Jürgen te Vrugt - Mathematik und Informatik

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 17
Dann ist die Dynamik (D2) stabil in Variation bezuglich der Anfangsbedingung (P , ).
Beweis: Fur beliebiges t 2 R und C 2M 0 gilt unter Ausnutzung der Stationaritat von N
P
S t N 0 +
2 C
= P
, P , N + 2 C
S t N 0 +
2 C; S t N 0 +
6= S t N + , P
S t N + 2 C; S t N 0 +
6= S t N
+ S t N 0 +
2 C; S t N 0+ = S t N + , P
S t N + 2 C; S t N 0+ = S t N +
S t N 0 +
2 M 0 ;S t N 0 +
6=S t N +
+ P
P
P
S t N 0 +
6=S t N +
P(T >t)
und analog P(N + 2 C),P , S t N 0 +
2 C P(T >t):Somit folgt die Kopplungsungleichung und
Konvergenz in Variation gegen 0:
denn T < +1 f.s..
P
sup S t N 0 +
2 C , , P N + 2
C P(T >t) ,,,! t!1 0;
C2M 0
Das folgende Lemma konnen wir nutzen, um die Eindeutigkeit von stationaren Punkt-
Prozessen mit gegebener Anfangsbedingung und auf [0; 1) vorgegebener Intensitat zu zeigen.
4.7. Lemma. Existiere zu Dynamik (D2) eine Anfangsbedingung (P , ), so da (D2) stabil in
Verteilung (oder Variation) ist. Sei fur jeden Punkt-Proze N 0 , welcher (P , ) erfullt und auf
[0; 1) der Dynamik (D2) folgt, die Verteilung des in (ST1) auftretenden stationaren Punkt-
Prozesses N gleich. In diesem Fall gilt:
Jeder stationare Punkt-Proze N 0 , der die Anfangsbedingung (P , ) besitzt und der Dynamik (D2)
auf [0; 1) genugt, ist verteilt wie N.
Erfullt auerdem jeder stationare Punkt-Proze, welcher die Dynamik (D2) auf [0; 1) besitzt,
die Anfangsbedingung (P , ), so ist die stationare Losung eindeutig.
Beweis: Sei N 0 ein stationarer Punkt-Proze, der die Anfangsbedingung (P , ) besitzt und
der Dynamik (D2) auf [0; 1) folgt. Somit gilt P S 0N 0+ = P N0+ = P StN0+ fur alle t 2 [0; 1). Es
folgt P N0+ = P N + ,daS t N 0 + t!1
,,,! N + in Verteilung.
Die Stationaritat von N 0 und N liefert auerdem P StN0+ = P N0+ = P N + = P StN + fur t 2 (,1; 0],
d.h. N 0 ist wie N verteilt.
Die zweite Aussage ist hiermit ebenfalls klar.
Wir werden in diesem Text einen Punkt-Proze N =(T n ) n2Z transient nennen, falls T n fur
n !1f.s. gegen unendlich strebt. In Stabilitatsbeweisen reicht es, transiente Punkt-Prozesse zu
betrachten: fur ein ! 2 mit T n (!) n!1 ,,,! x 2 (0; 1) gilt nach Denition 1.1, da N(!; (x; 1)) =