Jürgen te Vrugt - Mathematik und Informatik

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 47
Dies zeigt, da N die gewunschte Dynamik besitzt.
Aus 7.1(i) folgt die t -Kompatibilitat von N als Grenzwert t -kompatibler Prozesse. Somit
ist N nach 5.7 stationar, was den Beweis abschliet.
10. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen {
unbeschrankte Dynamiken
Wir verscharfen die Bedingungen aus Satz 9.1 und stellen in diesem Abschnitt die folgenden
Bedingungen an die Ubertragungsfunktion h und die Anregungsfunktion :
Voraussetzung 2. Gegeben seien eine -Lipschitz-stetige Funktion : R ! [0; 1),
>0,und h :[0;1)!Reine mebare Funktion, die der Bedingung
(10.1)
genugt.
Z
[0;1)
jh(t)j dt < 1
Zunachst wenden wir uns der Existenz eines stationaren Punkt-Prozesses N mit Intensitat
gema (D1) zu, die obigen Anforderungen genugt, siehe Satz 10.5. Um in Satz 10.10 und 10.12
Stabilitat zu zeigen, werden wir weitere Forderungen ausstellen mussen.
Durch den Ubergang zu , 1
und h konnen wir o.B.d.A. =1wahlen.
1) Existenz. Wie im Beweis zu Satz 9.1 sei (; F) der kanonische Raum der Punkt-Prozesse
auf R 2 , P ein Wahrscheinlichkeitsma auf (; F) mit P S t = P derart, da N(!;) =!Poissonverteilt
mit Intensitat 1 ist. Durch die Zuordnung t = S t ist N t -kompatibel. Sei (0) (t) 0fur
alle t 2 R und fur t 2 R, C 2 B setze
N (n) (C) def
=
(n+1) (t) def
=
n 2 N 0 . Fur diese Prozesse gilt 7.1(i) und (ii).
Z , N dt 0; (n) (t) ;
CZ
(,1;t)
h(t , s) N (n) (ds)
10.1. Lemma. Fur alle t 2 R konvergiert , (n) (t) n2N fur n !1f.s. und in L 1(; F;P) gegen
ein (t).
Beweis: Die Lipschitz-Stetigkeit von zeigt mit den Satzen 7.1(ii) und 6.15
,
E (n+1) (0) , (n) (0) Z
E
Z
E
h(,s) N (n) (ds) ,
(,1;0)
(,1;0)
jh(,s)j N
(n)
, N (n,1)
(ds)
(,1;0)
Z
;
h(,s) N (n,1) (ds)