Jürgen te Vrugt - Mathematik und Informatik

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 39
Dynamiken der Form (D1) mit kompaktem Trager der Ubertragungsfunktion bilden die
Grundlage fur das in Kapitel V vorgestellte Programm. Als generelle Voraussetzung gelte ab
jetzt fur diesen Abschnitt
Voraussetzung 1. Sei :(M;M) ! (R; B) eine Abbildung mit beschranktem Speicher
der Lange A 2 (0; 1), welche
erfullt.
def
= sup
2M
() < 1
Zunachst weisen wir die Existenz eines stationaren Punkt-Prozesses nach (Satz 8.5). Dieser
ist eindeutig. Fur diesen Nachweis benotigen wir jedoch die Stabilitat in Variation, die im zweiten
Unterabschnitt bewiesen wird (Satz 8.7).
1) Existenz. Es sei (; F) der kanonische Raum der markierten Punkt-Prozesse auf R
mit Marken in [0; 1]. Ferner sei P ein Wahrscheinlichkeitsma, unter dem N = (T n ;U n ) n2Z
ein markierter Poisson-Proze mit Intensitat und (U n ) n2Z
eine Folge unabhangiger, identisch
R[0; 1]-verteilter Zufallsvariablen, unabhangig von F N([0;1])
1 , ist. Fur alle A 2 M [0;1] gilt
P , N() 2 A
= P(A), also P N() = P .
Der Punkt-Proze R werde wie folgt konstruiert:
Ein Punkt T n von N ist genau dann ein Punkt von R =(R k ) k2Z , falls T n , T n,1 >A, also
R(C) = X n2Z
1 C (T n )1fT n,T n,1>Ag = X k2Z
1 C (R k ) ;
C 2 B. Aus 6.4 folgt die t -Kompatibilitat von R sowie die Endlichkeit der durchschnittlichen
Intensitat von R. Ziel wird im folgenden die Konstruktion eines t -kompatiblen Punkt-Prozesses
N der Form
(8.2)
N(C) =
Z
C
N
dt 0;
Z
(S t N)
= 1 h
0;
CR
i
(S t N) (z) N(dt dz);
C 2 B, sein. Dazu werden wir uns der Prozesse N und R bedienen. Die Problematik der Festlegung
von N durch Gleichung (8.2) entstammt dem Auftreten von N in auf der rechten Seite.
Dies macht die Wahl geeigneter Startpunkte der folgenden Konstruktion notig.
8.3. Lemma. Lat sich gema (8.2) ein Punkt-Proze N konstruieren, so besitzt dieser im
zufalligen Intervall [R k , A; R k ) keinen Punkt, und fur die Konstruktion auf [R k ; 1) ist die
Kenntnis von N auf (,1;R k ) nicht erforderlich.
Beweis: Fur alle k 2 Z gilt nach Denition von R
0 N([R k , A; R k )) =
Z
[R k ,A;R k )
Z
[R k ,A;R k )
N
dt
0;
(S t N)
N(dt [0; 1]) = N([R k , A; R k ) [0; 1]) = 0: