Jürgen te Vrugt - Mathematik und Informatik

Kapitel I.
Hawkes-Prozesse und Intensitaten von
Hawkes-Prozessen
Wir wenden uns zunachst der formalen Denition der Begrie Punkt-Proze \ und Intensitat\
zu. Anschlieend widmen wir uns im Abschnitt 2 der Vorhersagbarkeit. Diese stellt die
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mathematische Grundlage dafur dar, das derzeitige Verhalten eines Punkt-Prozesses durch die
vorangegangenen Punkte zu beschreiben. Abschnitt 3 dient dazu, Hawkes-Prozesse zu charakterisieren,
bevor wir in Abschnitt 4 den Begri der Stabilitat einfuhren wollen. Abschnitt 5 nutzen
wir dazu, einige grundlegende Eigenschaften von Punkt-Prozessen anzugeben und nachzuweisen.
In Abschnitt 6 erinnern wir an die Denition von Poisson-Prozessen und geben Ergebnisse an,
die beim Nachweisen von Existenz und Stabilitat eine fundamentale Rolle spielen werden.
1. Punkt-Prozesse und Intensitaten
Als erstes gilt es, den Begri des Punkt-Prozesses zu erklaren.
1.1. Denition (Punkt-Proze). Ein Punkt-Proze N (auf R) ist eine Familie von Zufallsvariablen
(N(C)) C2B mit Werten in N 0 und
(1.1)
N(C) = X n2Z1 C (T n ):
Dabei ist (T n ) n2Z eine Folge von Punkten, d.h. Zufallsvariablen mit Werten in R, die
(1.2)
T 0 0 T 1 und T n T n+1 auf fT n < +1g \ fT n+1 > ,1g
fur alle n 2 Z f.s. erfullen. N heit einfacher Punkt-Proze, wenn in (1.2) strikte Ungleichungen
gelten, wobei T 0 = 0 zugelassen ist.
Die symbolische Schreibweise N = (T n ) n2Z soll im folgenden fur einen Punkt-Proze N
mit den Punkten T n , n 2 Z, stehen, wobei die Punkte die Bedingung (1.2) der vorherigen
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