Jürgen te Vrugt - Mathematik und Informatik

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 29
6.7. Lemma. Es sei N ein markierter Punkt-Proze der reellen Achse mit Markenraum (E;E)
und F N
t
-Intensitatskern n(dt) Q(dz), vergleiche [BB94] Kapitel 1 unterhalb von Beispiel 8.2.2.
Zusatzlich sei (F t ) t2R eine Filtration unabhangig von N (d.h. F N
1 und F 1 sind stochastisch
unabhangig). Dann ist n(dt) Q(dz) ebenfalls ein , F N
t
; F t
-Intensitatskern von N.
Zum Nachweis reicht es, nachzurechnen, da der Punkt-Proze N(L)fur eine fest vorgegebene
Menge L 2 E die (konstante) Intensitat Q(L) besitzt. Dies lat sich wie im Beweis
von 5.4 durchfuhren.
Wir geben nun zunachst einige Aussagen an, die auch im Abschnitt 5( "
Eigenschaften von
Punkt-Prozessen\) aufgefuhrt werden konnten. Diese sichern die Mebarkeit der nachfolgend
konstruierten Intensitaten oder Punkt-Prozesse.
Wie ublich bildet h + (bzw. h , ) den Positiv-(bzw. Negativ-) Teil der Funktion h.
6.8. Lemma. Bezeichne N einen Punkt-Proze und (F t ) t2R eine Filtration von N. Sei h :
[0; 1) ! R eine B + -mebare Funktion. Ist h nichtnegativ oder erfullt f.s. fur alle t 2 R jeweils
eine der folgenden Bedingungen:
(6.5)
Z
(,1;t)
h + (t , s) N(ds) < 1
Z
oder h , (t , s) N(ds) < 1;
(,1;t)
so ist die Abbildung
(6.6)
(!; t) 7!
Z
(,1;t)
h(t , s) N(!; ds)
F t -vorhersagbar, also P (F t )-mebar.
Beweis: Sei zunachst h(t) =1 (a;b] (t), a; b 2 [0; 1). Fur solches h gilt
Z
h(t , s) N(ds) = 1 (a;b] (t , s) N(ds)
(,1;t)
(,1;t)
Z
= N([t , b; t , a) \ (,1;t)) = N([t , b; t , a)):
Da (F t ) t2R eine Filtration von N ist, erkennt man aus der Darstellung von f(!; t) 2
R; N(!; [t,b; t,a)) = ng in A1.2 die P(F t )-Mebarkeit fur Funktionen der Form h(t) =1 (a;b] (t).
Mittels eines Standard Dynkin-System-Arguments zeigt man die Vorhersagbarkeit von (6.6)
fur alle Funktionen h = 1 C mit C 2 B + :imFall h(t) =1 [0;1) (t) zeigt analoges Vorgehen wie bei
h(t) =1 (a;b] (t) die Vorhersagbarkeit von N((,1;t)), die Prufung der weiteren Voraussetzungen
stellt reines Nachrechnen dar.
Das Funktions-Erweiterungsargument liefert gemeinsam mit dem Satz von der monotonen
Konvergenz schlielich die Behauptung.
6.9. Lemma. Gegeben seien ein Poisson-Proze N auf R 2 (oder ein beliebiger markierter Punkt-
Proze N auf R mit Marken in E 2 B), eine Filtration (F t ) t2R von N und ein F t -vorhersagbarer