von Voraussetzung
1 gegeben. Dann gibt es ein (eindeutiges) stationares Verteilungsgesetz eines Punkt-Prozesses
N mit Dynamik mit beschranktem Speicher der Form (8.1).
Die Eindeutigkeit erhalten wir im Anschlu an den Stabilitatsbeweis.
8.6. Bemerkung. Die Existenzbeweise in diesem Abschnitt und Abschnitt 11 werden aufgrund
der Anschaulichkeit mittels eines markierten Poisson-Prozesses N 1 durchgefuhrt. Zu jedem Punkt
wahlen wir zufallig eine Marke imIntervall [0; 1] und entscheiden anhand der Vergangenheit des
Prozesses, ob der zugehorige Punkt zum konstruierten Proze gehoren soll (siehe Gleichung (8.3)).