Jürgen te Vrugt - Mathematik und Informatik

aWestfalische
Wilhelms-Universitat
Munster
Fachbereich Mathematik und Informatik
Stabilitat nichtlinearer
Hawkes-Prozesse
Diplomarbeit
im Studiengang Mathematik
angefertigt am Institut fur Mathematische Statistik
vorgelegt von
Jurgen te Vrugt
Das Thema dieser Arbeit wurde gestellt von
Prof. Dr. G. Alsmeyer
Munster, Januar 1999

Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
I. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 3
1. Punkt-Prozesse und Intensitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Vorhersagbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1) Die -Algebra der vorhersagbaren Ereignisse P (F t ). . . . . . . . . . . . . . 8
2) Vorhersagbare stochastische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3. Hawkes-Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4. Stabilitat von Intensitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5. Eigenschaften von Punkt-Prozessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6. Poisson-Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1) Denition und Ergodizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2) Poisson-Einbettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
II. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 34
7. Zur Konstruktion von Punkt-Prozessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8. Intensitaten mit beschranktem Speicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1) Existenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2) Stabilitat in Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9. Intensitaten mit nichtfallenden Anregungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 44
10. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { unbeschrankte Dynamiken . . . . . . . 47
1) Existenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2) Stabilitat in Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3) Stabilitat in Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4) Zur Einschrankung auf die Menge N 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
11. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { beschrankte Dynamiken . . . . . . . . 65
1) Existenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2) Stabilitat in Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
i

ii
Inhaltsverzeichnis
III. Der K-variate Fall 77
12. Stabilitat bei Intensitaten mit beschranktem Speicher . . . . . . . . . . . . . . . 77
13. Existenz im Fall nichtfallender Anregungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 80
14. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { der unbeschrankte Fall . . . . . . . . . 84
15. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { der beschrankte Fall . . . . . . . . . . 97
IV. Anhang 103
A1. Mebarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1) Einige Mengenidentitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2) markierte Punkt-Prozesse und Poisson-Prozesse mit zufalliger
Punkt-Auswahlbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A2. Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
V. Simulation von Punkt-Prozessen mit beschranktem Speicher 111
A3. Zum Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1) Installation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2) Bedienungshinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3) Beispiel fur die Realisation eines Punkt-Prozesses . . . . . . . . . . . . . . . 114
A4. Quellcodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
1) C-Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2) Tcl/Tk-Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3) Beispiel fur eine Funktionsdatei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4) Funktionsdateien zum Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Literaturverzeichnis
Symbolverzeichnis
Index
iii
iv
vi

Einleitung
Gegenstand des vorliegenden Textes ist die Untersuchung des Auftretens zufalliger Punkte auf
der reellen Achse, die wir als Zeitachse interpretieren konnen. Dabei soll zu jedem Zeitpunkt t
die "
Wahrscheinlichkeit\ oder Rate fur die Hervorbringung eines weiteren Punktes im nach t
folgenden innitesimalen Intervall durch das bisherige Auftreten von Punkten bis zum Zeitpunkt
t bestimmt sein.
Zur Darstellung von zufalligen Punkten auf der reellen Achse eignen sich im obigen Fall
Punkt-Prozesse, fur die eine sogenannte Intensitat existiert. Eine solche Intensitat gibt die Rate
des Auftretens weiterer Punkte an. Wir werden im folgenden selbst-anregende Hawkes-Prozesse
betrachten. Deren Intensitaten bestehen aus einer Ubertragungs- und einer Anregungsfunktion.
Die Ubertragungsfunktion gibt an, wie stark ein jeder Punkt vor t in die Bestimmung der
Intensitat zum Zeitpunkt t eingeht. Die gewichtete Ruckmeldung fuhrt nach Anwendung der
Anregungsfunktion, die als eine Art Skalierung der Ruckwirkung verstanden werden kann, zur
Intensitat.
Ziel wird es sein, geeignete Ubertragungs- und Anregungsfunktionen zu nden, die zum
einen die Existenz eines stationaren Punkt-Prozesses mit einer wie zuvor beschriebenen Intensitat
sichern, und auerdem bei einem vorgegebenem Punkt-Proze mit solcher Intensitat eine Art
Stationaritat im Unendlichen\ zulassen, was wir als Stabilitat bezeichnen werden. Dazu mussen
"
wir jedoch Anforderungen an die Vergangenheit bis zum Zeitpunkt 0 stellen, dies wird durch
geeignete Anfangsbedingungen geschehen.
Im ersten Kapitel formalisieren wir den zuvor beschriebenen Sachverhalt und geben grundlegende
Eigenschaften von Punkt-Prozessen und Intensitaten sowie das benotigte Grundrustzeug
wieder. Abschlieend widmen wir den Poisson-Prozessen einen Abschnitt. Diese besitzen herausragende
Bedeutung, denn sie werden als Grundlage der Existenz und Stabilitatsnachweise
dienen.
Nach einem einleitenden Abschnitt wenden wir uns in Kapitel II der angesprochenen Existenz
und Stabilitat zu. Dabei wird es notig sein, die Ruckwirkung der vorhandenen Punkte (d.h.
der Punkte vor dem Zeitpunkt t) auf die Rate der Entstehung neuer Punkte zum Zeitpunkt t
einzuschranken. Dies kann durch Beschranktheitsannahmen an die Anregungsfunktion oder der
Forderung nach Eindammung des Wachstums der Anregungsfunktion bei geeigneter Wahl der
Ubertragungsfunktion geschehen.
Im dritten Kapitel verallgemeinern wir die Aussagen des Kapitels II von univariaten auf
K-variate Prozesse. War bisher nur ein Punkt-Proze gegeben, betrachten wir hier K Prozesse.
1

2 Einleitung
Die Intensitat von einem dieser K Prozesse kann dabei von allen anderen Prozessen abhangen.
Die Beweistechniken sind an die Beweise des vorherigen Kapitels angelehnt und entsprechen sich
zum Teil, so da wir uns in diesem Abschnitt kurzer fassen konnen.
Es folgt schlielich ein zweigeteilter Anhang. Kapitel IV nimmt technische Aussagen auf,
die der Vollstandigkeit halber gegeben werden. Die Details zum Nachweis der hier gegebenen
Aussagen sind an den entsprechenden Stellen im Haupttext nur von untergeordnetem Interesse.
Kapitel V beinhaltet den Quelltext eines Simulationsprogramms sowie Hinweise zur Installation
und Bedienung. Die grundlegende Funktionsweise wird im Hilfetext des Programms erlautert.
Abschlieend noch einige Konventionen: Es bezeichne N (N 0 ) die naturlichen Zahlen ohne
(mit) Null. Wie ublich sei N = N [ f1g. Wir nutzen die Schreibweise R + = R 0 = [0; 1)
fur die positive reelle Achse, entsprechendes fur R , = R 0 . Analog werden diese Bezeichnungen
auch bei Q etc. verwendet.
Wir bezeichnen mit B d
die Borelsche--Algebra auf R d , und fur eine Borel-Menge A R d
benenne B(A) die Spur--Algebra auf A, B + def
= B([0; 1)) sowie B , def
= B((,1; 0]). Im Fall
d =1schreiben wir wie ublich nur B und R.
Betrachten wir Intervalle der Form (s; s + t] mit s 2 R und t 2 [0; 1], so gelte (s; s + t] =(s; 1)
im Fall t = 1. Ferner sei [a; b] def
= ;, falls a>b.
Fur die vorliegende Arbeit sei (; F;P) stets ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum (falls dieser
Raum nicht naher speziziert wurde).
Die Verwendung der Begrie und Symbole orientiert sich an den Skripten der Vorlesungen
Wahrscheinlichkeitstheorie und stochastische Prozesse von Prof. Dr. Alsmeyer (siehe [Als98],
[Als96]) sowie dem Seminar "
Markierte Punkt-Prozesse und Anwendungen in der Warteschlangentheorie\.
Diesem lag das Buch "
Elements of Queueing Theory\ von Francois Baccelli und
Pierre Bremaud (siehe [BB94]) zugrunde. Als Basis fur diese Arbeit diente der Artikel "
Stability
of nonlinear Hawkes Processes\ von Pierre Bremaud und Laurent Massoulie (siehe [BM96]).
Ich mochte mich an dieser Stelle herzlich bei Herrn Prof. Dr. Alsmeyer fur die Betreuung
wahrend der Erstellung dieser Arbeit bedanken.

Kapitel I.
Hawkes-Prozesse und Intensitaten von
Hawkes-Prozessen
Wir wenden uns zunachst der formalen Denition der Begrie Punkt-Proze \ und Intensitat\
zu. Anschlieend widmen wir uns im Abschnitt 2 der Vorhersagbarkeit. Diese stellt die
" "
mathematische Grundlage dafur dar, das derzeitige Verhalten eines Punkt-Prozesses durch die
vorangegangenen Punkte zu beschreiben. Abschnitt 3 dient dazu, Hawkes-Prozesse zu charakterisieren,
bevor wir in Abschnitt 4 den Begri der Stabilitat einfuhren wollen. Abschnitt 5 nutzen
wir dazu, einige grundlegende Eigenschaften von Punkt-Prozessen anzugeben und nachzuweisen.
In Abschnitt 6 erinnern wir an die Denition von Poisson-Prozessen und geben Ergebnisse an,
die beim Nachweisen von Existenz und Stabilitat eine fundamentale Rolle spielen werden.
1. Punkt-Prozesse und Intensitaten
Als erstes gilt es, den Begri des Punkt-Prozesses zu erklaren.
1.1. Denition (Punkt-Proze). Ein Punkt-Proze N (auf R) ist eine Familie von Zufallsvariablen
(N(C)) C2B mit Werten in N 0 und
(1.1)
N(C) = X n2Z1 C (T n ):
Dabei ist (T n ) n2Z eine Folge von Punkten, d.h. Zufallsvariablen mit Werten in R, die
(1.2)
T 0 0 T 1 und T n T n+1 auf fT n < +1g \ fT n+1 > ,1g
fur alle n 2 Z f.s. erfullen. N heit einfacher Punkt-Proze, wenn in (1.2) strikte Ungleichungen
gelten, wobei T 0 = 0 zugelassen ist.
Die symbolische Schreibweise N = (T n ) n2Z soll im folgenden fur einen Punkt-Proze N
mit den Punkten T n , n 2 Z, stehen, wobei die Punkte die Bedingung (1.2) der vorherigen
3

4 1. Punkt-Prozesse und Intensitaten
Denition erfullen. Wir verwenden die Schreibweise N fur die Einschrankung von N auf R ,
also N (C) = N(C \ R ) fur alle C 2 B. Ferner sei N(!; C) def
= N(C)(!) fur alle ! 2 und
C 2 B.
Eine Erweiterung des Begris "
Punkt-Proze auf R\ stellt der markierte Punkt-Proze auf R
dar:
1.2. Denition (markierter Punkt-Proze). Unter einem (einfachen) markierten Punkt-
Proze N =(T n ;U n ) n2Z
(auf R) mit Marken in einem mebaren Raum (E;E)versteht man eine
Familie von Zufallsvariablen (N (C E )) CE 2BE mit Werten in N 0,soda
(1.3)
N (C E )= X n2Z1 CE (T n ;U n )
gilt und N(E) ein (einfacher) Punkt-Proze auf R ist. Der mebare Raum (E;E) wird auch
als Markenraum bezeichnet.
Punkt-Prozesse und markierte Punkt-Prozesse lassen sich auch auf allgemeineren Raumen
denieren (vergleiche [DVJ88] x7). Zu einem (markierten) Punkt-Proze N denieren wir nun eine
Filtration (F t ) t2R. Diese lat sich wie folgt interpretieren: F t beinhaltet samtliche Informationen
uber N bis zum "
Zeitpunkt\ t, also auf (,1;t].
1.3. Denition (Filtration). (F t ) t2R heit Filtration eines (markierten) Punkt-Prozesses N,
wenn (F t ) t2R eine nichtfallende Familie von -Algebren mit der Eigenschaft F N t
F t F fur
alle t 2 R ist. Dabei wird die interne Filtration (F N t
) t2R von N gegeben durch
(1.4)
F N t
def
= (N(C); C 2 B((,1;t])) :
Falls N ein markierter Punkt-Proze mit Markenraum (E;E) ist, wird die interne Filtration
durch
(1.5)
F N t
def
= (N(C E ); C E 2 B((,1;t]) E)
erklart. Die zu den Marken (U n ) n2Z eines markierten Punkt-Prozesses N =(T n;U n ) n2Z gehorige
Filtration , F U t
t2R
wird deniert als
(1.6)
F U t
def
= (U(s); ,1

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 5
1.4. Denition (Progressivitat und Vorhersagbarkeit). Es sei (F t ) t2R eine Filtration. Ist
((t)) t2R ein stochastischer Proze derart, da fur alle t 2 R die auf (,1;t] denierte
Funktion (!; s) 7! (s)(!) def
= (!; s) F t B((,1;t])-mebar ist, so heit dieser Proze F t -
progressiv mebar. Die -Algebra der F t -progressiv mebaren Ereignisse wird im folgenden mit
P G
,
(Ft ) t2R
oder kurz PG (F t ) bezeichnet.
Der Proze ((t)) t2R wird F t -vorhersagbar genannt, falls die Funktion :R!R;(!; s) 7!
(!; s) mebar ist bezuglich der -Algebra P , (F t ) t2R
(kurz P (Ft )), welche auf R deniert
ist und durch Mengen der Form A (a; b] mit a b und A 2F a erzeugt wird.
Entsprechende Bezeichnungen werden auch fur Funktionen f verwendet, die auf R deniert
sind.
Im vorliegenden Text nutzen wir stets die abkurzende Schreibweise "
F t -...\ anstelle von
" (F t) t2R-...\, denn es sind keine Miverstandnisse zu erwarten. So schreiben wir beispielsweise
F t -progressiv mebar statt (F t ) t2R-progressiv mebar.
1.5. Denition (Intensitat). Sei (F t ) t2R eine Filtration eines Punkt-Prozesses N und ((t)) t2R
ein nichtnegativer F t -progressiv mebarer Proze mit
(1.7)
E(N(a; b] jF a )=E
Z b
a
(s)ds
fur alle (a; b] R. Der stochastischer Proze ((t)) t2R wird dann F t -Intensitat von N genannt.
Anstelle der bedingten Erwartungswerte in (1.7) konnen in der Denition Erwartungswerte
uber F t -vorhersagbare Funktionen treten.
1.6. Bemerkung. Gegeben sei die Situation von 1.5. Dann ist ((t)) t2R genau dann eine F t -
Intensitat von N, wenn fur alle nichtnegativen F t -vorhersagbaren Funktionen H : R ! R
die Gleichheit
gilt.
Z
E
Z
H(;t)N(dt) = E
F a
f.s.
H(;t)(t)dt
Diese Bemerkung ist eine Konsequenz aus [BB94] Kapitel 1 Gleichung (8.3.3) und der
P (F t )-Mebarkeit von H(!; t) =1 A (!)1 (a;b] (t) fur (a; b] R und A 2F a .
Wir erinnern an die Denition eines Radon-Maes: unter einem Radon-Ma auf (R; B)
verstehen wir ein lokal-endliches und von innen regulares Ma, d.h. zu jedem x 2 R gibt es eine
oene Umgebung V x mit (V x ) < 1, und (C) = supf(K); K 2 K;K Cg fur alle C 2 B (K
System kompakter Mengen), vergleiche [Bau92] x25.
1.7. Bemerkung. In der Situation von 1.5 gilt fur alle C 2 B genau dann N(C) < 1 P -
R
f.s., wenn (s) ds < 1 P -f.s.. Daraus folgt, da N genau dann f.s. ein Radon-Ma ist, wenn
C
((t)) t2R f.s. lokal integrabel ist.

6 1. Punkt-Prozesse und Intensitaten
Begrundung: (i) Um den ersten Teil der Bemerkung zu zeigen, sei C 2 B eine nichtleere
Menge und a def
= inf C 2 R.
Gelte zunachst N(C) < 1 f.s. und deniere fur n 2 N
Z t
def
= inf t a; 1 C (s) N(ds) n
S (1)
n
a
mit der ublichen Festlegung inf ; def
= 1. Wir konnen o.B.d.A. S (1)
n
= inf ft a; N(C \ (,1;t]) ng
als nach unten beschrankt
annehmen, betrachte sonst S (1)
n _ n 0 . Hierfur gilt lim n!1 S (1)
n = 1 f.s.. Auerdem ist S (1)
n
F t -Stopzeit:
S
(1)
n
t =
=
(
(
2F t ;
nR
; fur t

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 7
(ii) Fur C 2 B und ! 2 gilt N(!; C) = supfN(!; K); K 2 K;K Cg; denn ist
def
= fT n (!); ,k n k; T n (!) 2 Cg fur jedes k 2 N eine kompakte
N = (T n ) , so stellt K n2Z k
Menge mit K k C und lim k!1 N (!; K k )=N(!; C) dar.
Bezeichne 0 den Trager von P .
Ist nun ! 2f^!2; N(^!;) Radon-Mag, gilt N(!; [a; b]) < 1 fur beschrankte [a; b] R,
R
und daher (!; s) ds < 1.
[a;b]
R
[x,1;x+1]
Falls ! 2 f^! 2 ; ((^!; t)) t2R lokal integrierbarg ist, folgt fur x 2 R die Endlichkeit von
(!; s) ds, also auch N (!; (x , 1;x+ 1)) < 1.
Wir verwenden ab nun eine verkurzende Schreibweise:
Im folgenden werden (markierte) Punkt-Prozesse stets als einfach angenommen, die Nennung
des Zusatzes "
einfach\ wird unterlassen.
Einen Spezialfall der markierten Punkt-Prozesse stellt der multivariate Punkt-Proze (oder
auch K-variate Punkt-Proze ) dar, bei dem der Markenraum E def
= f1;:::;Kgund E die Potenzmenge
von E ist (K 2 N). Im Fall K = 1 spricht man auch von einem univariaten Punkt-Proze,
falls K =2von einem bivariaten Punkt-Proze.
Ist N = (T n ;U n ) n2Z
ein K-variater Punkt-Proze, so rechnet man sofort nach, da N(fig)
fur jedes i 2f1;:::;Kg einen gewohnlichen (univariaten) Punkt-Proze auf R bildet.
Im folgenden werden wir nur noch K-variate Punkt-Prozesse ohne gemeinsame Punkte betrachten,
d.h. N (fT n gfig)N(fT n gfjg) = 0 f.s. fur alle n 2 Z und 1 i; j K mit i 6= j.
Ein K-variater Punkt-Proze lat sich durch die Zuordnungen
N(C L) = X i2LN i (C) C2B;L2E;
N i (C)=N(Cfig)
C2B;
1 i K, mit einem sogenannten K-Vektor-Proze ~ N = (N 1 ;:::;N K ) identizieren und
umgekehrt, so da wir beide Darstellungen N = (T n ;U n ) n2Z und N = (N 1;:::;N K ) als K-
variaten Punkt-Proze bezeichnen werden. Es gilt dann
F N t
= , F N i
t ;1iK :
Ferner heit , (t) t2R , (t) = ( 1(t);:::; K (t)), F t -Intensitat des K-variaten Prozesses N =
(N 1 ;:::;N K ), falls N i F t -adaptiert und ( i (t)) t2R eine F t-Intensitat von N i ist fur alle i 2
f1;:::;Kg.
Die Einschrankung auf eine der reellen Halbachsen entspricht dem univariaten Fall: N =
,
N
1 ;:::;N K , dabei stellt N
i
wie im univariaten Fall die Einschrankung von N i auf R dar
(1 i K).

8 2. Vorhersagbarkeit
2. Vorhersagbarkeit
eine Filtration.
1) Die -Algebra der vorhersagbaren Ereignisse P (F t ). Sei (F t ) t2R
In diesem Unterabschnitt geben wir zwei Erzeuger von P (F t ) an, die beim Nachweis von F t -
Vorhersagbarkeit nutzlich sein werden und bereits im Beweis von Bemerkung 1.7 genutzt wurden.
Auerdem gilt es, den Zusammenhang zwischen Vorhersagbarkeit und progressiver Mebarkeit
zu klaren.
2.1. Lemma. Die beiden folgenden Mengen-Systeme bilden durchschnittsstabile Erzeuger der
-Algebra der vorhersagbaren Ereignisse P (F t ):
(2.1)
(2.2)
E 1
def
= fA (s; 1); A 2F s ;s2 Rg
E 2
def
= f(!; t) 2 R; t T(!)g;T beschrankte F t -Stopzeit :
Beweis: Die Durchschnittsstabilitat von E 1 und E 1 P(F t )ist klar. Fur P (F t )=(E 1 )
reicht es zu zeigen, da fur ; 6= (a; b] R und A 2 F a die Menge A (a; b] ein Element von
(E 1 ) darstellt. Dazu genugt ein Hinweis auf die Darstellung A (a; b] =A(a; 1) n A (b; 1)
und F a F b .
A 2F s
Um P (F t )=(E 2 )zu erhalten zeigen wir (E 1 )=(E 2 ). Setze zu beliebigem s 2 R und
T s;A (!) def
= s1 A (!)+11 A C(!):
T s;A ist eine F t -Stopzeit:
fT s;A tg =
8
><
>:
; fur t

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 9
fur zwei beschrankte F t -Stopzeiten T 1 und T 2 .
Das nachfolgende Lemma rechtfertigt die Beschrankung auf die Betrachtung vorhersagbarer
Intensitaten.
2.2. Lemma. Fur beliebige Filtrationen (F t ) t2R gilt P (F t ) P G (F t ).
Beweis: Sei A (s; 1) 2P(F t ) mit s 2 R und A 2F s .Dann gilt oensichtlich
A [
(s; 1) = A (t 1 ;t 2 ]2P G (F t );
t 1 ;t 2 2Q
st 1

10 2. Vorhersagbarkeit
abzahlbar) und einer geeigneten Funktion besitzt. Anschlieend wird ausgenutzt, da E 2 gema
ist.
(2.2) ein durchschnittsstabiler Erzeuger von P , F N t
T
(i) Sei T eine beschrankte F N t
mebar. Sei
-Stopzeit. Dann ist T bezuglich der Vergangenheit zur Zeit
F N T = , A 2F N 1 ;A\fT tg2FN t
fur alle t 2 R :
T 0 (!) def
= X n2Z
n1fn,1T

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 11
Beweis: Um das Funktions-Erweiterungsargument anwenden zu konnen, wird die Behauptung
fur F t -vorhersagbare Funktionen der Form (!; t) = 1 A(s;1) (!; t), s 2 R und A 2 F s ,
nachgerechnet. Dies ist wegen
! 7! 1 (s;1) (t) 1 A (!) =
und F s F t fur t>sklar.
(
0 fur t s
1 A (!) fur t>s
Fur ein vorgegebenes t 2 R ist die Abbildung ! 7! (!; t) also F N t
-mebar. Der Satz 2.3
uber abzahlbare Abhangigkeiten liefert die Existenz einer abzahlbaren Menge J und Mengen
C k 2 B((,1;t]), k 2 J. Damit gilt
(t) =f t (N(C k );k2J)=f t (N(C k \(,1;t]) ;k2J)
fur eine geeignete Funktion f t : R jJj ! R. Wir erhalten zu Satz 2.4 folgendes
2.6. Korollar. Gegeben sei die Situation von 2.4. Dann gilt:
(2.4)
(!; t) =(N(!;\(,1;t]) ;t)
fur alle t 2 R und ! 2 .
Betrachten wir einen Punkt-Proze N mit zugehoriger F t -Intensitat ((t)) t2R
, so konnen
wir diese Intensitat stets F t -vorhersagbar wahlen. Die Rechtfertigung liefert der nachstehende
2.7. Satz (Existenz einer vorhersagbaren Version der Intensitat). Sei (F t ) t2R eine Filtration
und N ein Punkt-Proze mit F t -Intensitat ((t)) t2R. Dann existiert eine F t -vorhersagbare
F , t -Intensitat (t) ~ von N.
t2R
Beweis: Nach Denition ist ((t)) t2R F t -progressiv mebar. Ferner gilt P (F t ) P G (F t )
(siehe 2.2). Daher werden durch
1 (A) def
=
2 (A) def
=
Z
Z
A
A
(!; t) P n (d! dt) ;
P n (d! dt) ;
A 2P(F t ), Mae auf P (F t ) mit 1 2 deniert. Der Satz von Radon-Nikodym (-Endlichkeit
on 2 ist klar) sichert die Existenz einer P (F t )-mebaren Abbildung ~ = d 1
d 2
. Fur alle a; b 2 R
und A 2F a liefert dies mit dem Satz von Fubini
Z
A
E
Z
=
Z
(a;b]
(t) dt
A(a;b]
F a
dP =
Z
A
Z
~(!; t) 2 (d! dt) =
Z
(a;b]
A
(t) dt dP =
Z
(a;b]
Z
A(a;b]
~(t) dt dP =
Z
A
d 1
E
Z
(a;b]
~(t) dt
F a
dP;

12 3. Hawkes-Prozesse
d.h. , ~ (t)
t2R ist ebenfalls eine F t-Intensitat von N.
Zum Abschlu dieses Abschnitts wird noch ein mit 2.5 vergleichbares Ergebnis (bezuglich
der Mebarkeit) fur Integrationen uber ein Zeit\-Intervall gegeben. Dieses Ergebnis erinnert an
"
die Mebarkeitsaussage im Satz von Fubini (und Tonelli) 19.11(a) in [Als98]).
2.8. Lemma. Gegeben sei ein nichtnegativer F t -progressiv mebarer Proze ((t)) t2R fur eine
Filtration (F t ) t2R. Dann gilt fur jedes feste t 0 2 R [ f,1g:
(2.5)
ist adaptiert bezuglich (F t ) t2R.
Z t
t 0
(s) ds
Beweis: Sei t 2 R. Klar ist, da
F t B((,1;t]) = (A (a; b]; A 2F t ;(a; b] (,1;t]) ;
wobei der angegebene Erzeuger durchschnittsstabil ist. Fur beliebige A 2F t und (a; b] (,1;t]
gilt
Z t
t 0
1 A (!) 1 (a;b] (s) ds = 1 A (!)(b_t 0 ,a_t 0 );
die Abbildung ! 7! R t
t 0
1 A (!)1 (a;b] (s) ds ist also F t -mebar. Mittels eines Dynkin-System-
Arguments (nutze den Satz von Fubini) folgt fur alle B 2F t B((,1;t]) die F t -Mebarkeit der
Abbildungen ! 7! R t
t 0
1 B (!; s) ds. Ein Funktions-Erweiterungsargument liefert schlielich unter
Beachtung des Satzes von der monotonen Konvergenz die Behauptung.
3. Hawkes-Prozesse
Fur die vorliegende Arbeit seien
(3.1)
: R ! [0; 1) und h :[0;1)!R
stets mebare Funktionen. An einigen Stellen wird es sinnvoll sein, h als Funktion auf R aufzufassen,
daher setzen wir dann h(x) =0fur x 2 (,1; 0).
Wir werden uns mit (einfachen) Punkt-Prozessen befassen, welche eine F N t
Z
(D1) (t) = h(t , s) N(ds)
[h :[0;1)!R]
(,1;t)
= (h N(t)) [h : R ! R]
-Intensitat der Form
besitzen. Intensitaten der Form (D1) werden im folgenden meist als , F N t
, Dynamiken bezeichnet.

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 13
Einen Spezialfall solcher Prozesse stellen die selbst-anregenden Punkt-Prozesse von Hawkes dar.
Fur diese gilt:
: R ! [0; 1);(x) def
= + x;
h :[0;1)![0; 1)
mit > 0. Im folgenden sollen allgemeinere Funktionen betrachtet und der Bildbereich von h
auf R ausgeweitet werden. Aus der Verwendung solcher (i.a. nichtlinearen) Funktionen stammt
die Bezeichnung nichtlinearer Hawkes-Proze fur Punkt-Prozesse mit Intensitaten der Form (D1).
Der Begri der (linearen) multivariaten Hawkes-Prozesse oder auch wechselseitig anregenden
Punkt-Prozesse lat sich zum Begri des multivariaten nichtlinearen Hawkes-Prozesses erweitern.
Ein solcher Proze ist eine Familie N i ,1iK(K2N), von einfachen Punkt-Prozessen
ohne gemeinsame Punkte und zugehorigen F N t
(D2)
mit mebaren Funktionen
i (t) = i
K X
j=1
Z
-Intensitaten
(,1;t)
h ji (t , s)N j (ds)
!
(3.2)
i : R ! [0; 1) und h ji :[0;1)!R;
1 i; j K. Wie bereits bei der Denition der K-variaten Punkt-Prozesse gelte
F N t
def
= , F N i
t ;1iK :
Auch hier werden wir die F N t
-Intensitat (( 1 (t);:::; 1 (t))) t2R von (N 1;:::;N K ) meist als , F N t
,
Dynamik bezeichnen. Die Funktionen bzw. i werden auch Anregungsfunktionen, h bzw. h ji
Ubertragungsfunktionen genannt.
3.1. Beispiel. Wahlt man im univariaten Fall (x) def
= 1 [0;c,1] (x) und h(t) def
= 1 [0;a] (t) (c 2 N,
a > 0). Dann ist N der Input-Proze einer M=D=c=0-Warteschlange, d.h. einer Warteschlange
mit Poisson-verteilten Ankunften der Intensitat >0, Service-Zeiten a>0, keinem Warteraum
und c Servern. ?
3.2. Beispiel. Unter Zuhilfenahme von Hawkes-Prozessen lat sich neuronale Aktivitat, auch
neuronales Netzwerk genannt, modellieren. In dieser Situation bezeichnet
(3.3)
i (t) =
KX Z
j=1
(,1;t)
h ji (t , s) N j (ds)
das Potential von Neuron i zur Zeit t, i ist die Anregungs-Funktion von Neuron i und h ji die
Transfer-Funktion von Neuron j zu Neuron i. Gelte 1 i
i (x) =1,1 [0;i ] (x), i > 0, dann heit i
die Anregungs-Schwelle von Neuron i, und das Neuron heit angeregt zur Zeit t, falls i (t) > i ,
bzw. in Ruhe oder auch gehemmt zur Zeit t, falls i (t) i . ?

14 4. Stabilitat von Intensitaten
3.3. Beispiel. Betrachte ein Netzwerk, bestehend aus K Neuronen mit den Eigenschaften:
Neuron i 2f1;:::;Kg feuert mit einer Rate i , falls fur alle j 2f1;:::;Kg das Neuron j in den
letzten ji -Zeiteinheiten nicht gefeuert hat ( ji 0konstant), ansonsten ist es gehemmt.
N i heit der Punkt-Proze der Spitzen von Neuron i, die Dynamik dieses Netzwerkes ist vom
allgemeinen Typ (D2) mit i (x) = i 1 [0;1) (x) und h ji = 1 [0;ji ] (t), denn
i (t) = i
X
K
j=1
= i
X
K
j=1
Z
Z
(,1;t)
[t, ji ;t)
!
X
K
h ji (t , s) N j (ds) = i 1 [0;ji ] (t , s) N j (ds)
j=1
(,1;t)
N j (ds)
!
= i 1 [0;1)
K X
j=1
N j [t , ji ;t)
Z
!
!
:
?
Das Ziel wird im folgenden sein, geeignete Bedingungen an die Funktionen und h (bzw.
i und h ji ) zu stellen, welche die Existenz und Eindeutigkeit einer stationaren Version von N
(bzw. N = (N 1 ;:::;N K )) sowie auch die Stabilitat (im Sinne von 4.5) der stationaren Version
sichern.
4. Stabilitat von Intensitaten
Sei X def
= R k (k 2 N) oder X def
= R E mit einem mebaren Raum (E;E), X = B k bzw.
X = B E.Wir bezeichnen den mebaren Raum der Radon-Mae auf X mit (M(X); M(X)),
dabei wird M(X) durch Abbildungen der Form f C
M(X) =(f C ;C2X).Als abkurzende Schreibweise verwenden wir
sowie (M;M) imFall k = 1, auerdem
(M k ; M k ) def
= , M , R k ; M , R k
(M E ; M E ) def
= (M (R E) ; M (R E)) :
: M(X) ! R; 7! (C) erzeugt, also
Mit (M 0 k ; M0 k ) bezeichnen wir den Raum der ganzzahligen Radon-Mae auf Rk , entsprechendes
gelte fur (M 0 ; E M0 E
). Fur weitergehende Betrachtungen dieser Raume verweisen wir auf [DVJ88]
Abschnitt 6.1 und 7.1.
Verschiebungen eines Radon-Maes auf der reellen Achse lassen sich mit dem Shift-Operator
darstellen.
4.1. Denition (Shift). Der Shift- (oder auch Translations-) Operator S t auf M = M 1 wird
deniert durch
(4.1)
S t (C) =(t+C)

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 15
fur 2 M und alle C 2 B. Auf M k (k 2) oder M E wirke der Operator nur auf die erste
Komponente des Grundraumes:
(4.2)
S t (C L) =((t + C) L)
fur 2 M k und alle C 2 B, L 2 B k,1 (bzw. 2 M E , C 2 B, L 2 E).
Es stellt (S t ) einen mebaren Flu auf (M t2R 1; M 1 ) bzw. (M E ; M E ) dar (vergleiche [BB94]
1.1 und 1.3), d.h. die Abbildung (t; ) 7! S t ist B M 1 ,M 1 -mebar (bzw. B M E ,M E -
mebar), S t ist bijektiv und S t S u = S t+u fur alle t; u 2 R.
Der Shift-Operator besitze Vorrang vor der Einschrankung eines Punkt-Prozesses auf die positive
oder negative reelle Halbachse, d.h. S t N = N ((t + ) \ R ).
Nach Denition gilt fur einen K-variaten Punkt-Proze N =(N 1 ;:::;N K ) nach Anwendung des
Shift-Operators S t N =(S t N 1 ;:::;S t N K ).
4.2. Denition (Stationaritat und t -Kompatiblitat). (i) Ein Punkt-Proze N heit stationar,
falls P(N 2)=P(S t N2)fur alle t 2 R gilt.
(ii) Sei ( t ) t2R ein mebarer Flu auf einem mebaren Raum (; F), vergleiche [BB94]
Kapitel 1 1.2. Ein Punkt-Proze N heit t -kompatibel, wenn er fur alle t 2 R und ! 2
(4.3)
S t N(!;) =N( t !;)
erfullt. Eine Verschiebung einer Realisierung des Punkt-Prozesses als Radon-Ma entspricht also
einer "
Verschiebung\ der zufalligen Komponente.
Fur einen stochastischen Proze ((t)) t2R verwenden wir ebenfalls das Symbol S u, um die
Verschiebung um u Zeiteinheiten darzustellen: S u (t) def
= (u + t).
Wir ubernehmen auf (M 0 ; M 0 ) die Denition der vagen und schwachen Konvergenz aus
[Als98] (Denition 36.1 und 43.4): eine Folge ( n ) n2N von Maen aus M 0 konvergiert vage gegen
einen Grenzwert 2 M 0 , wenn fur alle stetigen Funktionen f auf R mit kompakten Trager
(4.4)
Z
n!1
fd n ,,,!
gilt. Die Folge ( n ) n2N konvergiert schwach gegen , falls (4.4) fur alle stetigen und beschrankten
Funktionen f auf R richtig ist.
Der Raum der ganzzahligen Mae (M 0 ; M 0 ) auf (R; B) wird versehen mit der Topologie der
vagen Konvergenz.
4.3. Denition (Anfangsbedingung und Konvergenz). (i) Der Punkt-Proze N besitzt
die Anfangsbedingung (P , ), falls die Beschrankung von N auf (,1; 0], also N , = S 0 N , , die
Bedingung (P , ) erfullt.
von Punkt-Prozessen konvergiert in Verteilung gegen einen Grenzpro-
, (ii) Eine Folge N (n) n2N ,
ze N, wenn die zugehorigen auf M 0 induzierten Wahrscheinlichkeitsmae P N (n) 2 schwach
Z
fd

16 4. Stabilitat von Intensitaten
gegen P(N 2)konvergieren.
Eine solche Folge , N (n) n2N
konvergiert in Variation gegen N, wenn
lim
n!1 sup
, P N (n) 2 C , P(N 2 (4.5) C) =0:
C2M 0 ,
Ein nutzliches Kriterium zur Prufung auf Konvergenz in Verteilung einer Folge N (n) n2N
von Punkt-Prozessen gegen einen Grenzproze N ndet sich in [DVJ88] (Theorem 9.1.VI.):
P , N (n) 2 konvergiert genau dann schwach gegen P(N 2), wenn fur jede endliche Familie
beschrankter Mengen A 1 ;:::;A k 2 B mit P(N (A i ) > 0)=0fur alle i 2f1;:::;kg die Verteilung
von , N (n) (A 1 );:::;N (n) (A k ) schwach in R k gegen die Verteilung von (N(A 1 );:::;N(A k ))
konvergiert (im "
ublichen\ Sinn, siehe [Als98] Abschnitt 43). Dabei bezeichnet A den topologischen
Rand der Menge A 2 B.
Mit den nun vorhandenen Konvergenzbegrien konnen wir die Stabilitat eines Punkt-
Prozesses denieren. Zuvor noch ein Beispiel fur eine Anfangsbedingung eines K-variaten Punkt-
Prozesses N.
4.4. Beispiel. Gegeben sei ein K-variater Punkt-Proze N =(N 1 ;:::;N K ). Dann ist
N i ((,t; 0])
lim
= i
t!+1 t
f.s. fur i > 0, 1 i K, eine Anfangsbedingung (P , ). ?
Die Denition von Stabilitat geben wir nur fur die Dynamik (D2), da (D1) den Spezialfall
K = 1 darstellt.
Wir werden im folgenden sagen, da der Punkt-Proze N die Dynamik (D2) auf [0; 1) besitzt,
falls (1.7) fur alle (a; b] [0; 1) gilt.
4.5. Denition (Stabilitat). Die Dynamik (D2) heit stabil in Verteilung (bzw. Variation)
bezuglich einer Anfangsbedingung (P , ), wenn fur alle Punkt-Prozesse N 0 mit Anfangsbedingung
(P , ), welche eine Dynamik (D2) auf [0; 1) zulassen, ein Punkt-Proze N existiert mit
(ST1) N folgt der Dynamik (D2) auf R und ist stationar,
(ST2) S t N 0 +
Vert:
,,! N + fur t ! +1 (bzw. S t N 0 + Var:
,,,,!
t!+1 N + ).
Klar ist, da die Stabilitat in Variation die Stabilitat in Verteilung impliziert. Koppelt jeder
Punkt-Proze N 0 wie in 4.5 bereits mit einem stationaren Punkt-Proze mit der gewunschten
Intensitat, so erhalten wir bereits Stabilitat in Variation, wie Lemma 4.6 zeigt.
4.6. Lemma. Zu beliebigem Punkt-Proze N 0 mit Anfangsbedingung (P , ) und Dynamik (D2)
lasse sich auf [0; 1) ein Proze N auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum konstruieren, welcher
(ST1) erfullt. Ferner koppeln N und N 0 , d.h.
(ST2') S t N + S t N 0+ f.s. fur alle t T , T Zufallsgroe mit P(T < +1) =1.

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 17
Dann ist die Dynamik (D2) stabil in Variation bezuglich der Anfangsbedingung (P , ).
Beweis: Fur beliebiges t 2 R und C 2M 0 gilt unter Ausnutzung der Stationaritat von N
P
S t N 0 +
2 C
= P
, P , N + 2 C
S t N 0 +
2 C; S t N 0 +
6= S t N + , P
S t N + 2 C; S t N 0 +
6= S t N
+ S t N 0 +
2 C; S t N 0+ = S t N + , P
S t N + 2 C; S t N 0+ = S t N +
S t N 0 +
2 M 0 ;S t N 0 +
6=S t N +
+ P
P
P
S t N 0 +
6=S t N +
P(T >t)
und analog P(N + 2 C),P , S t N 0 +
2 C P(T >t):Somit folgt die Kopplungsungleichung und
Konvergenz in Variation gegen 0:
denn T < +1 f.s..
P
sup S t N 0 +
2 C , , P N + 2
C P(T >t) ,,,! t!1 0;
C2M 0
Das folgende Lemma konnen wir nutzen, um die Eindeutigkeit von stationaren Punkt-
Prozessen mit gegebener Anfangsbedingung und auf [0; 1) vorgegebener Intensitat zu zeigen.
4.7. Lemma. Existiere zu Dynamik (D2) eine Anfangsbedingung (P , ), so da (D2) stabil in
Verteilung (oder Variation) ist. Sei fur jeden Punkt-Proze N 0 , welcher (P , ) erfullt und auf
[0; 1) der Dynamik (D2) folgt, die Verteilung des in (ST1) auftretenden stationaren Punkt-
Prozesses N gleich. In diesem Fall gilt:
Jeder stationare Punkt-Proze N 0 , der die Anfangsbedingung (P , ) besitzt und der Dynamik (D2)
auf [0; 1) genugt, ist verteilt wie N.
Erfullt auerdem jeder stationare Punkt-Proze, welcher die Dynamik (D2) auf [0; 1) besitzt,
die Anfangsbedingung (P , ), so ist die stationare Losung eindeutig.
Beweis: Sei N 0 ein stationarer Punkt-Proze, der die Anfangsbedingung (P , ) besitzt und
der Dynamik (D2) auf [0; 1) folgt. Somit gilt P S 0N 0+ = P N0+ = P StN0+ fur alle t 2 [0; 1). Es
folgt P N0+ = P N + ,daS t N 0 + t!1
,,,! N + in Verteilung.
Die Stationaritat von N 0 und N liefert auerdem P StN0+ = P N0+ = P N + = P StN + fur t 2 (,1; 0],
d.h. N 0 ist wie N verteilt.
Die zweite Aussage ist hiermit ebenfalls klar.
Wir werden in diesem Text einen Punkt-Proze N =(T n ) n2Z transient nennen, falls T n fur
n !1f.s. gegen unendlich strebt. In Stabilitatsbeweisen reicht es, transiente Punkt-Prozesse zu
betrachten: fur ein ! 2 mit T n (!) n!1 ,,,! x 2 (0; 1) gilt nach Denition 1.1, da N(!; (x; 1)) =

18 5. Eigenschaften von Punkt-Prozessen
0. Auf der Menge
o
n! 2 ; T n (!) ,,,! n!1 x fur ein x 2 (0; 1) strebt S t N + fur t !1also gegen
den leeren Punkt-Proze ohne einen einzigen Punkt auf R.
5. Eigenschaften von Punkt-Prozessen
Wir beginnen diesen Abschnitt mit einer technischen Hilfsaussage, die wir im folgenden ohne
explizite Nennung verwenden werden.
5.1. Lemma. Sei (F t ) t2R eine Filtration, ((t)) t2R ein nichtnegativer F t-vorhersagbarer Proze
und x a

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 19
welcher Position ein solcher Punkt in der Folge der negativen Punkte eingeordnet werden mu
( n-ter Punkt vor 0\ oder n+1-ter Punkt vor 0\ oder ...?), stellen diese Punkte keine Stopzeiten
" "
bezuglich der internen Filtration dar. Auf (0; 1) ist dies jedoch der Fall.
5.2. Lemma. Sei N =(T n ) n2Z
-Stopzeiten, denn fur beliebiges n 2 N und t 2 R gilt
ein Punkt-Proze auf R. Die Punkte der positiven reellen Halbachse
(T n ) n2N sind dann F N t
fT n tg =
(
2F N t
:
; fur t 0
fN((0;t]) ng fur t>0
Schranken wir einen Punkt-Proze mit existierender F t -Intensitat auf die positive reelle
Halbachse ein, so lat sich auch fur diesen Proze die F t -Intensitat angeben.
5.3. Lemma. Gegeben sei eine Filtration (F t ) t2R und ein F t-adaptierter Punkt-Proze N mit
F t -Intensitat ((t)) t2R . Dann besitzt N + die durch
(5.3)
+ (t) =
denierte F t -Intensitat ( + (t)) . t2R
(
0 fur t 0
(t) fur t>0
Beweis: In den Fallen (a; b] (,1; 0) oder (a; b] [0; 1) rechnet man die denierende
Gleichung (1.7) sofort nach. Sei also (a; b] R mit 0 2 (a; b]. Dafur gilt
denn F a F 0 .
,
E N + ((a; b])
Fa = E(N((0;b]) jFa )=E(E(N((0;b]) jF 0 )jF a )
Z b
Z b
F a
=E
E
0
(t)dt
F 0
= E
a
+ (t) dt
Die Hinzunahme von Informationen, die unabhangig vom vorgegebenen Proze sind, andert
die Beziehung zwischen Punkt-Proze und Intensitat nicht, d.h. bedingen wir nicht nur unter der
ursprunglichen -Algebra zum Zeitpunkt a, sondern zusatzlich unter der davon unabhangigen
-Algebra zum Zeitpunkt a, so gewinnen wir keine neuen Erkenntnisse uber das Verhalten von
Punkt-Proze und Intensitat in (a; b].
5.4. Satz. Sei N ein Punkt-Proze mit F t -Intensitat ((t)) und (G t2R t) t2R
eine weitere, von
F 1 (und damit von F1 N) unabhangige Filtration. Dann ist ((t)) t2R ebenfalls eine (F t; G t )-
Intensitat von N.
Beweis: Die Unabhangigkeit von F a und G a zeigt unter Verwendung von Lemma 2.8
E(N((a; b]) jF a ;G a )=E(N((a; b]) jF a )=E
f.s. fur beliebige Mengen (a; b] R.
Z b
a
(t)dt
F a
= E
Z b
a
F a
(t) dt
;
F a; G a

20 5. Eigenschaften von Punkt-Prozessen
5.5. Satz (Risikorate). Sei N ein (einfacher) Punkt-Proze, welcher eine F N t
-vorhersagbare
Intensitat der Form (t) =(N; t) auf [0; 1) zulat. Dann gilt:
(5.4)
fur alle t 2 (0; 1] auf der Menge
P , N((0;t]) = 0 jF N 0
= exp
,
Z t
nR t
0 (N, ;s)ds < 1 o .
0
(N , ;s)ds
Es wird in 5.5 nicht gefordert, da die F N t
-Intensitat (t) von der Form (N; t) ist. Dies
gilt vielmehr, da (t) F N t
-vorhersagbar ist, vergleiche 2.4.
Auf der Menge
nR t
0 (N, ;s)ds = 1 o nimmt Gleichung (5.4) die Gestalt
P , N((0;t]) = 0 jF N 0
=0
an. Als Basis zum Nachweis dieser Behauptung kann die Anwendung von 5.5 auf Punkt-Prozesse
N (n) mit Intensitat (n) (t) = (t) ^ n genutzt werden. Dabei werden die Prozesse N (n) aus
dem Proze N unter Verwendung der Aussagen 6.11 (bzw. 6.12) und 6.14 des nachfolgenden
Abschnitts konstruiert (ahnlich dem Vorgehen wie z.B. im Beweis von 8.7). Auf weitere Details
verzichten wir und kommen nun zum Beweis von 5.5.
Beweis (von Satz 5.5): Sei t 2 (0; 1]. Unmittelbar klar ist die Gleichheit
(5.5)
Z
1fN((0;t])=0g =1, 1fN((0;s))=0g N(ds):
(0;t]
Sei A 2F0
N beliebig. Die Abbildung (!; s) 7! 1 A (!)1 (0;t] (s) ist P , F N s
wird nun die F N s
-Vorhersagbarkeit der Abbildung
-mebar. Gezeigt
(5.6)
(!; s) 7! 1 A (!)1 (0;t] (s) 1fN((0;s))=0g (!) :
Hierfur reicht es, die P , F N s
-Mebarkeit der Menge f(!; s) 2 R; N(!; (0;s)) = 0g nachzurechnen.
Da f! 2 ; T 1 (!) ag = f! 2 ; N(!; (0;a)) = 0g 2 F N a
sich aus der Darstellung
f(!; s) 2 R; N(!; (0;s)) = 0g
=(,1; 0] [ f(!; s) 2 (0; 1); T 1 (!) s>0g
mit Anhang A1.1 das Gewunschte: f(!; s) 2 R; N(!; (0;s)) = 0g2P , F N s
fur alle a 2 [0; 1), ergibt
Multiplikation von Gleichung (5.5) mit 1 A liefert wegen der Vorhersagbarkeit von (5.6)
unter Beachtung von Bemerkung 1.6
P(fN((0;t])=0g\A)=E1 A ,E
Z
1 A
Z
(0;t]
= P(A) , E 1 A 1 (0;t] (s) 1fN((0;s))=0g N(ds)
Z
= P(A) , E
1 A 1fN((0;s])=0g(s) ds
(0;t]
Z
(1)
= P(A) , E
1 A 1fN((0;s])=0g(N , ;s)ds :
(0;t]
.
1fN((0;s))=0g N(ds)

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 21
Unter (1) wurde die aus der Darstellung (s) =(N; s) resultierende Identitat
1fN((0;s])=0g(;s)=1fN((0;s])=0g(N; s) =1fN((0;s])=0g(N , ;s)
genutzt (siehe auch Korollar 2.6). Dies wiederum zeigt mit dem Satz von Fubini, da
P , fN((0;t]) = 0gjF N 0
=1,E
=1,
=1,
Z
Z
Z
(0;t]
(0;t]
(0;t]
,
=E 1fN((0;t])=0g
1fN((0;s])=0g(N , ;s)ds
F
N
E , 1fN((0;s])=0g(N , ;s) F
N
0
P , N((0;s]) = 0 jF N 0
Eine induktive Anwendung dieser Gleichung liefert (s 0
def
= t)
0
F N 0
ds
(N
, ;s)ds:
(5.7)
P , N((0;t])=0jF N 0
+
nX
k=1
=1
Z s0
(,1) k (N , ;s 1 )
Z s0
+(,1) n+1 (N , ;s 1 )
0
0
Z sn
0
Z s1
0
Z s1
0
Z
(N , sk,1
;s 2 ) (N , ;s k )ds k :::ds 2 ds 1
0
(N , ;s 2 )
P , N((0;s n+1 ]) = 0 jF N 0
Z sn,1
(N , ;s n )
0
(N
, ;sn+1 ) ds n+1 ds n :::ds 2 ds 1 :
In A2.1 wird gezeigt:
Z s0
(5.8)
0
Z
(N , s1
;s 1 )
0
=
Z
(N , sk,1
;s 2 )
R t
Aus (5.7) und (5.8) folgt die Abschatzung
0
0 (N, ;s)ds
k!
k
:
(N , ;s k )ds k :::ds 2 ds 1
nX
k=0
R t
(,1) k 0 (N, ;s)ds
k!
k
P , N((0;t])=0jF N 0
,
R t
0 (N, ;s)ds
nX
k=0
(n + 1)!
n+1
R t
(,1) k 0 (N, ;s)ds
k!
k
+
R t
n+1
0 (N, ;s)ds
(n + 1)!
;
was im Grenzubergang n !1wegen (R t
0 (N, ;s) ds) n+1
(n+1)!
! 0zuGleichung (5.4) fuhrt.
Satz 5.5 kann im Fall der K-variaten Punkt-Prozesse auf den Proze ubertragen werden,
der die gesamten Punkte aller univariaten Punkt-Prozesse umfat.

22 5. Eigenschaften von Punkt-Prozessen
5.6. Korollar. Bezeichne N = (N 1 ;:::;N K ) einen K-variaten Punkt-Proze mit F N t
-vorhersagbarer
F N t
-Intensitat ((t)) =(( t2R 1(t);:::; K (t))) t2R
. Die Komponenten besitzen eine Darstellung
i (t) = i (N 1 ;:::;N K ;t). Auerdem besitzen die einzelnen Prozesse N 1 ;:::;N K f.s.
keine gemeinsamen Punkte. Dann gilt:
(5.9)
P , N ((0;t]f1;:::;Kg)=0jF N 0
= exp ,
K X
i=1
Z t
0
!
,
i N
,
1 ;:::;N,;s K
ds
fur alle t 2 [0; 1] auf
n PK R t
, i=1 0 i N
,
1 ;:::;N,;s o K
ds < 1 .
da aus
Begrundung: Der Beweis von 5.5 lat sich vollstandig ubernehmen, wenn man beachtet,
1fN((0;t]f1;:::;Kg)=0g =1,
Z
(0;t]
1fN((0;s)f1;:::;Kg)=0g N (ds f1;:::;Kg)
fur beliebige Mengen A 2F N 0
bereits
P(fN ((0;t]f1;:::;Kg)=0g\A)
=P(A),
=P(A),
KX
KX
i=1
i=1
E
E
Z
Z
(0;t]
(0;t]
1 A 1fN((0;s)f1;:::;Kg)=0g N (ds fig)
,
1 A 1fN((0;s]f1;:::;Kg)=0g i N
,
1 ;:::;N,;s
K
ds
,
folgt. Deniere N , 1 ;:::;N,;s P def
,
K
K
= i=1 i N
,
1 ;:::;N,;s K
. Dann gilt
P , fN ((0;t]f1;:::;Kg)=0gjF N 0
=1,
Z
(0;t]
P , fN ((0;s]f1;:::;Kg)=0gjF N 0
,
N
,
1 ;:::;N, K ;s ds;
was als Basis fur die Ubernahme des weiteren Beweises dienen moge.
Abschlieend geben wir noch einen Test fur das Vorliegen von Stationaritat an.
5.7. Lemma. Sei P ein Wahrscheinlichkeitsma und ( t ) t2R
P t = P sowie N ein t -kompatibeler Punkt-Proze. Dann ist N stationar.
ein mebarer Flu auf (; F) mit
Beweis: Sei k 2 N, n 1 ;:::;n k 2 N 0 und A 1 ;:::;A k 2 B beschrankt. Somit folgt
(5.10)
P(N(A i + t) =n i ;i=1;:::;k)
=P(S t N(A i )=n i ;i=1;:::;k)
=P(N( t ;A i )=n i ;i=1;:::;k)
=P(f ,t !2; N(!; A i )=n i ;i=1;:::;kg)
=P(N(A i )=n i ;i=1;:::;k):

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 23
Nach [DVJ88] Kapitel 6.2 Proposition 6.2.III. folgt hieraus die Stationaritat von N.
Die mittlere Intensitat eines stationaren Punkt-Prozesses N ist die erwartete Zahl der
Punkte von N im Intervall (0; 1]: = EN((0; 1]).
5.8. Lemma. Sei N ein stationarer Punkt-Proze mit endlicher mittlerer Intensitat 2 R. Fur
beliebige C 2 B gilt
(5.11)
EN(C)= n (C)
und fur beliebige nichtnegative mebare Funktionen f besteht die Gleichheit
(5.12)
E
Z
f(u) N(du)
=
Z
f(u) n (du) :
Beweis: Da N stationar ist, gilt fur alle t 2 R und C 2 B, da EN(C) = EN(C + t).
Gleichung (5.11) folgt aus [Als98] Satz 7.5, denn EN() ist ein Ma auf (R; B). Nun konnen wir
(5.11) umschreiben zu
Z
E
Z
1 C (u) N(du) =
1 C (u) n (du) :
Durch Anwendung des Funktions-Erweiterungsarguments folgt schlielich (5.12).
6. Poisson-Prozesse
Der erste Unterabschnitt gibt die Denition eines Poisson-Prozesses sowie einige aus [DVJ88]
bekannte Eigenschaften dieser Prozesse wieder. Interessante Ergebnisse fur die Konstruktion von
Punkt-Prozessen werden im zweiten Unterabschnitt wiedergegeben.
Wir erinnern daran, da fur die Funktionen h und stets Mebarkeit unterstellt wird, siehe
Beginn von Abschnitt 3.
1) Denition und Ergodizitat. Die allgemeine Denition eines Poisson-Prozesses auf
R k lautet:
6.1. Denition (Poisson-Proze). Sei N(!;) fur alle ! 2 ein ganzzahliges Radon-Ma
auf R k und N(C) mebar fur alle C 2 B k (k 2 N). Auerdem gelte fur alle endlichen Familien
disjunkter und beschrankter Borel-Mengen A i 2 B k ,1inmit n 2 N, und (j 1 ;:::;j n )2 N n 0
(6.1)
P , N(Ai )=j i ;1in =
nY
i=1
( (A i )) j i
j i !
e ,(A i)
mit einem Ma auf R k . Dann heit N Poisson-Proze mit Intensitats- (oder auch Parameter-)
Ma auf R k und im Fall =n k Poisson-Proze mit Parameter (oder auch Intensitat) .

24 6. Poisson-Prozesse
Von Interesse werden hier nur solche Poisson-Prozesse auf R oder R 2 sein, deren Intensitatsma
ein rationales Vielfaches des Lebesgue-Masses ist. Zu einem Poisson-Proze N auf
R 2 denieren wir die zugehorige interne Filtration wie bei einem markiertem Punkt-Proze mit
Markenraum (R; B):
F N
t
def
= , N(C); C 2 B((,1;t]) B
:
6.2. Bemerkung. Gegeben sei ein Poisson-Proze mit Parameter-Ma auf R k , k 2 N.
(i) Dann besitzt N die vollstandige Unabhangigkeits-Eigenschaft, d.h. die Zufallsvariablen N (A i ),
1 i n, sind fur disjunkte und beschrankte Mengen A 1 ;:::;A n 2 B k stochastisch unabhangig.
(ii) Im Fall =n k ist die Zahl der Punkte in jedem nichtleeren, beschrankten Intervall A 2 B
f.s. endlich und nicht f.s. 0. Auerdem ist N stationar.
Bezeichne N einen Poisson-Proze auf R k mit Intensitats-Ma und (F t ) t2R
eine Filtration
F t fur alle t 2 R. Auerdem seien F s und S t N + unabhangig fur alle s

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 25
6.3. Lemma. Sei A 2 (0; 1) und N = (T n ) n2Z ein homogener Poisson-Proze mit Intensitat
2 (0; 1) auf R. Ein Punkt T n von N sei ein Punkt des Punkt-Prozesses R genau dann, wenn
T n ,T n,1 >A. Die Punkte des resultierenden Punkt-Prozesses R werden mit (R k ) k2Z bezeichnet,
wobei die ublichen Konventionen erfullt sein sollen.
Dann gilt:
(i) lim k!,1 R k = ,1 f.s.
(ii) R , (s) = ^R , (s)fur alle s 2 R, dabei ist
mit der Festlegung sup ; = ,1.
R , (s) def
= sup fR k ; k 2 Z;R k sg
^R , (s) def
= sup ft s; N([t , A; t)) = 0;N([t , A; t]) 1g
(iii) R , (s) ist F N s
-mebar, s 2 R.
Beweis: zu (i). Wahle t 2 (,1; 0]. Die Zuwachse T n ,T n,1, n 2 Z, eines Poisson-Prozesses
sind unabhangig Exp()-verteilt. Mit Borel-Cantelli folgt aus
X
P(T n , X Z 1 X
T n,1 >A)= e ,t dt = e ,A = 1
n2Z 0 n2Z 0 A
n2Z 0
T n , T n,1 >Aunendlich oft f.s. (n 2 Z 0 ) und damit naturlich R n !1f.s. fur n !1.
zu (ii). Sei ! 2 und s 2 R.
Da R k (!) > R k,1(!) +A fur alle k 2 Z wird das Maximum in der Denition von R , (s)
angenommen, d.h. es gibt ein k 0 (!) 2 Z mit R , (s)(!) = R k0 (!)(!) s. Nach Denition der
(R k ) k2Z gilt
N , !; R k0 (!)(!) , A; R k0 (!)(!) =0 und N , !; R k0 (!)(!) , A; R k0 (!)(!) > 0;
so da R , (s) ^R , (s).
Sei 0 0:
Fur alle t 2 t 0 (!); ^R , (s)(!)
i
i
und
ist t 0 (!) 2 [t , A; t), woraus t 0 (!) = ^R , (s)(!) folgt. Auerdem
mu t 0 (!) = T k0 (!)(!) fur ein k 0 (!) 2 Z sein, was zu T k0 (!)(!) > T k0 (!),1(!) +A fuhrt, denn
N (!; [t 0 (!) , A; t 0 (!))) = 0. Daher gilt R , (s) ^R , (s), also ist (ii) gezeigt.
zu (iii). Die F N s
-Mebarkeit von R , (s) ist naturlich eine Folge der Gleichheit R , (s) =
^R , (s), und damit eine Folgerung aus der Darstellung von R , (s) mittels N( \[,1;s]): Sei
s 2 R. Fur alle x 2 R gilt nach Anhang A1.4
R
, (s) >x =
[
t2Q[fsg
x

26 6. Poisson-Prozesse
Die Mebarkeit der Menge fR , (s) >xgfolgt mit obiger Darstellung sofort, denn fur t 2 Q[fsg,
t s, ist
fur alle n 2 N.
N t , 1 n , A; t , 1 =0
n
t , 1 n ;t
N
>0
2F N t
2F N t, 1 n
F N s
F N s
Weitere Eigenschaften von R nennen wir im nachstehenden Lemma.
6.4. Lemma. Sei N in der Situation von 6.3 t -kompatibel. Dann ist der Punkt-Proze R ebenfalls
t -kompatibel und besitzt die (durchschnittliche) Intensitat e ,A 2 (0; 1).
Beweis: Sei C 2 B, t 2 R und ! 2 .
N( t !; C) =S t
N(!; C) = N(!; (t + C))
= X n2Z
1 t+C (T n (!)) = X n2Z
1 C (T n (!) , t)
was S t
N =(Tn ,t) n2Z zeigt. Dies fuhrt zu
S t R(!; C) =R(!; t + C) = X n2Z1 t+C (T n (!)) 1fT n,t,(T n,1,t)>Ag (!) =R( t !; C):
Fur die zweite Behauptung reicht es,
ER((a; b])=(b,a)e ,A
fur alle beschrankten Intervalle (a; b] R nachzuweisen. Wir nehmen dazu eine Fallunterscheidung
vor. Bei den folgenden Umformungen verwenden wir, da
T 1 , ,T 0 und T n , T n,1 (n 2 Z, n 6= 1) eine Exp()-Verteilung besitzen,
T n,1 und T n , T n,1 fur n 2 stochastisch unabhangig sind,
T n und T n , T n,1 fur n 0 stochastisch unabhangig sind,
EN((a; b])=(b,a) gilt.
Ferner ist die Anordnung der Punkte (T n ) n2Z von N gema (1.2) zu beachten.
1. Fall: Sei (a; b] (,1; 0]. Dann gilt
X
ER((a; b]) = E 1 (a;b] (R k ) = E
k2Z
!
X
n2Z
= X n0
P(a A)=E N((a; b])
1 (a;b] (T n ) 1fT n,T n,1>Ag
Z 1
e ,x dx =(b,a)e ,A :
A
!

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 27
2. Fall: Sei nun (a; b] (0;A]. Es folgt (beachte T n >Aauf fT n , T n,1 >Agfur alle n 2)
ER((a; b]) = E X n2Z
1 (a;b] (T n ) 1fT n,T n,1>Ag
!
= X n1
P(a A)=P(aA)
=
=
Z b
a
Z b
P(,T 0 >A,x)P T 1
(dx) =
e ,A e x e ,x dx =
Z b
a
a
Z b
Z 1
a A,x
e ,y dy e ,x dx
e ,A dx =(b,a)e ,A :
3. Fall: Ist (a; b] (A; 1) (0; 1), so erhalten wir (beachte a>A,T 1 ,T 0 >Aauf der Menge
fT 1 >ag)
ER((a; b]) = E X n2Z
1 (a;b] (T n ) 1fT n,T n,1>Ag
!
= P(a A)+ X n2P(aA)
=P(a

28 6. Poisson-Prozesse
Wie ubernehmen den Begri Semi-Ring aus [DVJ88] (Anhang A1.1, Seite 593): das System
S von Mengen ist ein Semi-Ring, falls S durchschnittsstabil und jede symmetrische Dierenz von
Mengen aus S durch eine endliche Vereinigung disjunkter Mengen aus S darstellbar ist.
Beweis (von Satz 6.5): Bezeichne S den Semi-Ring der beschrankten Borelschen Teilmengen
von R. Ferner wird durch
T def
= ff 2 M; (A i ) 2 B i ; 1 i kg ; A i 2S;B i 2 B;k2 Ng
ebenfalls ein Semi-Ring gegeben: oensichtlich folgt aus V; ^V 2 T auch V \ ^V 2 T . Falls V =
f 2 M; (A i ) 2 B i ; 1 i kg sowie ^V = 2 M; ( ^A i ) 2 ^B i ; 1 i ^k
symmetrische Dierenz dieser Mengen die Darstellung
V 4 ^V =
=
V n ^V
^kX
j=1
+
[
^V n V
V \ n 2 M; ( ^A j ) 2 ^B C j ;(^A i )2 ^B i fur 1 i

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 29
6.7. Lemma. Es sei N ein markierter Punkt-Proze der reellen Achse mit Markenraum (E;E)
und F N
t
-Intensitatskern n(dt) Q(dz), vergleiche [BB94] Kapitel 1 unterhalb von Beispiel 8.2.2.
Zusatzlich sei (F t ) t2R eine Filtration unabhangig von N (d.h. F N
1 und F 1 sind stochastisch
unabhangig). Dann ist n(dt) Q(dz) ebenfalls ein , F N
t
; F t
-Intensitatskern von N.
Zum Nachweis reicht es, nachzurechnen, da der Punkt-Proze N(L)fur eine fest vorgegebene
Menge L 2 E die (konstante) Intensitat Q(L) besitzt. Dies lat sich wie im Beweis
von 5.4 durchfuhren.
Wir geben nun zunachst einige Aussagen an, die auch im Abschnitt 5( "
Eigenschaften von
Punkt-Prozessen\) aufgefuhrt werden konnten. Diese sichern die Mebarkeit der nachfolgend
konstruierten Intensitaten oder Punkt-Prozesse.
Wie ublich bildet h + (bzw. h , ) den Positiv-(bzw. Negativ-) Teil der Funktion h.
6.8. Lemma. Bezeichne N einen Punkt-Proze und (F t ) t2R eine Filtration von N. Sei h :
[0; 1) ! R eine B + -mebare Funktion. Ist h nichtnegativ oder erfullt f.s. fur alle t 2 R jeweils
eine der folgenden Bedingungen:
(6.5)
Z
(,1;t)
h + (t , s) N(ds) < 1
Z
oder h , (t , s) N(ds) < 1;
(,1;t)
so ist die Abbildung
(6.6)
(!; t) 7!
Z
(,1;t)
h(t , s) N(!; ds)
F t -vorhersagbar, also P (F t )-mebar.
Beweis: Sei zunachst h(t) =1 (a;b] (t), a; b 2 [0; 1). Fur solches h gilt
Z
h(t , s) N(ds) = 1 (a;b] (t , s) N(ds)
(,1;t)
(,1;t)
Z
= N([t , b; t , a) \ (,1;t)) = N([t , b; t , a)):
Da (F t ) t2R eine Filtration von N ist, erkennt man aus der Darstellung von f(!; t) 2
R; N(!; [t,b; t,a)) = ng in A1.2 die P(F t )-Mebarkeit fur Funktionen der Form h(t) =1 (a;b] (t).
Mittels eines Standard Dynkin-System-Arguments zeigt man die Vorhersagbarkeit von (6.6)
fur alle Funktionen h = 1 C mit C 2 B + :imFall h(t) =1 [0;1) (t) zeigt analoges Vorgehen wie bei
h(t) =1 (a;b] (t) die Vorhersagbarkeit von N((,1;t)), die Prufung der weiteren Voraussetzungen
stellt reines Nachrechnen dar.
Das Funktions-Erweiterungsargument liefert gemeinsam mit dem Satz von der monotonen
Konvergenz schlielich die Behauptung.
6.9. Lemma. Gegeben seien ein Poisson-Proze N auf R 2 (oder ein beliebiger markierter Punkt-
Proze N auf R mit Marken in E 2 B), eine Filtration (F t ) t2R von N und ein F t -vorhersagbarer

30 6. Poisson-Prozesse
Proze ((t)) t2R (der im markiertem Fall [0;(!; t)] E fur alle (!; t) 2 R erfullt). Deniert
man fur C 2 B
(6.7)
N(C) =
Z
CR
Dann ist N ein F t -adaptierter Punkt-Proze.
1 [0;(s)] (z) N(ds dz):
Beweis: Gema A1.3 ist die Abbildung (!; s; z) 7! 1 [0;(!;s)] (z) P (F t ) B , B-mebar,
und nach [Als98] Satz 19.2 gilt
P (F t ) B = (A (a; b] (; ]; A 2F a ;a;b;; 2 R);
wobei der angegebene Erzeuger \-stabil ist.
Setze f(!; s; z) =1 A (!)1 (a;b] (s) 1 (;] (z), A 2F a ;a; b; ; 2 R. Fur jedes feste C 2 B((,1;t])
(t 2 R) folgt
N f (C) def
=
=
=
Z
Z
(
CR
CR
f(;s;z) N(ds dz)
1 A 1 (a;b] (s) 1 (;] (z) N(ds dz)
1 A
N (((a; b] \ C) (; ]) fur (a; b] \ C 6= ;
0 fur (a; b] \ C = ; :
Dies liefert die F t -Mebarkeit von N f (C), denn a

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 31
Deniert man fur C 2 B
(6.9)
X N(C) def
= 1 C (T n ) 1 (Tn) [0; ] (U n)=
n2Z
Z
C
N
dt
0; (t)
:
Dann besitzt der Punkt-Proze N ((t)) t2R als eine F t -Intensitat.
Beweis: Unter Ausnutzung von (6.3) folgt aufgrund der F t -Vorhersagbarkeit von ((t)) t2R
E(N((a; b]) jF a )=E
= E
Z
(a;b][0;1]
Z
1 [ 0; (t)
(a;b][0;1]
1 [ 0; (t)
] (z) n2 (dt dz)
] (z) N(dt dz)
F a
= E
F a
Z
(a;b]
(t) n (dt)
fur alle Teilmengen (a; b] R, denn (!; s; z) 7! 1 (!;t) [0; ] (z) ist P (F t) B([0; 1])-mebar,
vergleiche A1.3.
liegt.
Zu jedem Punkt lautet die Auswahlregel also: Teste, ob die Marke U n im Intervall
F a
h
0; (Tn)
Ist N ein markierter Punkt-Proze oder ein Poisson-Proze auf R 2 und ((t)) t2R eine
Intensitat, so werden wir die in 6.11 bereits benutzte Schreibweise
verwenden.
Z
C
N (dt [0;(t)]) def
=
Z Z
1 C (t) 1 [0;(t)] (z) N(dt dz); C 2 B;
Die zweite (allgemeinere) Konstruktions-Moglichkeit nutzt einen Poisson-Proze auf R 2 .
Diese Moglichkeit ndet Verwendung, falls der betrachtete vorhersagbare Proze nicht beschrankt
ist:
6.12. Satz. Sei N ein Ft -Poisson-Proze mit Intensitat 1 auf R 2 , d.h. F N
t
F t und F s , S t
N
+
sind unabhangig fur alle s

32 6. Poisson-Prozesse
6.13. Korollar. Sei N ein Poisson-Proze auf R 2 mit Intensitat 1 (bzw. ein markierter Punkt-
Proze auf R mit Marken in [0; 1]), (G t ) t2R eine Filtration unabhangig von N und F t
def
=
,
N
F t
; G t . Desweiteren seien N 0 ein Ft -adapierter Punkt-Proze und : R ! R 0 , h :[0;1)!
Rmebare Funktionen. Ist der Proze
Z
(6.11)
(t) =
(,1;t)
h(t , s) N 0 (ds) ; t 2 R;
f.s. lokal integrabel, so ist der durch (6.10) (bzw. (6.9)) denierte Punkt-Proze N F t -adaptiert
und ((t)) t2R stellt eine F t -Intensitat von N dar.
Beweis: Der Proze
(t) =
Z
(,1;t)
h(t , s) N 0 (ds)
(t 2 R)
ist nach 6.8 F t -vorhersagbar, denn ist mebar.
Satz 6.12 (bzw. 6.11) besagt nun, da ((t)) t2R eine F t -Intensitat von N ist und aus 6.9
folgt, da (6.10) (bzw. (6.9)) F t -adaptiert ist.
Wir geben nun ein Ergebnis wieder, welches eine Art Umkehrung von Satz 6.12 darstellt
und auf [Jac79] Kapitel 14, Abschnitt 4 xb zuruckzufuhren ist.
6.14. Satz (Poisson-Inversion). Bezeichne N = (T n ) n2Z einen einfachen, nichtexplodierenden
Punkt-Proze auf R mit F t -vorhersagbarer F t -Intensitat ((t)) t2R, adaptiert bezuglich einer
Filtration (F t ) t2R . Sei (U n) n2Z eine Folge unabhangiger, jeweils auf [0; 1] gleichverteilter Zufallsvariablen
unabhangig von F 1 . Sei ^N ein homogener Poisson-Proze auf R 2 mit Intensitat 1,
,
unabhangig von F 1 ; F1 U . Deniere auf R 2 den Punkt-Proze N durch
Z Z
(6.12)
N((a; b] L) = X n2Z1 (a;b] (T n ) 1 L ((T n )U n )+
(a;b]
Ln(0;(t)]
^N(dt dz):
Dann ist N ein homogener Poisson-Proze auf R 2 mit Intensitat 1, und S t
N + und , F s ; F N
sind unabhangig fur alle s

i. Hawkes-Prozesse und Intensitaten von Hawkes-Prozessen 33
6.15. Satz. Es sei N ein Poisson-Proze auf R 2 mit Intensitat 1 oder ein markierter Poisson-
Proze der Intensitat mit Marken in [0; 1]. Auerdem seien ( i (t)) t2R, i = 1; 2, zwei F t -
vorhersagbare Prozesse und (F t ) t2R eine Filtration von N, so da F s und S t
N + unabhangig fur
alle s

Kapitel II.
Existenz und Stabilitat univariater
nichtlinearer Hawkes-Prozesse
Beginnen wollen wir dieses Kapitel mit einem Abschnitt, welcher uns des ofteren bei der Konstruktion
von Punkt-Prozessen von Nutzen sein wird.
In den anschlieenden Abschnitten weisen wir die Existenz und Stabilitat von Hawkes-
Prozessen bei vorgegebenen Funktionen und h sowie geeigneten Anfangsbedingungen nach.
Dabei macht Abschnitt 8 bereits eine Ausnahme: Es werden nur Funktionen h mit kompaktem
Trager zugelassen. Die daraus resultierende Art von Intensitaten konnen wir in die allgemeinere
Menge der Intensitaten mit beschranktem Speicher (Denition: siehe 8.1) einbetten und Existenz
und Stabilitat fur diese Menge zeigen, so da die Hawkes-Prozesse hier nur einen Spezialfall
darstellen.
Stellen wir Beschranktheitsanforderungen an die L 1
,
[0; 1); B + ;n j[0;1) -Norm von h, so
konnen wir bei monotonen Anregungsfunktionen mit beschranktem Wachstum die Existenz eines
Hawkes-Prozesses nachweisen (Abschnitt 9). Fordern wir -Lipschitz-Stetigkeit von und
xieren die L 1
,
[0; 1); B + ;n j[0;1) -Norm von h unterhalb von 1, so lat sich erneut die Existenz
zeigen, und wir konnen geeignete Anfangsbedingungen fur Stabilitat angeben, siehe dazu
Abschnitt 10. In Abschnitt 11 gelte neben der -Lipschitz-Stetigkeit der Ubertragungsfunktion
jh(t)j dt noch
R noch die Beschranktheit von , wir benotigen dann neben der Endlichkeit von
[0;1)
weitere Beschranktheitsanforderungen an h, um neben der Existenz auch Stabilitat bei geeigneter
Anfangsbedingung zu zeigen.
Da die eigentlichen Beweise zum Teil groen Umfang besitzen, werden sie in Unterabschnitten
durchgefuhrt, um diese durch Lemmata in kleinere Schritte zu zerlegen.
7. Zur Konstruktion von Punkt-Prozessen
Bei der Konstruktion von Punkt-Prozessen bietet es sich an, als Grundraum (; F) den kanonischen
Raum der Punkt-Prozesse auf R mit Marken in [0; 1] oder den kanonischen Raum der
34

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 35
Punkt-Prozesse auf R 2 zu betrachten.
Die im folgenden verwendeten Bezeichnungen fur Raume von Radon-Maen hatten wir bereits
am Anfang von Abschnitt 4 eingefuhrt.
Der kanonische Raum der Punkt-Prozesse auf R mit Marken in [0; 1]. Wir wahlen als
Markenraum (E;E) = ([0; 1]; B([0; 1])). Durch
(7.1)
(C L) def
= X n2Z
1 C (t n ) 1 L (u n ) ;
C 2 B, L 2 B([0; 1]), wird zu einer Folge
(t n ;u n ) n2Z 2 (t n ;u n ) n2Z;t n 2 R;u n 2[0; 1];t n t n+1 ;n2 Z;
ein Ma auf (R [0; 1]; B B([0; 1])) deniert.
Oensichtlich gilt fur den Raum
Die Abbildungen
,1 t ,2 t ,1 t 0 0

36 7. Zur Konstruktion von Punkt-Prozessen
N =(T n ;U n ) , so da (U n2Z n) n2Z
eine Folge unabhangiger, identisch R[0; 1]-verteilter Zufallsvariablen
ist. In diesem Fall ist durch minf;g zu ersetzen, diese Funktion wird
o.B.d.A. wieder mit bezeichnet. Der Punkt-Proze N ([0; 1]) ist ein Poisson-Proze
mit Intensitat unabhangig von (U n ) n2Z .
ein Poisson-Proze N der Intensitat 1 auf R 2 .
Deniere rekursiv die stochastischen Prozesse ( (n+1) (t)) t2R und Punkt-Prozesse N (n) , n 2 N 0 ,
durch
(7.3)
N (n) (C) =
Z
(n+1) (t) =
C
N
Z
h dt 0; u i
(n) (t)
(,1;t)
h(t , s) N (n) (ds)
C 2 B, t 2 R, wobei im Fall eines markierten Prozesses u =1und bei Vorliegen eines Poisson-
Prozesses auf R 2 u =zu wahlen ist. Dann gilt fur alle n 2 N 0 :
(i) ( (n) (t)) t2R und N (n) sind t -kompatibel
(ii) N (n) ist F N
t
-adaptiert, ( (n) N
(t)) t2R ist F N
t
-vorhersagbar und eine F t
-Intensitat von N (n) .
Beweis (Satz 7.1(i)):
Zum Nachweis, der durch eine Induktion uber n gefuhrt wird,
seien r;t 2 R und ! 2 . Im Fall n =0ist die Behauptung klar. Gelte (i) fur ein n 2 N. Dies
liefert unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung beim zweiten Gleichheitszeichen
(n+1) ( r !; t) =
=
=
Z
Z
Z
(,1;t)
(,1;t)
(,1;t+r)
= (n+1) (!; t + r)
= S r (n+1) (!; t):
Hieraus erhalten wir die Behauptung auch fur N (n+1) :
N (n+1) ( r !; C) =
=
=
=
Z
Z
Z
Z
C
C
C
r+C
N
h(t , s) N (n) ( r !; ds)
h(t , s) N (n) (!; r + ds)
h(t + r , s) N (n) (!; ds)
h r !; dt 0; u i
(n+1) ( r !; t)
i
S r
N
!; dt h 0; u S r (n+1) (!; t)
N
h !; r + dt 0; u i
(n+1) (!; r + t)
h
N !; dt 0; u i
(n+1) (!; t)
= N (n+1) (!; r + C)
= S r N (n+1) (!; C):

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 37
Um den zweiten Teil beweisen zu konnen benotigen wir das
7.2. Lemma. In der Situation von 7.1 ist R (,1;t) jh(t , s)j N (n) (ds) f.s. endlich fur alle n 2 N.
Beweis: Der Fall = 0 ist klar. Sei also 2 (0; 1). Auch hier bietet sich eine Induktion
(uber n) an. Wir zeigen
E
Z
(,1;t)
nX
k=1
jh(t , s)j N (n) (ds)
Z
[0;1)
jh(s)j ds k
+ maxf;x;1g
Nach Voraussetzung erhalten wir im Fall n =0die Abschatzung
E
Z
(,1;t)
jh(t , s)j N (0) (ds)
maxf;x;1g
Z
n+1
jh(s)j ds
:
[0;1)
Z
(,1;t)
jh(t , s)j ds:
Zum Induktionsschritt: Die Induktionsvoraussetzung liefert die Endlichkeit der rechten Seite von
(n+1) (s) + R (,1;s) jh(s , u)j N (n) (du), und es folgt nach 6.8 und 6.11 (bzw. 6.12) sowie
dem Satz von Fubini
E
Z
(,1;t)
E
= E
=
jh(t , s)j N (n+1) (ds)
Z
Z
Z
+
Z
Z
+
(,1;t)
(,1;t)
(,1;t)
(,1;t)
Z
(,1;t)
jh(t , s)j 1 [0;
u
jh(t , s)j
jh(t , s)j ds
jh(t , s)j E
jh(t , s)j ds
jh(t , s)j
+ u R (,1;s) jh(s,u)jN (n) (du)] (z) N(ds dz)
Z
+ jh(s , u)j N (n) (du) ds
Z
nX
(,1;s)
(,1;s)
jh(s , u)j N (n) (du) ds
Z
k
jh(u)j du
ds
[0;1)
Z
(,1;t)
k=1
Z
+ maxf;x;1g jh(t , s)j
(,1;t)
Xn+1
Z
k
= jh(s)j ds
+ maxf;x;1g
k=1
[0;1)
[0;1)
jh(u)j du n+1
ds
Z
[0;1)
jh(s)j ds n+2
;
die Induktionsvoraussetzung wurde beim letzen Ungleichheitszeichen eingesetzt.
Wie konnen nun den Beweis des zweiten Teils von 7.1 angeben:
Beweis (von Satz 7.1(ii)): Auch diese Behauptung wird uber eine Induktion nach n

38 8. Intensitaten mit beschranktem Speicher
gezeigt. Im Fall n = 0 ist die Behauptung , trivial. Sei also nun (ii) fur ein n 2 N gultig.Aufgrund
von 6.8 (anwendbar nach 7.2) ist (n+1) (t) F N
t2R t
-vorhersagbar und 6.9 zeigt, da N (n+1)
N
ein F t
-adaptierter Punkt-Proze ist, der nach 6.11 bzw. 6.12 die F , N
t
-Intensitat (n+1) (t)
t2R
zulat.
8. Intensitaten mit beschranktem Speicher
Soll jeder Punkt eines Punkt-Prozesses nur eine endliche Zeit lang Einu auf die eigene Zukunft
besitzen, so konnen wir dies durch Intensitaten mit beschranktem Speicher erreichen. Es gilt
daher als erstes zu prazisieren, was eine Intensitat mit beschranktem Speicher ist.
8.1. Denition. Die Abbildung : (M;M) ! (R; B) heit kausal, wenn aus m m 0 auf
(,1; 0) stets (m) = (m 0 )folgt, also (m) = (m(\(,1; 0))).
Ferner besitzt einen beschrankten Speicher (oder ein beschranktes Gedachtnis) der Lange A 2
(0; 1), wenn m m 0 auf [,A; 0) bereits (m) = (m 0 )liefert.
Ein Punkt-Proze N besitzt eine Dynamik mit beschranktem Speicher der Lange A, falls N eine
F N t
-Intensitat ((t)) t2R der Form
(8.1)
(t) = (S t N)
zulat, wobei :(M;M) ! (R; B) einen beschrankten Speicher der Lange A besitzt.
Nach Denition ist klar, da jede Abbildung mit beschranktem Speicher kausal ist.
8.2. Beispiel. Sei der Trager der Ubertragungsfunktion h kompakt. Dann besitzt die Dynamik
(D1) einen beschrankten Speicher. ?
Begrundung: Die Intensitat ist von der gewunschten Form (8.1), denn
(S t N) def
=
=
Z
Z
(,1;0)
(,1;t)
h(0 , s) S t N(ds)
h(t , s) N(ds)
=
= (t):
Z
(,1;0)
h(0 , s) N(t + ds)
Nach Voraussetzung gibt es a; b 2 [0; 1), so da h 0 auf (a; b] C . Sei A def
= b. Dann gilt
(m) =
=
Z
Z
(,1;0)
h(0 , s) m(ds)
(,1;0)\[,b;,a]
=
h(0 , s) m 0 (ds)
Z
(,1;0)\[,b;,a]
= (m 0 )
h(0 , s) m(ds)
fur alle m; m 0 2 M mit m m 0 auf [,A; 0).

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 39
Dynamiken der Form (D1) mit kompaktem Trager der Ubertragungsfunktion bilden die
Grundlage fur das in Kapitel V vorgestellte Programm. Als generelle Voraussetzung gelte ab
jetzt fur diesen Abschnitt
Voraussetzung 1. Sei :(M;M) ! (R; B) eine Abbildung mit beschranktem Speicher
der Lange A 2 (0; 1), welche
erfullt.
def
= sup
2M
() < 1
Zunachst weisen wir die Existenz eines stationaren Punkt-Prozesses nach (Satz 8.5). Dieser
ist eindeutig. Fur diesen Nachweis benotigen wir jedoch die Stabilitat in Variation, die im zweiten
Unterabschnitt bewiesen wird (Satz 8.7).
1) Existenz. Es sei (; F) der kanonische Raum der markierten Punkt-Prozesse auf R
mit Marken in [0; 1]. Ferner sei P ein Wahrscheinlichkeitsma, unter dem N = (T n ;U n ) n2Z
ein markierter Poisson-Proze mit Intensitat und (U n ) n2Z
eine Folge unabhangiger, identisch
R[0; 1]-verteilter Zufallsvariablen, unabhangig von F N([0;1])
1 , ist. Fur alle A 2 M [0;1] gilt
P , N() 2 A
= P(A), also P N() = P .
Der Punkt-Proze R werde wie folgt konstruiert:
Ein Punkt T n von N ist genau dann ein Punkt von R =(R k ) k2Z , falls T n , T n,1 >A, also
R(C) = X n2Z
1 C (T n )1fT n,T n,1>Ag = X k2Z
1 C (R k ) ;
C 2 B. Aus 6.4 folgt die t -Kompatibilitat von R sowie die Endlichkeit der durchschnittlichen
Intensitat von R. Ziel wird im folgenden die Konstruktion eines t -kompatiblen Punkt-Prozesses
N der Form
(8.2)
N(C) =
Z
C
N
dt 0;
Z
(S t N)
= 1 h
0;
CR
i
(S t N) (z) N(dt dz);
C 2 B, sein. Dazu werden wir uns der Prozesse N und R bedienen. Die Problematik der Festlegung
von N durch Gleichung (8.2) entstammt dem Auftreten von N in auf der rechten Seite.
Dies macht die Wahl geeigneter Startpunkte der folgenden Konstruktion notig.
8.3. Lemma. Lat sich gema (8.2) ein Punkt-Proze N konstruieren, so besitzt dieser im
zufalligen Intervall [R k , A; R k ) keinen Punkt, und fur die Konstruktion auf [R k ; 1) ist die
Kenntnis von N auf (,1;R k ) nicht erforderlich.
Beweis: Fur alle k 2 Z gilt nach Denition von R
0 N([R k , A; R k )) =
Z
[R k ,A;R k )
Z
[R k ,A;R k )
N
dt
0;
(S t N)
N(dt [0; 1]) = N([R k , A; R k ) [0; 1]) = 0:

40 8. Intensitaten mit beschranktem Speicher
Hiermit ergibt sich fur alle t 2 [R k ; 1) aufgrund des beschrankten Speichers der Abbildung
(S t N)= , S t N(\[,A; 0)) = , N((t + ) \ [t , A; t))
denn [t , A; t) [R k , A; 1).
= , N((t + ) \ [t , A; t) \ [R k ; 1)) ;
Nach Lemma 6.3 gilt lim k!,1 R k = ,1 f.s.. Sei ! 2 , k 2 Z und k : ! Z mit
R k (!) =T k (!)(!). In dieser Situation mussen die k , k 2 Z, nicht mebar sein. Wie im Beweis
zuvor erkennt man
,STk
+n N = (N ((T k +n + ) \ [T k +n , A; T k +n)))
= (N ((T k +n + ) \ [T k +n , A; T k +n,1])) :
Fur jeden Punkt T k +n, n 2 N 0 , der R k nachfolgt, konnen wir anhand der Prozesse (; bezeichne
den leeren Punkt-Proze\, d.h. ;(C) =0fur alle C 2 B)
"
N (k;0) def
= N (;)
0; ;
(8.3)
(k;n) def
N =
Z
\fT k g
\[T k ;T k +n]
N
dr
0; 1
,
Sr N (k;n,1) ; n 2 N;
induktiv entscheiden, ob dieser zu N gehort, denn nach Konstruktion gilt fur alle n 2 N 0
N (\[T k ;T k +n]) = N (k;n) ;
wobei im Fall n = 0 diese Entscheidung fur keinen Punkt getroen sein mu. Die Punkte
R k stellen Regenerationspunkte des Prozesses N und damit Startpunkte der Konstruktion
dar. Streng genommen mu die Konstruktion auf Intervallen [R k ;R k+1 ) durchgefuhrt werden.
Da N ([R k+1 , A; R k+1 )) = 0 gilt, ist es jedoch fur die Durchfuhrung der Konstruktion auf
[R k+1 ;R k+2 ) unerheblich, ob zuvor bereits Punkte erzeugt wurden. Daher kann o.B.d.A. die
Konstruktion auf [R k ; 1) durchgefuhrt werden.
8.4. Lemma. Die in (8.3) denierten Punkt-Prozesse sind t -kompatibel, woraus die t -Kompatibilitat
von N folgt.
Beweis: Sei k 2 Z, ! 2 und C 2 B([R k (!); 1)). Fur n = 0 gilt, da N und R t -
kompatibel sind,
,
N (k;0) (!; t + C) =N !; (t + C) \
T k (!)(!)
= N
!; (t + C) \fR k ( t !)+tg
= S t
N
!; C \fR k ( t !)g
= N
t !; C \ T k ( t!)( t !)
0;
(;)
0;
0;
(;)
(;)
= N (k;0) ( t !; C):

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 41
Gelte die t -Kompatibilitat fur n 2 N 0 . Dann folgt
N (k;n+1) (!; t + C)
=
=
=
Z
Z
Z
t+C\[T k (!)(!);T k (!)+n+1(!)]
C\[R k ( t!);T k ( t !)+n+1( t!)]
C\[T k ( t !)( t!);T k ( t !)+n+1( t!)]
= N (k;n+1) ( t !; C);
N
N
!; dr 0; 1
!; t + dr
S t
N
!; dr
0; 1
,
Sr N (k;n) (!;)
0; 1
,
Sr S t N (k;n) (!;)
,
Sr N (k;n) ( t !;)
die Induktionsvoraussetzung wurde dabei beim vorletzten, die t -Kompatibilitat von N und R
beim letzten und zweiten Gleichheitszeichen genutzt.
Nach Korollar A1.8 ist N ein F N
t
-adaptierter Punkt-Proze. Die F N t
-Vorhersagbarkeit von
(!; t) 7! S t N(!;\(,1; 0)) zeigt die folgende Uberlegung: Fur beliebige Mengen A 2M 0 1 der
Gestalt A = f 2M 0 1;(C)2Bgmit C 2 B, B ein Element der Potenzmenge von N 0 , gilt nach
Lemma 6.8
f(!; t) 2 R; S t N(!;\(,1; 0)) 2 Ag
= f(!; t) 2 R; S t N(!; C \ (,1; 0)) 2 Bg
Z
= (!; t) 2 R;
N(!; ds) 2 B
(t+C)\(,1;t)
2P , F N t
:
Der Beginn von Abschnitt 4 rechtfertigt die Beschrankung auf Mengen A der obigen Form.
Es folgt die F N t
-Vorhersagbarkeit fur Prozesse ((t)) t2R der Form (t) = (S t N).
N
Da N naturlich auch F t
-adaptiert ist, gilt F N N
t
F t
und Satz 6.11 zeigt, da N die F N
t
-
Intensitat ((t)) t2R zulat. Hieraus folgt schlielich, da ((t)) t2R ebenfalls eine F N t
von N ist.
-Intensitat
Beachten wir nun noch 5.7, so erhalten wir fur kausale Abbildungen mit beschranktem
Gedachtnis die Existenzaussage:
8.5. Satz (Dynamiken mit beschranktem Speicher I). Es sei die Situation von Voraussetzung
1 gegeben. Dann gibt es ein (eindeutiges) stationares Verteilungsgesetz eines Punkt-Prozesses
N mit Dynamik mit beschranktem Speicher der Form (8.1).
Die Eindeutigkeit erhalten wir im Anschlu an den Stabilitatsbeweis.
8.6. Bemerkung. Die Existenzbeweise in diesem Abschnitt und Abschnitt 11 werden aufgrund
der Anschaulichkeit mittels eines markierten Poisson-Prozesses N 1 durchgefuhrt. Zu jedem Punkt
wahlen wir zufallig eine Marke imIntervall [0; 1] und entscheiden anhand der Vergangenheit des
Prozesses, ob der zugehorige Punkt zum konstruierten Proze gehoren soll (siehe Gleichung (8.3)).

42 8. Intensitaten mit beschranktem Speicher
Im Fall beschrankter Anregungsfunktionen lat die Analogie von 6.11 und 6.12 sowie die
problemlose Ubertragung der weiteren Ergebnisse auch eine Konstruktion unter Zuhilfenahme
eines Poisson-Prozesses N 2 der Intensitat 1 auf R 2 zu; dazu haben wir die Zuordnungen
(8.4)
(8.5)
N 2 ([0; ])=(T n ) n2Z
anstelle von N1 ([0; 1]) = (T n ) n2Z
und
Z
C
N 2 (dt [0;(t)])
anstelle von
Z
C
N 1
dt
0; (t)
etc.
zu treen.
2) Stabilitat in Variation. Ohne Voraussetzung 1zuverscharfen, erhalten wir fur eine
Dynamik der Form (8.1) Stabilitat in Variation. Diese Stabilitat resultiert aus dem beschranktem
Gedachtnis von . Wir werden wie bereits im Existenzteil Regenerationspunkte nutzen und
anhand dieser Kopplung durchfuhren.
8.7. Satz (Dynamiken mit beschranktem Speicher II). Gegeben sei die Voraussetzung 1.
Dann sind Dynamiken der Form (8.1), unabhangig von der Anfangsbedingung, stabil in Variation.
Die Konvergenz in Variation ist exponentiell schnell.
Beweis: Sei N 0 =(Tn) 0 N0
n2Z
ein Punkt-Proze , welcher die Ft
-Intensitat ( 0 (t)) auf
t2[0;1)
[0; 1) zulat, 0 (t) = (S t N 0 ). Da beschrankt durch ist, gilt E(N 0 ((a; b])) (b , a) fur
(a; b] [0; 1), somit ist N 0 nichtexplodierend auf [0; 1). Nach Anwendung von 6.14 erhalten
wir durch
N((a; b] L) = X n2N
= X n2N
1 (a;b] (T 0 n ) 1 L
,
0+ (T 0 n ) U0 n
Z
(a;b]
Z
+
Z
(a;b]
,
1 L
0+(t)z Z
fU 0 n g(dz) fT 0 n g(dt)+
Z
Ln(0; 0 + (t)]
,
0 def
+
(t) = 1 (0;1) (t) 0 (t), einen homogenen F N0
t
Dabei werden (Un) 0 und ^N 0 n2Z
gema 6.14 gewahlt. Fur C 2 B + gilt
Z
C
N (dt [0; 0 (t)])
= X n2N
= X n2N
Z
Z
C
C
Z
Z
,
1 [0; 0 (t)]
0+ (t)z Z
fU 0 n g(dz) fT 0 n g(dt)+
= X n2N
1 C (T 0 n)=N 0 (C):
1 [0; 0 (t)] ( 0 (t)z) fU 0 n g(dz) fT 0 n g(dt)
(a;b]
^N0 (dt dz)
Z
Ln(0; 0 + (t)]
^N0 (dt dz);
N
; F t -Poisson-Proze der Intensitat 1 auf R 2 .
C
Z
[0; 0 (t)]n(0; 0 + (t)]
^N0 (dt dz)
Wir konstruieren aus N wie im Existenzbeweis einen stationaren Punkt-Proze N mit F
N
t
-
Intensitat ((t)) t2R der Form (8.1), beachte 8.6.

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 43
Setze ( N([0; ]) = (T n ) n2Z )
T def
= 1fT 1 Ag T 1 + X n2(T n , T n,1)
nY
k=2
1fT k ,T k,1Ag
= 1fT 1 Ag supfT n ; n 2 N;T k ,T k,1A fur alle 2 k ng:
Falls T 1 > A ist gilt T = 0, ansonsten ist T der erste Punkt T k > 0 mit T k+1 , T k > A. Da N
und N 0 auf einem solchen Punkt T k verschieden sein konnen, ist T keine Kopplungszeit. Analog
zur Begrundung von 4.6 zeigt man eine schwachere "
Kopplungsungleichung\
(8.6)
Fur alle >0gilt
, P
sup S t N + 2
C , P S t N 0 +
2 C P(T t) :
C2M 0
P(T t) e t =
Z
e t dP
fTtg
Z
e T dP
fTtg
somit P(T t) , Ee T e ,t . Aus der Denition von T leitet man
ab, was zu
e T = e 0 1fT 1 >Ag + e T 1fT 1 Ag
= 1fT 1 >Ag + 1fT 1 Age T 1
Ee T = P(T 1 >A)
X
n2
1fT n,T n,1>Ag
+ X n2E , 1fT 1 Age T 1
E , 1fT n,T n,1>Ag
n,1
Y
k=2
Y
n,1
k=2
Z 1 X Z A
Z 1
= e ,t dt + e (,)t dt e ,t dt
A
n2
0
A
X ,
= e ,A 1+ e
(,)A
, !
n,1
1
,
n2
Z
!
e T dP = Ee T ;
e (T k,T k,1) 1fT k ,T k,1Ag
,
E e (T k,T k,1) 1fT k ,T k,1Ag
n,1Z A
Y
k=2
0
e (,)t dt
fuhrt, denn die (T n ) n2Z
bilden einen Poisson-Proze. Aus dieser Gleichheit konnen wir ablesen,
,
da der Erwartungswert Ee T genau dann endlich ist, wenn e
(,)A
, 1 < 1. Die Abbildung
7!
,
,
,
e
(,)A
, 1 0 ist stetig auf dem Intervall [0; ), und da
0,
,
e
(0,)A
, 1 =
1 , e ,A < 1 ist, lat sich z.B. ein hinreichend kleines >0nden, so da Ee T endlich ist.
Zusammen mit (8.6) zeigt dies fur ein geeignetes >0
, P
sup S t N + 2
C , P S t N 0 +
2 C , T Ee e ,t
C2M 0
und daher lim t!1 sup C2M 0
P(St
N + 2 C) , P , S t N 0 +
2 C =0.DaN stationar ist, folgt somit
lim t!1 P StN0+ = P N + in Variation, d.h. die Dynamik ist stabil in Variation, und die Konvergenzrate
ist exponentiell schnell, unabhangig von der Anfangsbedingung.

44 9. Intensitaten mit nichtfallenden Anregungsfunktionen
Die in 8.5 angesprochene Eindeutigkeit der stationaren Losung erhalten wir wie in Lemma
4.7, wir fuhren den Beweis daher nicht erneut durch.
8.8. Bemerkung (Kopplungszeiten im Beweis von 8.5). Eine Alternative zu T im Stabilitatsbeweis
ware der erste Punkt T n > 0 mit T n , T n,1 >A, also R 1 , gewesen. Diese Kopplungszeit
stellt jedoch eine nicht so scharfe Schranke fur die Konvergenz dar.
Begrundung: Da T ist ebenfalls zugelassen.
9. Intensitaten mit nichtfallenden
Anregungsfunktionen
Im nun folgenden Satz wird die Existenz stationarer Verteilungen fur einen Punkt-Proze N mit
Dynamik (D1) gezeigt, ohne die in Satz 8.5 benotigte Bedingung eines endlichen Speichers zu
fordern. Wie brauchen hier nur die Monotonie der Anregungsfunktion und eine Beschrankung
des Wachstums der Ubertragungsfunktion, konnen in diesem Zusammenhang aber keine Aussage
uber Stabilitat treen.
9.1. Satz (Wachsende Anregungsfunktionen). Gegeben sei eine nichtfallende, linksseitig
stetige und nichtnegative Funktion , die
(9.1)
(x) + x; x 2 R;
fur ein >0und 0 erfullt. Zusatzlich bezeichne h :[0;1)![0; 1) eine Funktion mit
(9.2)
h(t) dt < 1:
Z
[0;1)
Dann gibt es einen stationaren Punkt-Proze N mit Dynamik (D1).
Verscharfen wir die Anforderungen (9.1) an dahingehend, da sogar -Lipschitz-stetig
ist, so konnen wir Anfangsbedingungen angeben, in denen Stabilitat gilt, siehe Abschnitt 10 und
11.
9.2. Bemerkung. Gelte in 9.1 =0.Dann ist die Aussage auch fur quasi-integrierbare Funktionen
h richtig.

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 45
Beweis (von 9.1): Sei (; F) der kanonische Raum der Punkt-Prozesse auf R 2 ,versehen
mit einem Wahrscheinlichkeitsma P , unter dem N(!;) = ! Poisson-verteilt mit Intensitat 1
ist. Gelte P S t = P und t = S t , also ist N t -kompatibel.
Es wird nun induktiv ein Punkt-Proze mit den gewunschten Eigenschaften konstruiert. Sei
(0) (t) 0 fur alle t 2 R. Deniere nun rekursiv die Prozesse ( (n+1) (t)) t2R und N (n) , n 2 N 0 ,
durch
(9.3)
C 2 B, t 2 R.
Behauptung 1.
monoton wachsend in n.
N (n) (C) def
=
(n+1) (t) def
=
Z , N ds 0; (n) (s) ;
CZ
(,1;t)
h(t , s) N (n) (ds)
Fur alle t 2 R und nichtleeren Mengen C 2 B sind (n) (t) und N (n) (C)
Fur die leere Menge C = ; ist die Aussage von Behauptung 1 klar.
Begrundung (von Behauptung 1): Mittels einer Induktion nach n zeigen wir fur alle
n 2 N
(n) (t) (n,1) (t) und N (n) (C) N (n,1) (C):
Im Fall n =1ist nichts zu zeigen. Gelten also diese Ungleichungen fur ein n 2. Nach Voraussetzung
ist h 0 und nichtfallend, so da fur t 2 R
(n+1) (t) =
Z
Z
(,1;t)
(,1;t)
h(t , s) N (n) (ds)
h(t , s) N (n,1) (ds)
;
= (n) (t);
und damit fur C 2 B
N (n+1) (C) =
folgt.
Z
, N dt Z
0; (n+1) (t)
C
C
Behauptung 1 zeigt, da die Prozesse
N , dt 0; (n) (t) = N (n) (C)
(!; t) def
= lim
n!1 (n) (!; t) und N(!; C) def
= lim
n!1 N (n) (!; C)
fur alle ! 2 , t 2 R und C 2 B deniert sind. Die Grenzprozesse sind nach 7.1(i) t -kompatibel
N
(und konnen den Wert 1 annehmen). Auerdem ist ((t)) t2R als Grenzwert F t
-vorhersagbarer
N
Prozesse wieder F t
-vorhersagbar (siehe 7.1(ii) und [Bau92] 9.7 Korollar 2).
Behauptung 2. Der Proze ((t)) t2R ist P n-f.u. endlich.
Begrundung: Wegen E
R Ț
T (t) dt
= R T
,T E(( t ; 0)) dt = 2TE((0)) reicht es, die

46 9. Intensitaten mit nichtfallenden Anregungsfunktionen
Endlichkeit von E(0) nachzurechnen. Aus Voraussetzung (9.1) ergibt sich gemeinsam mit 7.1(ii)
und dem Satz von Fubini
E (n+1) (0) = E
= + E
= +
Z
Z
(,1;0)
Z
(0;1)
(,1;0)
h(,s) N (n) (ds)
h(,s) (n) (s) ds
h(s) ds E , (n) (0)
Z
+ E
Z
= +
(,1;0)
(,1;0)
fur n 2 N. Wir konnen hieraus induktiv E , (n+1) (0) P n
k=0
h(,s) N (n) (ds)
h(,s)E , (n) (s) ds
R [0;1) jh(s)j ds k
folgern,
mussen dabei (0) (t) 0 beachten, und nach Voraussetzung (9.2) gilt im Grenzubergang n !1
E(0)
1 , R [0;1)
nach dem Satz von der monotonen Konvergenz.
h(s) ds
< 1
Behauptung 3. ((t)) t2R ist eine F N
t
-Intensitat von N.
Begrundung: Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz gilt
N(C) =
Z
C
lim
n!1 1 [0; (n) (t)] (z) N(dt dz)
und auerdem 1 [0;(t)) (z) lim n!1 1 [0; (n) (t)] (z) 1 [0;(t)] (z). Wie im Satz 6.12 zeigen wir, da
,R
der Proze 1 C [0;(t)) (z) N(dt dz) C2B die F N
t
-Intensitat ((t)) t2R zulat, woraus mit Satz
N
6.12 folgt, da N die F t
-Intensitat ((t)) t2R besitzt.
Behauptung 4. Der stochastische Proze ((t)) t2R ist von der gewunschten Form (D1).
Begrundung: Da N (n) " N und monoton wachsend ist, folgt fur alle n 2 N
0= (0) (t) (n) (t) =
und (n) (t) " (t) zeigt
Diese Ungleichungen fuhren zu
Z
(,1;t)
h(t , s) N (n,1) (ds)
Z
(,1;t)
Z
(t) (n+1) (t) = h(t , s) N (n) (ds) :
(,1;t)
(t)
Z
(,1;t)
und, aufgrund der linksseitigen Stetigkeit von , zu
(t) lim h(t n!1
, s) N
Z(,1;t)
(n) (ds)
h(t , s) N(ds)
h(t , s) N(ds)
Z
= h(t , s) N(ds) :
(,1;t)

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 47
Dies zeigt, da N die gewunschte Dynamik besitzt.
Aus 7.1(i) folgt die t -Kompatibilitat von N als Grenzwert t -kompatibler Prozesse. Somit
ist N nach 5.7 stationar, was den Beweis abschliet.
10. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen {
unbeschrankte Dynamiken
Wir verscharfen die Bedingungen aus Satz 9.1 und stellen in diesem Abschnitt die folgenden
Bedingungen an die Ubertragungsfunktion h und die Anregungsfunktion :
Voraussetzung 2. Gegeben seien eine -Lipschitz-stetige Funktion : R ! [0; 1),
>0,und h :[0;1)!Reine mebare Funktion, die der Bedingung
(10.1)
genugt.
Z
[0;1)
jh(t)j dt < 1
Zunachst wenden wir uns der Existenz eines stationaren Punkt-Prozesses N mit Intensitat
gema (D1) zu, die obigen Anforderungen genugt, siehe Satz 10.5. Um in Satz 10.10 und 10.12
Stabilitat zu zeigen, werden wir weitere Forderungen ausstellen mussen.
Durch den Ubergang zu , 1
und h konnen wir o.B.d.A. =1wahlen.
1) Existenz. Wie im Beweis zu Satz 9.1 sei (; F) der kanonische Raum der Punkt-Prozesse
auf R 2 , P ein Wahrscheinlichkeitsma auf (; F) mit P S t = P derart, da N(!;) =!Poissonverteilt
mit Intensitat 1 ist. Durch die Zuordnung t = S t ist N t -kompatibel. Sei (0) (t) 0fur
alle t 2 R und fur t 2 R, C 2 B setze
N (n) (C) def
=
(n+1) (t) def
=
n 2 N 0 . Fur diese Prozesse gilt 7.1(i) und (ii).
Z , N dt 0; (n) (t) ;
CZ
(,1;t)
h(t , s) N (n) (ds)
10.1. Lemma. Fur alle t 2 R konvergiert , (n) (t) n2N fur n !1f.s. und in L 1(; F;P) gegen
ein (t).
Beweis: Die Lipschitz-Stetigkeit von zeigt mit den Satzen 7.1(ii) und 6.15
,
E (n+1) (0) , (n) (0) Z
E
Z
E
h(,s) N (n) (ds) ,
(,1;0)
(,1;0)
jh(,s)j N
(n)
, N (n,1)
(ds)
(,1;0)
Z
;
h(,s) N (n,1) (ds)

48 10. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen {unbeschrankte Dynamiken
Z
= E jh(,s)j (n) (s) ,
(n,1) (s) ds :
(,1;0)
Diese Ungleichung lat sich unter Berucksichtigung des Satzes von Fubini und der t -Kompati-
,
bilitat der Prozesse (n) (t)
t2R ,
E (n+1) (0) , (n) (0) Z
Z
Die induktive Anwendung fuhrt zu
X
(10.2)
(siehe 7.1(i)) aufgrund der Wahl von P fortfuhren:
=
(,1;0)
[0;1)
Z
jh(,s)j E , (n) (0) , (n,1) (0) ds
jh(s)j ds E , (n) (0) , (n,1) (0) :
,
E (n+1) (0) , (n) (0) X
n0 X n0
[0;1)
Z
n Z
= jh(s)j ds
E
n0
[0;1)
Z
= (0) X n0
[0;1)
n
jh(s)j , ds E (1) (0) , (0) (0)
jh(s)j ds n
< 1;
(,1;0)
h(,s)N (0) (ds)
, 0
unter Beachtung von Voraussetzung (10.1). Bezuglich der (Halb-)Norm kk 1
Raum L 1 (; F;P) gilt somit
= E jj auf dem
(10.3)
denn (k) (0) , (m) (0) 1 P nk
k!1
,,,! 0 (o.B.d.A. m k). Die Markov-Ungleichung
sichert
(n) (0) ,,,! n!1 (0);
(n+1) (0) , (n) (0)
1
P (n+1) (0) , (n) (0) >
Z 1
1
,R 1
0
jh(s)j ds n 2
1
,R 1
Z
= (0)
0
jh(s)j ds n 2
[0;1)
0
jh(s)j ds
n
2
!
,
E (n+1) (0) , (n) (0)
Z n , E (1) (0) , (0) (0)
jh(s)j ds
[0;1)
n
2
:
jh(s)j ds
Dies zeigt die Endlichkeit von P n0 P (n+1)
(0) , (n) (0) >
,R 1
0
jh(s)j ds n 2
, woraus gema
[Nev65] Prop. II.4.2 (Seite 45) die fast sichere Gultigkeit von (10.3) folgt.
Durch die Festlegung (t) def
= ( t ; 0) erhalten wir aus der t -Kompatibilitat der betrachteten
Prozesse die Behauptung: es gilt
(t) def
= ( t ; 0) = lim n!1 (n) ( t ; 0) = lim n!1 (n) (t)

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 49
bezuglich kk 1
und
P
lim
n!1 (n) (t) =(t)
=P
lim
n!1 (n) ( t ; 0) = ( t ; 0)
= P
lim
n!1 (n) (0) = (0)
=1:
Die Abbildung ! 7! (!; 0) ist F-mebar und ( t ) t2R
ein mebarer Flu auf (; F), d.h.
(!; t) 7! t ! ist FB,F-mebar. Daher ist (!; t) 7! ( t !; 0) = (!; t) FB,B-mebar.
Da lim n!1 (n) N
(t) =(t)f.s. gilt, ist (t) F t
-mebar (siehe 2.5), und nach [DVJ88] (Seite 649
N
unten) konnen wir ((t)) t2R als F N
t
-progressiv und schlielich als F t
-vorhersagbar annehmen
(vergleiche 2.7).
N(ds [0;(s)]) C2B wird ein t-kompatibler Proze (denn fur die auftretenden
,R Durch
C
N
Prozesse gilt dies, Nachweis analog zum Beweis von 7.1(i)) mit F t
-Intensitat ((t)) t2R gegeben
(siehe 6.12). Dieser ist nach 5.7 stationar und wird im folgenden mit N bezeichnet.
10.2. Lemma. Auf allen beschrankten Borel-Mengen C wird N (n) fur wachsendes n f.s. konstant
(d.h. die Lage der Punkte bleibt f.s. gleich) und lim n!1 N (n) (C) stimmt f.s. mit N(C) uberein.
Beweis: Sei C 2 B beschrankt. Da N
(n)
, N (n,1) (C) 2 N0 ist, zeigt sich unter Beruck-
,
sichtigung von Satz 6.15, dem Satz von Fubini und der t -Kompatibilitat von (n) (t)
t2R
X Z
N
(n+1)
, N (n) Z
(ds) 6= 0 N
(n+1)
, N (n)
(ds)
n0
P
C
= X n0
E
Z
C
X n0E
(n+1) (s) ,
(n) (s) ds
C
= X n0
= n (C) X n0
E , (n+1) (0) , (n) (0) < 1;
Z
C
E , (n+1) (0) , (n) (0) ds
vergleiche (10.2), so da sich aus dem Borel-Cantelli-Lemma
P
lim sup
n!1
Z
C
N
(n+1)
, N (n) (ds) 6= 0
=0
ergibt. Dies bedeutet, da N (n) und N (n+1) auf C fur wachsendes n schlielich f.s. stets dieselben
Punkte besitzen.
Die zweifache Anwendung des Lemmas von Fatou zeigt
E
Z
C
lim
n!1 N (n) (ds) , N(ds)
lim
n!1 E
Z
= E
C
Z
lim
n!1 N (n) (ds) , N(ds [0;(s)])
C
,
N ds 0; (n) (s) , N(ds [0;(s)])
Aus 6.15 folgt gemeinsam mit der t -Kompatibilitat der beteiligten Prozesse sowie der t -Invarianz
des zugrundliegenden Wahrscheinlichkeitsmaes
E
Z
C
lim N (n) (ds) n!1
, N(ds)
lim n!1 E
Z
C
(n) (s) ,
(s) ds
= lim n!1 n (C) E , (n) (0) , (0) =0;

50 10. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen {unbeschrankte Dynamiken
siehe 10.1.
10.3. Lemma. Der Proze ((t)) t2R ist von der Form (D1).
Beweis: Aufgrund der t -Kompatibilitat reicht es, an der Stelle "
0\ die Form (D1) nachzurechnen:
Z
E
(0) , h(,s) N(ds)
(,1;0)
, E (0) , (n+1) (0)
Z
+ E
(,1;0)
, E (0) , (n+1) (0) Z
+ E
,
= E (0) , (n+1) (0) Z
+ E
,
= E (0) , (n+1) (0) Z
+
n!1
,,,! 0;
h(,s) N (n) (ds)
(,1;0)
(,1;0)
(,1;0)
Z
, h(,s) N(ds)
(,1;0)
jh(,s)j N
(n)
,
N (ds)
jh(,s)j (n) (s) , (s) ds
jh(,s)j ds E , (n) (0) , (0)
denn ist Lipschitz-stetig, , (n) (t) t2R und ((t)) t2R sind t-kompatibel, und es gilt 6.15. Die
Konvergenz folgt aus 10.1 und Voraussetzung (10.1).
10.4. Lemma. Durch N wird ein Punkt-Proze mit endlicher mittlerer Intensitat gegeben,
def
= E(N((0; 1])).
Beweis: Die Nutzung der Lipschitz-Stetigkeit und die Verwendung einer analogen Abschatzung
wie im Nachweis von 7.2 beim letzten Ungleichheitszeichen lassen uns zu
Z 1
(s) ds = E((0)) , E (0) , (n+1) (0) ,
+ E (n+1) (0)
0
, E (0) , (n+1) (0) Z
+ (0) + E jh(t , s)j N (n) (ds)
(,1;t)
, E (0) , (n+1) (0) nX Z
k Z
+ (0) + (0) jh(s)j ds
+ (0)
EN((0; 1]) = E
k=1
gelangen. Im Grenzubergang n !1zeigt dies
[0;1)
[0;1)
n+1
jh(s)j ds
(10.4)
EN((0; 1])
(0)
1 , R < 1
jh(s)j ds
[0;1)
aufgrund von Voraussetzung (10.1).
Insgesamt haben wir damit den folgenden Satz gezeigt:

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 51
10.5. Satz (Unbeschrankte Lipschitz-Dynamik I). Gegeben sei Voraussetzung 2. Dann gibt
es einen eindeutigen stationaren Punkt-Proze N mit Intensitat ((t)) t2R gema (D1) und endlicher
mittlerer Intensitat = E(N((0; 1])).
Die bisher noch nicht gezeigte Eindeutigkeit wird in Lemma 10.11 nachgeliefert. Nachdem
wir die Existenz eines stationaren Punkt-Prozesses zeigen konnten, wenden wir uns nun der Frage
zu, unter welchen Anfangsbedingungen Stabilitat in Verteilung bzw. Variation nachweisbar ist.
2) Stabilitat in Verteilung. Zunachst schranken wir die Klasse der betrachteten Punkt-
Prozesse ein. Mit N 0 wird die Menge aller Punkt-Prozesse N bezeichnet, fur die die Abbildung
Z
(10.5)
= E
t 7! E , (t)jF N 0
(,1;t)
h(t , s) N(ds)
F N 0
f.s. lokal integrierbar auf [0; 1) ist (siehe dazu auch Unterabschnitt 4)).
Geeignete Anfangsbedingungen fur die Stabilitat in Variation werden in Voraussetzung 3
gegeben:
Proze N
(10.6)
Voraussetzung 3.
Gegeben sei die Voraussetzung 2. Ferner deniere fur einen Punkt-
" a (t) def
=
Z t_0
(t,a)_0
Z
(,1;0]
jh(s , u)j N(du) ds;
a 2 [0; 1), t 2 R. Durch
(AB i) sup t0 " a(t) < 1 f.s. und lim t!1 " a (t) =0f.s. fur alle a>0
(AB ii) sup t0 E" a (t) < 1 und lim t!1 E" a (t)=0fur alle a>0
werden zwei Anfangsbedingungen (AB i) und (AB ii) fur diesen Punkt-Proze gegeben.
Genugt ein Punkt-Proze N mit F N t
-Intensitat ((t)) t2R der Form (D1) Anfangsbedingung
(AB i), so konnen wir die mittlere Zahl der Punkte von N im Intervall (t,a; t] [0; 1), falls wir
unter der Vergangenheit bis zum Zeitpunkt t , a bedingen, wie folgt aufgrund der -Lipschitz-
Stetigkeit abschatzen:
, Z t
E N((t , a; t]) jFt,a N =E
Z
a(0) +
Z t
t,a
(,1;0]
t,a
(s)ds
F N t,a
jh(s , u)j N(du) ds + E
Z t
t,a
Z
(0;s)
jh(s , u)j N(du) ds F N t,a
Beachten wir, da (0) die "
Grundanregung\ des Punkt-Prozesses ohne einen einzigen Punkt
ist, so konnen wir diese Darstellung zum Anla nehmen, um Anfangsbedingung (AB i) wie folgt
zu interpretieren:
Da lim t!1 " a (t) = 0 f.s. gilt, nimmt der Einu der Punkte von N , fur die Bestimmung von N in
:

52 10. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen {unbeschrankte Dynamiken
(t , a; t] bei wachsendem t ab. Gewichtet mit der Ubertragungsfunktion strebt die Ruckmeldung
der Punkte der negativen Achse (von N) gegen 0, Anfangsbedingung (AB ii) besitzt eine analoge
Interpretation.
Nun zum Nachweis der Stabilitat in Verteilung, der in Satz 10.10 mundet.
Sei N 0 = (T 0 ) N0
n n2Z
ein transienter Punkt-Proze mit Ft -Intensitat ( 0 (t)) t2R der Form
(D1) auf [0; 1), N 0 2N 0 .Ferner genuge N 0 einer der Anfangsbedingungen (AB i) oder (AB ii).
Fur alle (a; b] [0; 1) gilt nach (10.5)
E
N 0 ((a; b]) jF N0
0
=E
Z b
a
0 (t)dt
F N0
0
=
Z b
a
E
0 (t) jF N0
0
dt < 1
d.h. N 0 ((a; , b]) < 1 f.s., also ist N 0 auf [0; 1) nichtexplodierend. Mittels 6.14 konstruiere auf R
2
einen F N0 N
t
; F t -Poisson-Proze der Intensitat 1, (U 0
n) und ^N 0 n2Z
wie in der Konstruktion von
6.14 benotigt:
f.s.;
N((a; b] L)
= X n2N
= X n2N
1 (a;b] (T 0 n) 1 L
,
0+ (T 0 n) U 0 n
ZZ
Z Z
+
(a;b] Ln(0; 0 +
, (t)]
1 (a;b] (t) 1 L
0+ (t)z Z
fU 0 n g(dz) fT 0 n g(dt)+
^N0 (dt dz)
Z
(a;b] Ln(0; 0 + (t)]
^N0 (dt dz);
(a; b] R, L 2 B und 0 + (t) =1 (0;1) (t) 0 (t). Aus dieser Darstellung erkennt man fur beliebige
Borel-Mengen C (0; 1)
Z
C
N (dt [0; 0 (t)])
= X n2N
ZZ
,
1 C (t)1 [0; 0 (t)]
0+ (t)z Z
fU 0 n g(dz) fT 0 n g(dt)+
= X n2N
1 C (T 0 n )=N0 (C);
Z
C [0; 0 (t)]n(0; 0 + (t)]
^N0 (dt dz)
denn P U0 n
= R[0; 1] und ^N0 (f0g) Poi(0) ( ^N 0 (f0g) besitzt also keinen Punkt auf R). Konstruiere
aus N wie zuvor in Unterabschnitt 1) einen stationaren Punkt-Proze N mit endlicher
durchschnittlicher Intensitat und F N t
-Dynamik ((t)) der Form (D1), dabei ist F N N
t2R t
F t
.
Deniere die Funktion f :R![0; 1) durch
(
() fur t 0
f(t) =f(;t) def
=
E , j(t) , 0 (t)jjF N0
0
0 f ur t < 0 :
,
Da E 0 (t) jF N0
0 f.s. lokal integrierbar ist, folgt dies auch fur f:
Z b
Z b_0
(10.7)
a
f(t) dt =
a_0
Z b_0
a_0
E
j(t) ,
0 (t)jjF
N 0
E
(t) jF N0
0
dt +
dt
0
Z b_0
a_0
E
0 (t) jF N0
0
dt < 1
f.s.,

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 53
denn aus der Endlichkeit der durchschnittlichen Intensitat von N lat sich Endlichkeit von
ER b_0
(t) dt = E
a_0
R(a_0;b_0] N(dt) = E(N((a _ 0;b_0])) ableiten, gema [Als98] Gleichung
.
(51.9) folgt dann die f.s. Endlichkeit von ER b_0
(t) dt a_0 F
N 0
0
10.6. Lemma. Fur f gilt die Ungleichung
(10.8) f(t)
fur alle t>0.
Z
Z
jh(t , s)j ds + jh(t , s)j N 0 (ds)+
(,1;0)
(,1;0)
0
Z t
jh(t,s)jf(s)ds
f.s.
Beweis: Da Lipschitz-stetig, N 0 auf (,1; 0) F N0
N
0 -mebar und N auf (,1; 0) F 0 -
N
mebar ist, wobei nach Konstruktion F 0
= F ^N 0
0
und F N0
0
unabhangig sind, gilt fur t>0
f(t)E
E
= E
Z
Z
+ E
+ E
Z
+ E
(,1;0)
+
Z
Z
(,1;0)
Z
Z
[0;t)
(,1;0)
[0;t)
(,1;0)
[0;t)
h(t , s) N(ds) ,
h(t , s) N(ds) ,
Z
Z
jh(t , s)j N(ds) F N0
0
(,1;0)
[0;t)
jh(t , s)j N 0 (ds) F N0
0
h(t , s) N 0 (ds)
h(t , s) N 0 (ds)
jh(t , s)j jN , N 0 j (ds) F N0
0
jh(t , s)j N(ds)
+
Z
(,1;0)
jh(t , s)jj(s), 0 (s)j ds F N0
0
F N0
0
jh(t , s)j N 0 (ds)
wende bei der letzten Gleichheit 6.15 an, denn wir konnen anstelle von F , N0
0
auch F N0
0 ; F N
0
einsetzen. Mittels 5.8 lat sich dies fortsetzen zu
f(t)
+
=
Z
Z
Z t
jh(t , s)j ds + jh(t , s)j N 0 (ds)
(,1;0)
jh(t , s)j E j(s) ,
0 (s)jjF
N 0
ds
(,1;0)
0
(,1;0)
jh(t , s)j ds +
Z
Z
(,1;0)
0
jh(t , s)j N 0 (ds)+
Z t
0
f.s.,
jh(t,s)jf(s)ds
f.s..
R R
Fur festes a>0 setzen wir F a (t) def t
= f(s) ds = t_0
f(s) ds (denn f(t) =0fur t

54 10. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen {unbeschrankte Dynamiken
10.7. Lemma. Die zufallige Funktion F a (t) genugt fur alle n 2 N 0 der Abschatzung
(10.9)
t>0.
F a (t)
Xn,1
i=0
" a jhj i (t)+F a jhj n (t) f.s.,
(10.10)
Beweis: Aus Lemma 10.6 und dem Satz von Fubini folgt
Z t_0
F a (t)
+
Z 1
a
Z t_0
(t,a)_0
(t,a)_0
= " a (t)+
= " a (t)+
= " a (t)+
Z
Z u
(,1;0]
0
(t,a)_0
Z t
Z t_0
jh((t , a) _ 0 , s)j ds du + " 0 a (t)
jh(s)j f(u , s) ds du
jh(s)j ds + " 0 a (t)+ Z t_0
0 (t,a)_0
Z t
Z (t,s)_0
0
Z t
(t,s,a)_0
Z t
(t,a)_0 0
f(u,s)du jh(s)j ds
f(u)du jh(s)j ds
F a (t,s)jh(s)jds = " a (t)+
0
R
Z
jh(s)jf(u,s)ds du
F a (t,s)jh(s)jds
f.s..
Die Behauptung lat sich nun durch eine Induktion nach n herleiten: Im Fall n = 0 ist die
Behauptung klar, falls n =1ist, zeigt (10.10)
F a (t) " a (t)+
Z
F a (t,s)jh(s)jds = " a (t)+F a jhj(t)
f.s.,
also das Gewunschte. Gilt nun (10.9) fur ein n 2 N, so folgt aus der Induktionsvoraussetzung
und dem Fall N =1
F a (t)" a (t)+
" a (t)+
=
nX
i=0
Xn,1
nX
i=0
i=1
" a jhj i +F a jhj n !jhj(t)
" a jhj i (t)+F a jhj n+1 (t)
" a (t) jhj i (t)+F a jhj n+1 (t) f.s..
!
Sei nun I R ein endliches Intervall, etwa I [x; y] R. Die fast sichere lokale Integrierbarkeit
von f liefert fur beliebiges t 2 I
F a (t) =
Z t
f(s)ds
Z y
t,a
x,a
f(s) ds < 1
f.s.,

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 55
also ist F a auf jedem endlichen Intervall f.s. beschrankt. Auerdem ist die Norm kk 1
von h auf
L 1 (R; B;n) streng kleiner 1. Daher folgt fur t 2 R aus [Als98] Gleichung (20.20)
F a jhj n (t)=
Z t
Z t
F a (t,s)jhj n (s)ds M t jhj n (s) ds M t khk n 1
0
0
f.s.
fur eine endliche Zufallsgroe M t : ! R, was lim n!1 F a jhj n (t)=0f.s. zeigt. Gemeinsam
mit (10.9) ergibt sich fur F a (t) (nach dem Satz von Fubini) die Abschatzung
(10.11)
F a (t)
=
Z
1X
i=0
" a jhj i (t)=
" a (t , s)
1X
i=0
1X Z
i=0
jhj i (s) ds =
" a (t , s) jhj i (s) ds
Z
" a (t , s)H(s) ds f.s.
mit der Festlegung H(s) def
= P 1
i=0
jhj i (s). Nach [Als96] S. 235 Kapitel 27 ist H die Erneuerungsdichte
eines defekten Erneuerungsmaes (assoziiert mit h), fur die
Z
gilt, beachte (10.1).
H(t) dt =
Z X
n0
X n0
Z
jhj X n (t) dt = jhj X n (t) dt = kjhj n k 1
n0
n0
khk n = 1
1
1
=
1 ,khk 1
1, R jh(s)jds < 1
Von nun an bedarf es der Trennung des weiteren Vorgehens in Abhangigkeit von der vorliegenden
Anfangsbedingung.
Erfulle N 0 zunachst Anfangsbedingung (AB i) aus Voraussetzung 3.
10.8. Lemma. Auf jedem endlichen Intervall stimmt S t N schlielich mit S t N 0 uberein, d.h.
(10.12)
fur alle s; a 2 R.
lim
t!1 P(S t N S t N 0 auf (s , a; s]) = 1
Beweis: Da (AB R i) fur N 0 gilt, ist " 0 a(t) f.s. beschrankt. Damit mu dann auch " a (t)
1
auf (0; 1) f.s. wegen jh(s)j ds R 1
jh(s)j ds < 1 beschrankt sein. Nach (AB i) gilt
t,a 0
R
lim t!1 " 0 1
a(t) = 0 f.s. und (10.1) sichert lim t!1 jh(s)j ds = 0, also insgesamt lim t,a t!1 " a (t) =0
f.s.. Der Satz von der majorisierten Konvergenz zeigt somit
lim
t!1 F a(t) =0 f.s..
Einmal mehr nutzen wir Satz 6.15:
F a (t) =E
Z t_0
= E E
(t,a)_0
Z t_0
j(u), 0 (u)jdu
(t,a)_0
F N0
0
j(u) , 0 (u)j du F N0
0 ; F N 0
F N0
0

56 10. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen {unbeschrankte Dynamiken
Z t_0
= E E
= E
(t,a)_0
Z t_0
(t,a)_0
jN , N 0 j (du) F N0
jN , N 0 j (du) F N0
0
0 ; F N 0
;
F N0
0
was sich nach Denition des Erwartungswertes und wegen jN , N 0 j (C) 2 N 0 fortfuhren lat zu
F a (t) X k>0
P
=1,P
=1,P
Z t_0
(t,a)_0
Z t_0
(t,a)_0
jN , N 0 j (du) =k
jN,N 0 j(du) =0
FN0 0
FN0 0
NN 0 auf ((t , a) _ 0;t_0] jF N0
0
Daher konnen wir fur beliebiges t 2 R mit dem Lemma von Fatou
folgern.
1 lim inf
t!1 E
E
E
P
lim inf
t!1 P
N N 0 auf (t , a; t] jF N0
0
N N 0 auf (t , a; t] jF N0
0
1 , lim inf
t!1 F a(t)
= E(1) = 1
:
10.9. Lemma. Fur jede fest vorgegebene Wahl beschrankter Borel-Mengen A 1 ;:::;A n , n 2 N,
konvergiert ((S t N 0 (A 1 );:::;S t N 0 (A n ))) n2N in Verteilung gegen (N(A 1);:::;N(A n )).
Beweis: Wahle also beschrankte Mengen A 1 ;:::;A n 2 B (n2 N). Dann gibt es a; s 2 R
mit A 1 [[A n (s,a; s].
Die Stationaritat von N liefert
(10.13)
sup jP(S t N 0 (A i )=a i ;i=1;:::;n),P(N(A i )=a i ;i=1;:::;n)j
a 1 ;:::;a n2N
= sup jP(S t N 0 (A i )=a i ;S t N 0 (A i )=S t N(A i ); i =1;::: ;n)
a 1 ;:::;a n2N
,P(S t N(A i )=a i ;S t N(A i )=S t N 0 (A i ); i =1;:::;n)
+P (S t N 0 (A i )=a i ;i=1;:::;n;
S t N 0 (A i )6=S t N(A i )fur ein i 2f1;:::;ng)
,P (S t N(A i )=a i ;i=1;:::;n;
S t N(A i )6=S t N 0 (A i )fur ein i 2f1;:::;ng)j
sup jP (S t N 0 (A i )=a i ;i=1;:::;n;
a 1 ;:::;a n2N
S t N 0 (A i )6=S t N(A i ) fur ein i 2f1;:::;ng)
,P (S t N(A i )=a i ;i=1;:::;n;
S t N(A i )6=S t N 0 (A i )fur ein i 2f1;:::;ng)j
P(S t N(A i )6=S t N 0 (A i )fur ein i 2f1;:::;ng):

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 57
Aufgrund von Gleichung (10.12) ist
P(S t N(A i ) 6= S t N 0 (A i ) fur ein i 2f1;:::;ng)1, lim
t!1 P(S t N S t N 0 auf (s , a; s]) = 0;
was die gewunschte Verteilungskonvergenz zeigt (z.B. mittels [Als98] Satz 43.1).
Aufgrund von 10.9 lat sich aus [DVJ88] Theorem 9.1.VI. die schwache Konvergenz von
S t N 0+ gegen N + fur t ! 1 folgern, d.h. im Fall von Anfangsbedingung (AB i) haben wir
Stabilitat in Verteilung erhalten.
Gehen wir jetzt von der Gultigkeit von (AB ii) fur N 0 aus und steigen bei (10.11) erneut
in den Beweis ein. Erwartungswertbildung und der Satz von Fubini zeigen
E(F a (t))
Z
E(" a (t , s)) H(s) ds sup E(" a (t))
t0
Z
H(s) ds < 1;
denn aus der f.s. Beschranktheit von E(" 0 (t)) auf [0; a 1)("0 a
(t)0fur t0
(AB ii) sup t0 E" a (t) < 1 und lim t!1 E" a (t)=0fur alle a>0
wobei " a (t) zu einem Punkt-Proze N 2N 0 durch (10.6) deniert wird.
Die in Satz 10.5 noch fehlende Eindeutigkeit folgt nun durch einfaches Nachrechnen einer
der obigen Anfangsbedingungen.
10.11. Lemma. Der nach 10.5 existierende, stationare Punkt-Proze N mit endlicher mittlerer
Intensitat und Intensitat der Form (D1) ist eindeutig.
Beweis: Es genugt also, Voraussetzung 10.10 (AB ii) nachzurechnen. Dazu sei t 0 und
~N ein weiterer stationarer Punkt-Proze mit F , N ~
t
-Intensitat (t) ~ , die von der Form (D1) ist
t2R
und endlicher mittlerer Intensitat ~ sowie ~" a (t) gema Voraussetzung 3. Der Satz von Fubini und

58 10. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen {unbeschrankte Dynamiken
5.8 liefert
E(~" a (t)) =
Z t_0
(t,a)_0
Z t_0
Z
= ~
(t,a)_0
Z 1
a ~
(t,a)_0
Z
E
(,1;0]
(,1;0]
jh(u)j du;
jh(s , u)j ~ N(du)
jh(s , u)j du ds = ~
Z t_0
ds
(t,a)_0
Z 1
s
jh(u)j du ds
was zum einen den ersten Teil von Bedingung (AB ii) zeigt:
Z 1
sup E(~" a (t)) a ~
t0
und auerdem noch zu lim t!1 E(~" a (t)) = 0 fuhrt.
0
jh(u)j du < 1;
3) Stabilitat in Variation. Eine Verscharfung von Anfangsbedingung (AB i) aus Voraussetzung
3 stellt Anfangsbedingung (AB iii) des anschlieenden Satzes dar. Fordern wir zusatzlich
noch die Gultigkeit von (10.14), so erhalten wir die starkere Form der Stabilitat: Stabilitat in
Variation.
10.12. Satz (Unbeschrankte Lipschitz-Dynamik III). Gegeben sei Voraussetzung 2. Dann
ist innerhalb der Menge N 0 die Dynamik (D1) stabil in Variation unter der Anfangsbedingung:
R
(AB iii) jh(t)j R R N([,t; 0)) dt = 0
[0;1) [0;1) ,1 jh(t , s)j N(ds) dt < 1 f.s.,
falls zusatzlich
(10.14)
Z
[0;1)
t jh(t)j dt < 1
gilt.
Ebenso wie im Fall der Stabilitat in Verteilung sichert die gegebene Anfangsbedingung (AB
iii), da der mit h gewichtete Einu der Punkte auf der negativen reellen Achse verschwindet.
Dies lat sich bei linearer Anregungsfunktion (x) = cx (c 2 (0; 1)) und nichtnegativer
Anregungsfunktion h wie folgt deutlich machen: Gegeben sei die Vergangenheit bis zum Zeitpunkt
0, dann wird durch jeden Punkt T n von N , auf [0; 1) ein Poisson-Proze mit Intensitats-Ma
n (A) def
= c R A h (t , T n) dt erzeugt, siehe [Kin93] Existenz-Theorem in Abschnitt 2.5 (Seite 23).
Somit ist die Zahl der durch N , auf [0; 1) erzeugten Punkte, falls wir unter der Vergangenheit
bis zum Zeitpunkt 0 bedingen, gleich
(10.15)
X
n2Z
n0
n ([0; 1)) = X n2Z
n0
c
Z
[0;1)
Z Z
h (t , T n ) dt = c
h(t , s) N(ds) dt;
[0;1) (,1;0]

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 59
nach Anfangsbedingung (AB iii) also f.s. endlich. Betrachten wir nun das Intervall (t; 1) anstelle
von [0; 1), so verschwindet die Nachwirkung von N , fur t !1.
Im Lipschitz-stetigen Fall ist bei beliebigen Funktionen h der Einu von N , ohne die
Grundintensitat\ (0) des leeren Prozesses auf (,1; 0] kleiner oder gleich Gleichung (10.15)
"
nach Multiplikation mit einer geeigneten Konstanten. Also verschwindet auch hier die Nachwirkung.
Beweis (von Satz 10.12): Sei N 0 = (T 0 ) n n2Z
ein transienter Punkt-Proze, der den
Bedingungen von 10.12 genugt und auf [0; 1) eine F N0
t
-Intensitat ( 0 (t)) t2R
der Form (D1)
besitzt. Wir konnen Unterabschnitt 2) bis einschlielich 10.6 ubernehmen.
Aus dem Satz von Fubini folgt
Z T
Z t
0
0
jh(t , s)j f(s) ds dt =
Z T
Z T
Z
0
[0;1)
0
jh(t , s)j dt f(s) ds =
jh(t)j dt
Z T
0
f(t) dt < 1
Z T
Z T
0
f.s..
s
jh(t , s)j dt f(s) ds
Dies liefert fur alle T > 0 durch Integration von (10.8) uber t von 0 bis T nach einer einfachen
Umformung
0
=
=
Z T
0
Z T
Z
Z
Z
0
f(t) dt ,
Z
[0;1)
[0;1)
[0;1)
Z
(,1;0)
(,1;0)
jh(t)j
Z T
0
Z 1
f(t) dt
0
jh(s)j ds
jh(t , s)j N 0 (ds) dt +
Z
jh(t , s)j N 0 (ds) dt +
[,t;0)
N 0 (ds) dt +
jh(t)j N 0 ([,t; 0)) dt +
Z
Z
[0;1)
Z T
0
[0;1)
Z
Z
Z 1
[0;1)
t
Z
(,1;0)
t jh(t)j dt
jh(t , s)j ds dt
(,1;0)
jh(s)j ds dt
f.s..
jh(t , s)j ds dt
Hieraus folgt die fast sichere Endlichkeit von R 1
0
f(t) dt, denn fur alle T > 0 ist
(10.16)
Z T
0
f(t) dt
1
1 , R 1
0
jh(s)j ds
< 1 f.s.
nach (10.14) und (AB iii). Also ist R T
0
oben begrenzt. Da f 0 gilt, ist R T
0
f(t) dt auerdem monoton wachsend in T , und nach Denition
folgt
Z 1 Z 1
f(t) dt = E
0
= E
0
Z 1
0
Z
[0;1)
jh(t)j N 0 ([,t; 0)) dt +
Z
[0;1)
t jh(t)j dt
f(t) dt f.s. durch eine von T unabhangige Schranke nach
j(t) ,
0 (t)jjF
N 0
0
jN , N 0 j (dt) F N0
0
dt = E
;
Z 1
0
j(t) , 0 (t)j dt F N0
0

60 10. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen {unbeschrankte Dynamiken
beachte 6.15. Es ist also R 1
0
f(t) dt die mittlere Anzahl von Punkten von jN , N 0 j auf [0; 1) bei
Kenntnis der Vergangenheit bis zum Zeitpunkt 0, also bedingt unter F N0
0 . Nach (10.16) ist diese
Anzahl f.s. endlich, was jN , N 0 j ([0; 1)) < 1 f.s. liefert.
Der Proze der verschiedenen Punkte von N und N 0 , jN , N 0 j, besitzt auf [0; 1) also f.s.
nur endlich viele Punkte. Nach [BB94] Kapitel 2 4.1 koppeln N und N 0 somit f.s. in endlicher
Zeit. Ahnliches Vorgehen wie bei (10.13) fuhrt zu
P
sup S t N 0 +
2 C , , P N + 2
C
C2M 0
= sup
C2M 0 P
= sup
P
S t N 0 +
6= S t N +
C2M 0 P
S t N 0 +
2 C , , P S t N + 2
C
S t N 0 +
2 C; S t N 0 +
6= S t N + , P
= P , N 0, (t + ) \ [t; 1)) 6= N , (t + ) \ [t; 1)) ;
S t N + 2 C; S t N + 6= S t N 0 +
was lim t!1 sup C2M 0 P , S t N 0 +
2 C , P(N + 2 C) = 0 zeigt, d.h. St N 0+ konvergiert in Variation
gegen N + (t !1).
10.13. Bemerkung. Gelte (0) = 0. Dann ist der Punkt-Proze ohne einen einzigen Punkt
N = ; ein stationarer Punkt-Proze mit Intensitat der Form (D1). Da dieser eindeutig ist, stellt
er die einzige Losung dar.
Ein beliebiger transienter Punkt-Proze mit Anfangsbedingung (AB i), (AB ii) oder (AB iii)
strebt dann notwendigerweise gegen den leeren Proze, d.h. er stirbt aus.
Bemerkung 10.13 zeigt, da kein linearer stationarer Hawkes-Proze ungleich des leeren Pro-
R
zesses mit stochastischer Intensitat h(t,s) N(ds), t 2 R R, bei Gultigkeit von h(t) dt <
(1;t) [0;1)
1(h:[0;1)![0; 1)) existiert.
4) Zur Einschrankung auf die Menge N 0 .
10.14. Bemerkung. Gegeben sei die Situation von 10.10 oder 10.12. In diesem Fall kann die
vorgenommene Beschrankung auf die Klasse der Punkt-Prozesse N, fur die (10.5) f.s. lokal integrierbar
auf [0; 1) ist, fallengelassen werden.
Erfullt ein Punkt-Proze N die Bedingung (AB i) (bzw. (AB ii) oder (AB iii)), folgt daraus bereits
die f.s. lokale Integrierbarkeit von (10.5) auf [0; 1).
Begrundung: Es sei N 0 ein transienter Punkt-Proze mit Dynamik ( 0 (t)) t2R
der Form
(D1) auf [0; 1). Erfulle " 0 (t) Anfangsbedingung a (AB i), wobei "0 a
(t) gema (10.6) unter Verwendung
von N 0 deniert werde.
Zu zeigen ist, da die Abbildung
t 7! E
0 (t)jF N0
0
= E
Z
h(t , s) N 0 (ds) F N0
0
(,1;t)

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 61
f.s. lokal integrierbar auf [0; 1) ist.
Wir betrachten einen Punkt-Proze N 0 auf R. Durch Ubergang von P zu P(N 0 2) erhalten
wir ein Wahrscheinlichkeitsma auf (M 0 ; M 0 ), d.h. wir konnen o.B.d.A. (; F) = (M 0 ; M 0 )
wahlen und bezeichnen das zugehorige Wahrscheinlichkeitsma wieder mit P . Nach [DVJ88] Anhang
A2.6., Theorem A2.6.III.(i), ist (M 0 ; M 0 ) ein polnischer Raum (d.h. es gibt eine Metrik, so
da M 0 mit dieser Metrik ein separabler vollstandiger metrischer Raum ist). Dies erlaubt uns die
folgende Festlegung:
Sei P jFN0 0
Deniere fur T > 0
def id
= P jF N0
0 die regular bedingte Verteilung der Identitat id auf (; F) gegeben F N0
0 .
F N0 0
T
(d! 0 dt) def
= 1 T P jFN0 0 (d!
0 ) n j(0;T ] (dt);
so ist F N0 0
T
()(!) fur alle ! 2 ein Wahrscheinlichkeitsma auf (R; F N0
0 B). Der zugehorige
Erwartungswert wird mit E F N0 0
Es sei 0 (0) (t) def
=
R
T
N 0 (n) (ftg) def
=
()(!) bezeichnet.
(,1;0] h(t , s) N0 (ds)
0 (n+1) (t) def
=
(
R
Z
ftg N
(,1;t)
und ferner
h i
ds 0; 0 (n) (s)
N 0 (ftg) fur t 0
h(t , s) N 0 (n) (ds)
fur t>0
fur n 2 N. Dabei ist N der nach 6.14 aus N 0+ konstruierbare homogene , F N0
Proze der Intensitat 1 auf R 2 . Ferner ist
siehe 6.12.
(a)
Wir benotigen einige Abschatzungen:
E F N0 0
T
0(n+1)
, 0 (n)
T
= T E
Z
Z T
E
0
Z T
[0;1)
0
0 (n) (t)
Z
denn ist -Lipschitz-stetig, N 0 (n)
, N 0 (n,1)
eine , F N0
t
; F N
t
(,1;t)
Z T,s
0
t2R
jh(t)j dt
jh(t)j dt E F N0 0
T
N -Intensitat von
0(n)
, N
(n,1)
0
eine , F N0
t
; F N
t
jh(t , s)j N
0(n)
, N 0 (n,1)
N
; F -Poisson-
t t
-Intensitat von N 0(n) ,
(ds)
N 0 (n)
, N 0 (n,1)
(ds)
0(n)
, 0 (n,1)
;
((,1; 0])=0und
F N0
0
F N0
0
dt
0(n) (t) , (t)
0 (n,1) t2R
ist
auf (0; 1) (siehe 6.15). Beachte weiterhin, da
F N0
0 und F N
0 nach Konstruktion unabhangig sind. Induktiv kann dies zu
E F N0 0
T
fortgesetzt werden (n 2 N).
0(n+1)
, 0 (n)
Z
[0;1)
jh(t)j dt
n
E F N0
0
T
0(1)
,
(0)
0
(b) Da -Lipschitz-stetig ist, folgt 0 (0) (t) (0) + R (,1;0] jh(t , s)j N0 (ds). Dies wiederum

62 10. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen {unbeschrankte Dynamiken
fuhrt nach (AB i) zu
E F N0 0
T
denn 0 (0) (t) ist F N0-mebar.
0
(c)
E F N0 0
T
0(1)
,
(0)
0
Z
T
T
Z T
0
Z T
Z
0
[0;1)
E
E
< 1 f.s.,
Z
(,1;t)
(0;t)
jh(t)j dt E F N0 0
T
0 (0) = 1 T
Z T
h(t , s) N 0 (0) (ds) ,
0
0 (0) (t) dt < 1
Z
(,1;0]
jh(t , s)j N
ds h 0; 0 (0) (s)
0 (0)
f.s.,
h(t , s) N 0 (ds)
i
F N0
0
dt
F N0
0
dabei erfolgt die Ausnutzung der -Lipschitz-Stetigkeit von beim ersten Ungleichheitszeichen.
Das dritte Ungleichheitszeichen erhalt man analog zu (a), die f.s. Endlichkeit stammt aus (b).
(d) Aus E F N0 0
T
0 (n+1) E F N0 0 0(n+1)
T
,
(n)
0
+ E F N0 0
T
0 (n)
folgt einmal mehr induktiv
unter Verwendung von (a), (b) und (c)
E F N0 0
T
0 (n+1)
nX
k=0
n+1
X
k=0
< 1 f.s.
Z
Z
[0;1)
[0;1)
jh(t)j dt
k
E F N0
k
1
jh(t)j dt
T
0
T
Z T
0
0(1)
, 0 (0)
0 (0) (t) dt
+ E F N0 0
T
dt
0 (0)
fur alle n 2 N.
Aus (a) und (c) ergibt sich fur alle k; m 2 N mit k m:
E F N0 0
T
0(k)
,
(m)
0 X jm
Somit folgt fur ein geeignetes
(10.17)
0 (1) (t)
Z
t2R
[0;1)
jh(s)j ds
0 (n) n!1
,,,! 0 (1)
(jj) auf L 1
R; F N0
j
E F N0
bezuglich kk F N0 0
T
= E F N0 0
T
0
B; FN0 0
T
[f.s.].
Auerdem liefert die Markov-Ungleichung zusammen mit (a) noch
F N0 0
T
0 (n+1)
, 0 (n)
>
Z
Z
[0;1)
[0;1)
Z
,
n
jh(s)j ds
jh(s)j ds
[0;1)
2
E F N0 0
T
n
2
E F N0
0
T
0
T
jh(s)j ds
n
2
0(1)
, 0 (0)
< 1
!
0(n+1)
,
(n)
0
0(1)
,
(0)
0 :
f.s.:

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 63
Nach Voraussetzung und (c) zeigt dies
X
n0
F N0 0
T
0 (n+1)
, 0 (n)
>
Z
jh(s)j ds
[0;1)
Nach [Nev65] Prop. II.4.2 (Seite 45) gilt also 0 (n) n!1
n
2
,,,! 0 (1) F N0 0
Fur jede beschrankte Menge C 2 B + , C (0;T], gilt gema (a) und (c)
X
n0
P jFN0 0
= X n0
Z
C
E jFN0 0
< 1 f.s..
N 0 (n+1)
, N 0 (n)
(ds) 6= 0
Z
Nach dem Borel-Cantelli-Lemma folgt
P jFN0 0
C
X n0
0 (n+1) (t) , 0 (n) (t) dt
lim sup
n!1
E jFN0 0
T X n0
n N 0(n+1)
, N 0 (n)
(C) 6= 0
T
!
< 1 f.s.:
-f.s. [P -f.s.].
N 0(n+1)
, N 0 (n)
o
E F N0 0
T
(C)
0(n+1)
,
(n)
0
=0 f.s.,
d.h. N 0 (n+1) und N 0 (n) stimmen P jFN0 0 -f.s. auf C fur hinreichend groe n uberein [P -f.s.]. Wir
denieren also N 0 (1) def
= lim n!1 N 0 (n) . Fur alle C 2 B, C (0;T], erhalten wir nach zweifacher
Anwendung des Lemmas von Fatou und unter Beachtung von (a)
E jFN0 0
Z
C
N 0 (1) (ds) , N
Dies zeigt N 0 (1) () = R
E F N0 0
T
N
ds h 0; 0 (1) (s)
i
lim
n!1 E jFN0 0
T lim
n!1 EFN0 0
T
h i
ds 0; 0 (1) (s) P jFN0 0 -f.s. [P -f.s.].
,
Wir rechnen nun nach, da 0 (1) (t)
t2R
0 (1)
, Z
E F N0 0
T
E F N0 0
T
E F N0 0
T
E F N0 0
T
n!1
,,,! 0
(,1;)
0(1)
,
(n+1)
0
0(1)
, 0 (n+1)
0(1)
, 0 (n+1)
nach (10.17) [P -f.s.], d.h.
h(,s)N 0 (1) (ds)
0(1)
, 0 (n+1)
+
Z
+ T
Z
T E jFN0 0
0
Z
+ T
Z
T E jFN0 0
0
Z
+ T [0;1)
Z
[0;1)
Z
von der Form (D1) ist:
(,1;t)
(0;t)
jh(t)j dt E jFN0 0
jh(t)j dt E F N0 0
T
0 (n) (s), 0 (1) (s) ds
C
0(n)
,
(1)
0
=0
jh(t , s)j N
0(n)
, N 0 (1)
jh(t , s)j N
0(n)
, N 0 (1)
Z T
0
0(n)
,
(1)
0
(ds) dt
(ds) dt
0 (n) (s), 0 (1) (s) ds
R
0 (1) (t) = h(t , s) (,1;t) N0 (1) (ds)
t2R
t2R
P-f.s..
F N0 0
T
-f.s. [P -f.s.].

64 10. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen {unbeschrankte Dynamiken
mit
N wurde weiter vorne wie in 6.14 aus N 0+ konstruiert, d.h. ( 0 + (t) =1 (0;1) (t) 0 (t))
N ((a; b] L) = X n2N1 (a;b] (T n ) 1 L
,
0
+(T n )U n
+
Z
(a;b]
Z
Ln(0; 0 + (t)]
^N(dt dz)
(U n ) n2Z
u.i.v. Zufallsgroen, unabhangig von F
N0
1 , U n R[0; 1] (n 2 Z)
^N homogener Poisson-Proze der Intensitat 1 auf R 2 , unabhangig von , F N0
1 ; F U 1
.
N(dt [0; 0 (t)]) fur alle C 2 B + .
R Durch einsetzen erhalten wir N 0 (C) =
C
Gezeigt wird nun, da N 0+ = N 0 (1)+ . Dazu denieren wir N ~ def
= N 0 , N 0 (1)
. Bezeichne
N 0 , N 0 (1)
N
;t die F ~ t
-vorhersagbare Version der F
N 0
t
; F N0(1)
t
-Intensitat von N ~
t2R
(die Existenz sichert [Bre81] II.4., Theorem T14, die verwendete Darstellung stammt aus Satz
2.4). Fur diese gilt wegen der -Lipschitz-Stetigkeit von
N 0 , N 0 (1)
;t
Z
=
Z
(,1;t)
(0;t)
jh(t , s)j N 0 , N 0 1 (ds)
jh(t , s)j N 0 , N 0 1 (ds);
denn nach Konstruktion gilt N 0 , = N 0(1), . Aufgrund der weiter oben genannten Unabhangigkeiten
sowie der Darstellung von N 0 und N 0 (1) auf (0; 1) mittels N konnen wir zu jedem ! 2
ein ~! 2 mit 0 = N 0 , N 0 (1) , (!;) = N 0 , N 0 (1) , (~!;) = N 0 , N 0 (1) , (~!;\(,1;t])
nden. Somit gilt
N 0 , N 0 (1)
, (!;);t
= N 0 ,N 0 (1)
Z
jh(t , s)j N 0 , N 0 (1)
(0;t)
(~!;\(,1;t]);t
(~!; ds) =0;
also
~N , ;t
0 f.s..
Nach 5.5 liefert dies fur alle t>0
P
~N((0;t])=0
F ~ N
0
Z t
= exp , ~N , ;s ds 1;
0
so da sich ~ N = ; f.s. und damit N 0 = N 0 (1) f.s. auf [0; 1) ergibt. Es gilt also (beachte erneut
die Unabhangigkeit von F N0
0
und F N
0 )
Z T
0
E
0 (t) jF N0
0
dt = E
N 0 ((0;T]) jF N0
0
Z T
= E 0 (1)
(t)
0
F N0
0
= E N 0 (1) ((0;T])
dt
f.s..
F N0
0

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 65
Schlielich fuhrt (d) nun zu
Z T
0
E
0 (1) (t)
F N0
0
dt
1X
k=0
Z k Z T
jh(t)j dt 0 (0) (t) dt < 1
[0;1)
0
f.s.,
R T
was insgesamt E, 0 (t) jF N0
0 0
dt < 1 f.s. und damit die Behauptung zeigt.
In der vorstehenden Begrundung waren wir von der Gultigkeit von Anfangsbedingung (AB
i) ausgegangen, wir haben jedoch nur den ersten Teil dieser Bedingung benotigt (siehe (b)). Die
noch fehlenden Betrachtungen fuhren wir auf diesen Fall zuruck und nutzen dabei die zuvor
verwendeten Bezeichnungen:
Gelte zunachst Anfangsbedingung (AB ii). In diesem Fall liefert
E
Z T
Z
0
(,1;0]
(,1;0] jh(t , s)j N0 (ds) dt. Dies ist fur die obige Be-
R T
fur alle T > 0 die f.s. Endlichkeit von
0
grundung ausreichend.
jh(t , s)j N 0 (ds) dt
R
< 1
R Im Fall von Anfangsbedingung (AB iii) gilt jh(t)j N([,t; 0)) dt < 1 f.s.. Somit
[0;1)
erhalten wir
" 0 a(t) =
=
Z t_0
Z
Z
(t,a)_0
[0;1)
[0;1)
Z
Z
(,1;0]
[s;1)
jh(s , u)j N 0 (du) ds
jh(t)j N 0 (s , dt) ds =
jh(x)j N 0 ([,x; 0)) dx +
Z
[0;1)
Z
Z
[0;1)
[0;1)
Z
(,1;0]
jh(x)j N 0 ([,x; 0]) dx
jh(x)j dx < 1
jh(s , u)j N 0 (du) ds
fur alle a; t 2 [0; 1) Hieraus lat sich sogar die Gultigkeit beider Bedingungen von (AB i)
ablesen.
f.s.
11. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen {
beschrankte Dynamiken
Fordern wir im Fall -Lipschitz-stetiger Anregungsfunktionen zusatzlich die Beschranktheit
dieser Funktion, so konnen wir die Beschrankung des Wertes von R jh(t)j dt aus Abschnitt 10
fallen lassen. Es gelte fur den aktuellen Abschnitt die
Voraussetzung 4.
Gegeben sei eine mebare Funktion , die -Lipschitz-stetig fur ein
>0und beschrankt durch ein > 0 ist. Bezeichne h eine mebare Funktion mit
(11.1)
Z
jh(t)j dt < 1
[0;1)
[0;1)
Z
und t jh(t)j dt < 1:

66 11. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { beschrankte Dynamiken
Ziel dieses Abschnitts wird erneut eine Existenz- und Stabilitatsaussage unter dieser Voraussetzung
sein, die in Satz 11.6 und 11.8 zu nden sind.
1) Existenz. Wie im Beweis von 8.5 sei (; F;P) der kanonische Raum der Punkt-Prozesse
auf R mit [0; 1]-wertigen Marken. Dabei sei S t = t , t 2 R, und P ein Wahrscheinlichkeitsma
mit P S t = P , unter dem N = (T n ;U n ) n2Z , N(!;) = !, ein markierter Poisson-Proze der
Intensitat mit Markenfolge (U n ) n2Z
unabhangig von N([0; 1]) ist.
Deniere die nach 7.1 F N
t
unabhangiger, identisch R[0; 1]-verteilter Zufallsgroen,
-adaptierten Punkt-Prozesse N (n) N
und F t
-vorhersagbaren Prozesse
, (n) (t) t2R , n 2 N 0, ahnlich wie im Beweis von 9.1 durch
N (n) (C) def
=
Z
(n+1) (t) def
=
C
N
Z
ds
(,1;t)
0; (n) (s)
h(t , s) N (n) (ds)
; C 2 B;
; t 2 R;
wobei (0) (t) 0 fur alle t 2 R gelte. Nach 7.1 ist ( (n) N
(t)) t2R eine F t
-Intensitat von N (n) fur
alle n 2 N 0 . Zunachst zeigen wir die Existenz des Grenzprozesses N def
= lim n!1 N (n) . Dazu sei
(11.2)
~N(ftg) def
= lim sup
n!1 N (n) (ftg) , lim inf
n!1 N (n) (ftg); t 2 R:
Der Punkt-Proze N existiert also, wenn der Proze ~ N f.s. mit dem Punkt-Proze ;, der keinen
Punkt auf der reellen Achse besitzt, ubereinstimmt. Setze
~(t) def
= lim sup
n!1 (n) (t) , lim inf
n!1 (n) (t); t 2 R:
Dann gilt aufgrund der Beschranktheit von fur alle t 2 R: 0 ~ (t) .
11.1. Lemma. , Der Punkt-Proze , lim sup n!1 N (n) lat lim sup n!1 (n) (t) als F N
t2R t
-Intensitat
zu. Entsprechend ist lim inf n!1 (n) (t) eine F N
t2R t
-Intensitat von lim inf n!1 N (n) .
Beweis: Gezeigt wird nur die erste Behauptung, der zweite Nachweis lat sich analog
fuhren. Oensichtlich gilt nach dem Satz von der monotonen Konvergenz
Z
Z
N dt 0; 1 lim sup
n!1 (n) (t) lim sup N dt
n!1
C
Z
C
C
N
dt
0; 1 (n) (t)
0; 1 lim sup
n!1 (n) (t)
;

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 67
C 2 B. Die gleiche Argumentation wie im Beweis zu 6.11 fuhrt fur (a; b] R zu
E
Z
(a;b]
= E
= E
= E
N
Z
Z
Z
dt
(a;b]R
1 1 [0;
(a;b]R
(a;b]
0; 1 lim sup
n!1 (n) (t)
N
F
1 [ 0; 1 lim sup n!1 (n) (t)) (z) N(dt dz)
lim sup
n!1 (n) (t) dt
F N
a
a
F N
a
lim sup n!1 (t)) (z)n ((dt dz))
(n)
:
F N
a
Analoges gilt fur das Intervall, welches an der rechten Seite abgeschlossen ist. Somit erhalten wir
E
Z
(a;b]
lim sup N (n) (dt)
n!1
F N
a
= E
= E
Z
Z
(a;b]
(a;b]
lim sup
n!1
N
dt
lim sup
n!1 (n) (t) dt
0; 1 (n) (t)
F N
a
F N
a
:
Lemma 11.1 zeigt gemeinsam mit 6.15, da ~ N die F N
t
-Intensitat , ~ (t)
t2R besitzt.
11.2. Lemma. In der geschilderten Situation gilt die Ungleichung
(11.3)
fur alle t 2 R.
~(t)
Z
(,1;t)
jh(t , s)j ~ N(ds)
Beweis: Sei t 2 R beliebig. Wir konnen ~ (t) umschreiben zu
~(t) = lim sup
n!1 (n) (t) , lim inf
n!1 (n) (t) = lim
n!1
= lim
n!1 sup
i;jn
,
(i) (t) , (j) (t) :
sup
kn
f.s.
(k) (t) , inf (k) (t)
kn
Aus der Lipschitz-Stetigkeit von folgt fur beliebige a 2 (0; 1) die Abschatzung
~(t) lim
n!1 sup
i;jn
lim
n!1
Z
sup
Z
(,1;t)
jh(t , s)j N (i) (ds) ,
Z
(,1;t)
jh(t , s)j N (k) (ds) , inf
kn
jh(t , s)j N (j) (ds)
|
kn (,1;t,a)
{z
(,1;t,a)
}
= 1 (a)
+ lim
n!1
sup
Z
jh(t , s)j N (k) (ds) , inf
kn
Z
jh(t , s)j N (k) (ds)
|
kn [t,a;t)
{z
[t,a;t)
}
= 2 (a)
= 1 (a)+ 2 (a):
Z
jh(t , s)j N (k) (ds)
!

68 11. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { beschrankte Dynamiken
Oensichtlich ist 2 (a) R [t,a;t) jh(t , s)j N(ds [0; 1]) < 1 f.s.. Da N([0; 1]) im Intervall
[t , a; a) f.s. nur endlich viele Punkte besitzt, erhalten wir
2 (a) lim
n!1
Z
Fur 1 (a) gilt wegen
E
Z
[t,a;t)
Z
(,1;t,a)
[t,a;t)
jh(t , s)j sup N (i) (ds) ,
in
jh(t , s)j ~ N(ds)
f.s..
Z
jh(t , s)j N(ds [0; 1]) = E
Z
Z
[t,a;t)
(,1;t,a)
(,1;t)
jh(t , s)j inf N (i) (ds)
in
jh(t , s)j ds
jh(t , s)j ds < 1
die Abschatzung 1 (a) R (,1;t,a) jh(t , s)j N(ds[0; 1]) < 1 f.s. und damit lima!1 1 (a) =0
f.s.. Insgesamt zeigt der Grenzubergang a !1wegen ~ (t) 1 (a)+ 2 (a)fur alle a 2 (0; 1)
die Ungleichung (11.3).
, ~ N;t
N
Nach 2.4 besitzt die F ~ N
-vorhersagbare Version der F ~ -Intensitat von N ~ die Darstellung
t2R
t
(existiert nach [Bre81] II.4.T14) und
t
~N;t
R
(,1;t) jh(t , s)j ~ N(ds) f.s..
11.3. Lemma. Wird in der unmittelbar zuvor angegebenen Ungleichung ~ N auf der linken Seite
durch die Einschrankung von ~ N auf (,1; 0] ersetzt, also durch ~ N , , so besitzt diese weiterhin
Gultigkeit, falls diese Einschrankung auch auf der rechten Seite vorgenommen wird:
Z
(11.4) ( N ~ , ;t) jh(t , s)j N(ds) ~ f.s..
(,1;0]
Beweis: Betrachten wir den Beweis von 11.2, so erkennt man, da (11.3) auf der Menge
0
def
= N([0; 1]) nichtexplodierend \
Z
(,1;t)
jh(t , s)j N(ds [0; 1]) < 1
gilt und P( 0 ) = 1. Sei ! 0 2 0 .Da N([0; 1]) ein Poisson-Proze endlicher Intensitat ist, gibt
es ein ! 2 0 , so da ~ N , (!;) = ~ N , (! 0 ;) und ~ N(!; (0;t])=0.Daraus folgt
unter Beachtung von 2.6.
( ~ N , (! 0 ; );t)=( ~ N(!;\(,1;t]);t)
=
Z
(,1;0]
Z
jh(t , s)j ~ N
, (!0 ;ds)
(,1;t)
jh(t , s)j ~ N(!; ds)
11.4. Lemma. Der Proze ~ N besitzt mit positiver Wahrscheinlichkeit keinen Punkt auf (0; 1),
d.h.
(11.5)
P ~N((0; 1)) = 0 > 0:

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 69
Beweis: Es zeigt einmal mehr der Satz von Fubini, da
E
Z
(0;1)
R
Z
(,1;0]
jh(u , s)j N(ds [0; 1]) du
=
=
Z
(0;1)
R
also ist
(0;1)
erhalten wir aus Satz 5.5 und Lemma 11.3
Damit folgt P
Z 1
u
Z
(0;1)
jh(s)j ds du =
Z
E
Z
(,1;0]
(0;1)
jh(u , s)j ds du
u jh(u)j du < 1;
(,1;0] jh(u , s)j N(ds[0; 1]) du f.s. endlich. Gemeinsam mit diesen Uberlegungen
P
~N((0; 1))=0F N ~
0
Z
exp
exp
,
,
> 0 f.s..
Z 1
0
Z 1
0
Z
Z 1
= exp , ( N ~ , ;t)dt
0
(,1;0]
(,1;0]
jh(t , s)j ~ N(ds) dt
R
~N((0; 1)) = 0 = P
~N((0; 1))=0F
N ~
0
jh(t , s)j N(ds [0; 1]) dt
dP >0.
Das Wahrscheinlichkeitsma P ist bezuglich des Shiftes ( t ) t2R ergodisch, siehe 6.6 . Nach
7.1(i) sind die Prozesse N (n) und ( (n) (t)) t2R fur alle n 2 N t -kompatibel, was zur t -Kompatibilitat
von ~ N fuhrt. Durch ~ N wir gema 5.7 ein stationarer Punkt-Proze (bezuglich (P;() t2R)
im Sinne von [BB94]) gegeben und [BB94] Kapitel 1 (1.4.2) besagt, da dann P( 1 ) = 1
fur die Menge 1
t
n! 2 1 ; N(!; ~ (0; 1)) = 0
P
def
= fN(R) o = n0g [ fN((0; 1)) = N((,1; o 0)) = 1g gilt. Hiermit folgt
= ! 2 1 ; N(!; ~ (0; 1)) = 0 fur alle t 2 R, also
~N((0; 1))=0
=P
n
o
! 2 1 ; N(!; ~ (0; 1)) = 0
aufgrund der Ergodizitat. Somit mu ~ N wegen 11.4 f.s. dem Punkt-Proze ohne einen einzigen
Punkt auf R entsprechen, also ~ N = ; f.s.. Nach Denition von ~ N sind die Punkt-Prozesse
lim sup n!1 N (n) und lim inf n!1 N (n) auf R f.s. gleich. Dies zeigt fur alle beschrankten Borel-
Mengen C
=1
(11.6)
P , 9k 2 N 8n 2 N k : N
(n)
, N (n+1) (C) =0
=1
und wir konnen den Punkt-Proze N durch die Festlegung N(ftg) def
= lim n!1 N (n) (ftg) denieren.
11.5. Lemma. Der durch N = lim n!1 N (n) denierte Punkt-Proze erfullt
(i) N ist t -kompatibel
(ii) N besitzt die Intensitat ((t)) t2R , (t) = R
(,1;t) jh(t , s)j N(ds)

70 11. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { beschrankte Dynamiken
Beweis: zu (i). Fur alle C 2 B, t 2 R gilt nach 7.1(i)
S t N(C) =N(t+C)= lim
n!1 N (n) (t + C) = lim
n!1 N (n) ( t ;C)=N( t ;C) f.s..
R
i
zu (ii). Wir konnen ( (n) (t)) h N
t2R als F t
-Intensitat von N (n) identizieren (n 2 N), siehe
7.1(ii). Der durch N ds 0; (s)
C
C2B festgelegte Punkt-Proze besitzt die F N
t
-Intensitat
((t)) t2R, siehe 6.11. Daher besitzt
Z
C
N (n) (ds) , N
ds
0; (s)
nach 6.15 die F , N
t
-Intensitat (n) (t) , (t) .Fur beliebige beschrankte Mengen C 2 B gilt
t2R
daher aufgrund des Lemmas von Fatou
(11.7)
E
Z
C
N(ds) , N
lim
n!1 E
= lim
n!1
Z
Z
C
C
ds
0; (s)
N (n) (ds) , N
E , (n) (0) , (0) ds
ds
= n (C) lim
n!1 E, (n) (0) , (0) ;
C2B
0; (s)
denn (n) (t) und (t) sind t -kompatibel. Die -Lipschitz-Stetigkeit fuhrt zu
(n+1) (0) ,
(0) Z
=
Z
Z
(,1;0)
(,1;0)
(,1;0)
h(0 , s) N (n) (ds)
h(,s) N (n) (ds) ,
Z
,
(,1;0)
jh(,s)j N
(n)
, N (ds):
Z
(,1;0)
h(,s) N(ds)
h(0 , s) N(ds)
Da
Z
E
(,1;0)[0;1]
Z
jh(,s)j N(ds dz) = E
Z
=
(,1;0)
(,1;0)
jh(,s)j ds
jh(,s)j ds < 1
gilt, ist auch R (,1;0) jh(,s)j N
(n)
, N (ds)
R(,1;0) jh(,s)j N(ds [0; 1]) < 1 f.s.. Nach
Denition konvergiert N (n)
C =[,t; 0), t 2 [0; 1) beliebig, so da
f.s. gegen N fur n ! 1. Gleichung (11.6) gilt insbesondere fur
lim
n!1
(n) (0) , (0) =0
folgt. Dominierte Konvergenz ( (n) (0) , (0) f.s. fur alle n 2 N) und (11.7) zeigen
Z
E
C
N(ds) , N
ds
0; (s)
f.s.
=0;

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 71
d.h. N und
R
C
N
ds h 0; (s)
i
C2B stimmen f.s. uberein; also ist ((t)) N
t2R eine F t
-Intensitat
des Punkt-Prozesses N, die { wie gewunscht { von der Form (D1) ist.
Aus 11.5 und 5.7 folgt die Stationaritat von N, und wir erhalten insgesamt den
11.6. Satz (Beschrankte Lipschitz-Dynamik I). In der Situation von Voraussetzung 4 existiert
ein eindeutiger stationarer Punkt-Proze N mit Dynamik der Form (D1).
11.12.
Die Eindeutigkeit werden wir wieder im Anschlu an den Stabilitatsbeweis nachliefern, siehe
2) Stabilitat in Variation. Als Vorbereitung auf den Nachweis von Stabilitat bezuglich
einer geeigneten Anfangsbedingung dient die folgende Kopplungsaussage:
11.7. Satz (Kopplung). Der Wahrscheinlichkeitsraum (; F;P) sei versehen mit einer Filtration
(F t ) t2R
, und X und Y seien stochastische Prozesse, so da
(11.8)
A s
def
= fX Y auf (s; 1)g2F 1 :
Dies gilt insbesondere fur F t -adaptierte Prozesse. Fur alle s 2 [0; 1) gelte
(11.9)
P(A s jF s ) Z(s),(s)
fur einen reellwertigen Proze mit lim s!1 (s) =0f.s. und einen reellwertigen Proze Z mit
(11.10)
1
P(Z(s) ) und lim
t!1 t
Z s+t
s
1 [;1) (Z(u)) du = P(Z(s) )
f.s. fur ein 2 (0; 1). Dann koppeln die Prozesse X und Y f.s. in endlicher Zeit.
Beweis: Wahle 2 R gema (11.10). Das Ereignis "
X und Y koppeln\ ist der monotone
Grenzwert der A s :
Nach (11.9) gilt die Abschatzung
A s " s"1 A 1
def
= fX und Y koppelng2F 1 :
P(A 1 jF s ) P(A s jF s )
(Z(s),(s)) 1 [;1) (Z(s)) 1 (,1;
2 ] ((s))
Fur s; t > 0 liefert dies
2 1 [;1) (Z(s)) 1 (,1;
2 ] ((s)) :
(11.11)
1
t
Z s+t
s
P (A 1 jF u ) du 1 t
Z s+t
s 2 1 [;1) (Z(u)) 1
(,1; 2 ]
((u)) du
1
Z s+t
2 1 (,1; 2 ]
(u) 1 [;1) (Z(u)) du:
t
sup
us
s

72 11. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { beschrankte Dynamiken
Oensichtlich ist P(A 1 jF t ), t 2 R, ein F t -Martingal, welches sogar gleichgradig integrierbar ist:
0 sup
t2R
Z
fP( A1 jF t)>ag
P(A 1 jF t ) dP sup P(P(A 1 jF t )>a),,,! a!1 0:
t2R
Nach [Als96] 17.3 (oder auch [Nev65] Prop. 4.5.6 (Seite 134)) gilt 1 A1 = lim t!1 P(A 1 jF t ) =
R
lim t!1 E(1 A1 jF t ) f.s., was zu lim t!1 1 s+t
P(A
t s 1 jF u ) du = 1 A1 f.s. fuhrt, siehe A2.2. Der
Proze Z erfullt nach (11.10)
1
lim
t!1 t
Z s+t
s
1 [;1) (Z(u)) du = P(Z(s) ) f.s..
Die Wahl von sichert lim s!1 sup us
(u) =0f.s.. Wir erhalten insgesamt aus (11.11)
1 A1 2
2 1 (,1; 2 ]
d.h. 1 A1 =1f.s. und schlielich P(A 1 )=1.
Das Ziel dieses Abschnitts ist der
sup
us
(u)
s!1
,,,! 2
2 > 0 f.s.,
11.8. Satz (Beschrankte Lipschitz-Dynamik II). Gegeben sei Voraussetzung 4. Dann ist
die Dynamik (D1) stabil in Variation bezuglich der Anfangsbedingung
Z 1 Z
(11.12)
lim jh(s , u)j N(du) ds =0 f.s..
t!1
t
(,1;0]
Die hier verwendete Anfangsbedingung, die zur Stationaritat fuhrt, ist starker als Anfangsbedingung
(AB i) des Abschnitts 10, aber schwacher als Bedingung (AB iii) und fordert ebenfalls,
da die Nachwirkung von N , verschwindet.
Zum Beweis von 11.8 wahlen wir einen Punkt-Proze N 0 =(T 0 n) n2Z
mit Anfangsbedingung
(11.12) und F N0
t
-Intensitat ( 0 (t)) t2[0;1)
der Form (D1) auf R. Dabeschrankt durch ist, gilt
dies auch fur 0 (t) auf [0; 1). Somit ist N 0 auf [0; 1) nichtexplodierend. Nach 6.14 stellt
einen , F N0
s
N((a; b] L) = X n2N
; F N
s
1 (a;b] (T 0 n ) 1 L
,
0+ (T 0 n )U0 n
+
Z
(a;b]
Z
Ln(0; 0 + (t)] ^N0 (dt dz)
-Poisson-Proze der Intensitat 1 auf R2 dar , (U 0 n ) n2Z , ^N0 wie in 6.14 benotigt,
0 def
+
(t) = 1 (0;1)) 0 (t) .Fur beliebige Borel-Mengen C R (0; 1) gilt N 0 (C) =
C
Konstruiere N wie im vorherigen Unterabschnitt aus N, beachte Bemerkung 8.6, d.h.
N(C) =
Z
C
N(dt [0;(t)]) ;
N(dt [0; 0 (t)]).
C 2 B. Nach 6.12 ist ( 0 (t)) eine F t2[0;1)
t-Intensitat von N 0 auf [0; 1), dies gilt ebenso fur
((t)) t2R und N, F , def
t = F N0 N
t
; F t . Gema 6.15 lat jN , N 0 j auf [0; 1) die F t -Intensitat
(j(t) , 0 (t)j) zu.
t2[0;1)
Wir dehnen nun den Begri des Shiftes auf Filtrationen und stochastische Prozesse wie folgt aus:
S s F N t
def
= F N s+t
und S s (t) def
= (s + t), s; t 2 R. Hiermit erhalten wir:

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 73
11.9. Lemma. Fur alle s 2 R besitzt der Punkt-Proze S s N die S s F t -Intensitat (S s (t)) t2R .
Beweis: Fur die interne Filtration von N gilt
F SsN
t
= (S s N(C); C 2 B((,1;t]))
= (N(C); C 2 B((,1;s+t])) = F N s+t
= S s F N t
;
und da ((t)) t2R
F N t
-vorhersagbar ist, ist der Proze (S s (t)) S t2R sF N t
-vorhersagbar, also auch
S s F t -vorhersagbar. Ahnlich wie fur die interne Filtration erkennt man S s F t = F s+t . Es folgt fur
(a; b] R
E(S s N((a; b]) j S s F a )=E(N((s + a; s + b]) jF s+a )=E
= E
Z b
a
S s (t) dt
S sF a
:
Z s+b
s+a
(t)dt
F s+a
Lemma 11.9 lat sich analog auf den Proze S s N 0 ubertragen. (S s 0 (t)) t2[,s;1)
ist auf
[,s; 1) eine S s F t -Intensitat. Es folgt, da der Punkt-Proze S s jN , N 0 j auf [,s; 1) die S s F t -
Intensitat (S s j(t) , 0 (t)j) t2[,s;1) zulat.
Sei s 2 (0; 1) beliebig. Fur alle u 2 [s; 1) setzen wir
Z
Z
jh(u , v)j N(dv [0; ]) +
g s (u) def
=
(,1;s]
(,1;0]
jh(u , v)j N 0 (dv) :
11.10. Lemma. Fur alle t 2 [0; 1] sei f s (t) def
= P
jN , N 0 j ((s; s + t]) = 0 jF jN,N0 j
s
gilt die Abschatzung
f s (t) =P
jN,N 0 j((s; s + t])=0jF jN,N0 j
s
Beweis: Die -Lipschitz-Stetigkeit von liefert fur t>0
S s j(t), 0 (t)j=j(s+t), 0 (s+t)j
=
Z
Z
Z
(,1;s+t)
(,1;t)
(,1;t)
h(s + t , u) N(du) ,
h(t , u) S s N(du) ,
Z
Z
(,1;t)
jh(t , u)j S s jN , N 0 j (du):
(,1;s+t)
exp
,
Z s+t
h(s + t , u) N 0 (du)
h(t , u) S s N 0 (du)
s
g s (u) du :
. Hierfur
Auerdem gilt fur die kanonische Filtration des Prozesses der verschiedenen Punkte von N und
N 0 : S s F jN,N0 j
t
S s F t . Gema [Bre81] II. 4., Theorem T14, existiert eine S s F jN,N0 j
t -Intensitat

74 11. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { beschrankte Dynamiken
( s (t)) t2[,s;1) von S s jN , N 0 j auf [,s; 1) der Form s (S s jN , N 0 j ;t) (nach 2.4), diese erfullt
nach obiger Abschatzung
s (S s jN , N 0 j ;t)
Z
(,1;t)
jh(t , u)j S s jN , N 0 j (du):
Zu jeder Realisation S s jN , N 0 j (! 0 ; ) des Punkt-Prozesses konnen wir aufgrund der Unabhangigkeitsbeziehungen,
die zwischen N 0 , (U 0 n) n2Z und ^N 0 gelten, ein ! 2 nden, so da
N 0 (! 0 ; ) =N 0 (!;)
U 0 (! n 0)=U 0(!) falls T 0 (! n n 0) , s 0 und 0 0 + (T 0 (!)) n U0 (!) (T 0 n n
(!)) sonst
S s ^N0 (!0 ; \(,1; 0]) = S s ^N0 (!;\(,1; 0]) und Ss ^N0 (!; (0;t][0; ]) = 0.
Dann gilt S s jN , N 0 j (! 0 ; \(,1; 0]) = S s jN , N 0 j (!;\(,1;t]), denn nach Wahl von !
erhalten wir S s N , (! 0 ; ) =S s N , (!;) und S s N(!;\(0;t]) = S s N 0 (!;\(0;t]).
Es folgt aus 2.6
s (S s jN , N 0 j (! 0 ; \(,1; 0]);t)= s (S s jN,N 0 j(!;\(,1;t]);t)
Z
Z
(,1;t)
(,1;0]
jh(t , u)j S s jN , N 0 j (!; du)
jh(t , u)j S s jN , N 0 j (! 0 ;du):
Fur v 0 gilt jN , N 0 j (fvg) N(fvg) +N 0 (fvg) N(fvg[0; ]) + N 0 (fvg), und im Fall
v>0 gilt nach Konstruktion jN , N 0 j (fvg) N(fvg[0; ]). Die vorherige Abschatzung fuhrt
fur t 2 [0; 1) [ f1g zu
Z t
0
s (S s jN , N 0 j (\(,1; 0]);u) du
=
=
=
Z t
Z
0 (,1;s]
Z s+t
Z
s
Z s+t
s
Z s+t
s
Z
(,1;s]
(,1;0]
g s (u) du:
Somit erhalten wir auf der Menge
Z t
0
Z
(,1;0]
jh(s + u , v)j jN,N 0 j(dv) du
jh(u , v)j jN , N 0 j (dv) du
jh(u , v)j N 0 (dv) du +
nR s+t
P
jN , N 0 j ((s; s + t])=0jF jN,N0 j
s
= exp
,
Z t
0
R
Diese besitzt wegen exp ,
s+t
g
s s (u) du
s
Z s+t
s
Z
jh(u , v)j S s jN , N 0 j (dv) du
(,1;s]
jh(u , v)j N(dv [0; ]) du
g s (u) du < 1 o mit Satz 5.5 die Abschatzung
= P
s (S s jN , N 0 j (\(,1; 0]);u) du
= 0 auf
nR s+t
s
S s jN ,N 0 j((0;t]) = 0 jF SsjN,N0 j
0
Z s+t
exp ,
s
g s (u) du
g s (u) du < 1 o C
uberall Gultigkeit.
:

ii. Existenz und Stabilitat univariater Hawkes-Prozesse 75
11.11. Lemma. Die Punkt-Prozesse N und N 0 koppeln f.s. in endlicher Zeit.
Beweis: Wir rechnen die Bedingungen von Satz 11.7 nach. Deniere dazu fur s 2 (0; 1)
die stochastischen Prozesse
Z(s) def
= exp
,
Z 1
(s) def
= Z(s) , exp
s
Z
,
jh(u , v)j N(dv [0; ]) du
(,1;s]
Z 1
g s (u) du
Diese Prozesse erfullen P
jN , N 0 j ((s; 1)) = 0 jF jN,N0 j
s
die in Satz 11.7 an die gleichnahmigen Prozesse gestellt werden:
Nach Voraussetzung (11.12) des Satzes 11.8 gilt wegen 0 Z(s) 1 f.s.
Z 1 Z
Z(s) 1 , exp ,
lim (s) = lim
s!1 s!1
s
s
:
(,1;0]
Z(s),(s) und die Bedingungen,
jh(u , v)j N 0 (dv) du
=0 f.s.
und (11.1) sichert
E
Z 1 Z
Z 1
= E
sZ 1
=
s
Z 1
=
s
(,1;s]
Z
s
jh(u , v)j N(dv [0; ]) du
Z
Z
Z
[0;1)
(,1;s]
(,1;s]
[u,s;1)
jh(u , v)j N(dv [0; ])
jh(u , v)j dv du
jh(v)j dv du
u jh(u)j du < 1;
du
wonach also Z(s) > 0 f.s. gilt. Es existiert also ein 2 (0; 1) mit P(Z(s) ) . Nach 6.6
,
ist P N ; (S t ) t2R
ergodisch, und fur alle t 2 R besitzt Z(t) die Darstellung
Z
Z(t) = exp
= exp
,
,
Z 1
t
Z 1
0
Z
(,1;0]
(,1;0]
jh(u , t , vj N(t + dv [0; ]) du
jh(u , v)j S t
N(dv [0; ]) du
= f , S t
N
fur eine geeignete Funktion f : M ! [0; 1). Gema [BFL90] Theorem 3.6.2 ist auch die zweite
in 11.7 an Z(s) gestellte Bedingung erfullt:
1
lim
t!1 t
Z s+t
s
, Z
1 [;1),
f SuN
1 t
, ,
du = lim 1
t!1 t
[;1),
f Su SsN du
0
Z ,
1 [;1),
f SsN dP = P(Z(s) ) f.s..
Satz 11.7 zeigt die f.s. Kopplung von N und N 0 in endlicher Zeit.
Die Stabilitatsaussage 11.8 ist nun eine Konsequenz aus 4.6.
=

76 11. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { beschrankte Dynamiken
11.12. Lemma. Die im Satz 11.6 noch fehlende Eindeutigkeit erhalten wir durch nachrechnen
der Anfangsbedingung (11.12) aus Satz 11.8.
Beweis: Gegeben sei ein stationarer Punkt-Proze N mit Dynamik (D1) auf R, welcher
(11.1) erfullt. Fur t 2 (0; 1) gilt aufgrund der Beschranktheit von und dem Satz von Fubini
Z 1 Z
Z 1 Z
0 E jh(s , u)j N(du) ds E jh(s , u)j du ds
t (,1;0]
t
(,1;0]
Z 1 Z 1
Z 1
= jh(u)jdu ds s jh(s)j ds;
so da (11.1) lim t!1
R 1
t
t
s
R
(,1;0]
t
jh(s , u)j N(du) ds =0f.s. liefert.

Kapitel III.
Der K-variate Fall { Existenz und
Stabilitat nichtlinearer Hawkes-Prozesse
Ziel des folgenden Kapitels wird sein, die Ergebnisse des Falls univariater Punkt-Prozesse auf
den K-variaten Fall (K > 0) zu erweitern. Die Voraussetzungen werden an diese Situation
angepat, so da die Techniken zum Beweis denen aus dem vorherigen Kapitel entsprechen oder
zumindest ahneln. Wir werden daher einige Beweisteile kurz halten, die Details konnen dann im
entsprechenden Abschnitt fur univariate Prozesse nachgelesen und mit geringen Modikationen
im vorliegenden Fall verwendet werden.
Wir erinnern daran, da fur einen K-variaten Punkt-Proze N =(N 1 ;:::;N K ) die einzelnen
Punkt-Prozesse N 1 ;:::;N K einfache Prozesse bilden und keine gemeinsamen Punkte besitzen sollen.
Eine Filtration fur N und jeden der K Prozesse wird gegeben durch F t
def
= , F N i
t ;1iK .
Dabei soll jeder Punkt-Proze N i eine F t -Intensitat ( i (t)) t2R gema (D2) besitzen.
12. Stabilitat bei Intensitaten mit beschranktem
Speicher
Zunachst wird der Begri der Abbildung und Intensitat mit beschranktem Speicher auf die
vorliegende Situation erweitert:
12.1. Denition. Sei : , M K ; M K ! ([0; 1); B + ). Die Abbildung besitzt einen beschrankten
Speicher (bzw. Gedachtnis) der Lange A 2 (0; 1), wenn fur m i ;m 0 i
2 M aus der Gleichheit
von m i und m 0 auf [,A; 0) fur alle 1 i K immer (m i 1;:::;m K )= (m 0 1 ;:::;m0 ) folgt.
K
Analog zur Denition 8.1 besitzt der K-variate Punkt-Proze (N 1 ;:::;N K ) eine F t -Intensitat
( 1 (t);:::; K (t)) t2R
mit beschranktem Speicher der Lange A 2 (0; 1), falls fur alle Elemente
i 2f1;:::;Kg
(12.1)
i (t)= i (S t N 1 ;:::;S t N K )
77

78 12. Stabilitat bei Intensitaten mit beschranktem Speicher
mit einer mebaren Abbildung i : M K ! [0; 1) mit beschranktem Speicher der Lange A gilt.
Die Verallgemeinerung der Satze 8.5 und 8.7 auf K-variate Punkt-Prozesse stellt der nachfolgende
Satz dar:
12.2. Satz (K-variate Dynamiken mit beschranktem Speicher). Die Abbildungen
(12.2)
i : , M K ; M K ! , [0; 1); B + ; 1 i K;
seien durch ein 2 (0; 1) beschrankt und besitzen einen beschrankten Speicher der Lange A 2
(0; 1).
Es gibt dann ein eindeutiges stationares Verteilungsgesetz des multivariaten Punkt-Prozesses
N = (N 1 ;:::;N K ), so da die einzelnen Punkt-Prozesse N i den stochastischen Proze
-Intensitat zulassen, wobei die gemeinsame Filtration
i (t) = i (S t N 1 ;:::;S t N K ), t2 R, als F N t
,
F
N
def
t
= F
N k
t ;1kK
durch F N t2R t
keine gemeinsamen Punkte.
gegeben wird. Die Prozesse N i , 1 i K, besitzen
Die Dynamik ( 1 (S t N 1 ;:::;S t N K );:::; K (S t N 1 ;:::;S t N K )) t2R
ist auch hier, unabhangig
von der Anfangsbedingung, stabil in Variation, und die auftretende Konvergenz in Variation ist
exponentiell schnell.
Da der Nachweis von 12.2 dem von 8.5 und 8.7 ahnelt, wird im nun folgenden Beweis an
einigen Stellen auf eine detaillierte Ausfuhrung einzelner Schritte verzichtet. Diese konnen aus
den Beweisen von 8.5 bzw. 8.7 ubernommen werden.
Beweis (von 12.2): Wenden wir uns als erstes dem Existenzbeweis zu. Es sei (; F) der
kanonische Raum der markierten Punkt-Prozesse auf R mit Marken in [0; 1] (oder, gegebenenfalls
das K-fache Produkt dieser Raume) und t = S t . Mit P wird ein Wahrscheinlichkeitsma auf
(; F) bezeichnet, welches P t = P erfullt.
Zunachst befassen wir uns mit der Konstruktion eines stationaren Punkt-Prozesses: Die Punkt-
Prozesse N i =(T i;n ;U i;n ) n2Z
(1 i K) seien untereinander unabhangig und
(T i;n ) n2Z sei ein homogener Poisson-Proze mit F N
t
-Intensitat 2 (0; 1)
(U i;n ) n2Z
sei eine Folge unabhangiger, identisch R[0; 1]-verteilter Zufallsvariablen
(T i;n ) n2Z und (U i;n) n2Z
seien stochastisch unabhangig
fur alle i 2f1;:::;Kg, Ni
(!;) =!() (oder, falls das K-fache Produkt des kanonischen Raums
betrachtet wird: Ni
N
((! 1 ;:::;! K );)=! i ()). Durch F def
t
= F
Ni
t ;1i K wird eine Filtration
der obigen Punkt-Prozesse gegeben.
Nach dem Disjunktheits-Lemma besitzen die Prozesse N i ,1iK,keine gemeinsamen Punkte,
und das Superpositions-Theorem zeigt, da
N 0 = , (T i;n ) n2Z
1iK

iii. Der K-variate Fall 79
N
ein Poisson-Proze mit F t
-Intensitat K < 1 ist (vergleiche dazu [Kin93] 2.2). Die in ublicher
Weise angeordneten Punkte von N 0 werden mit (T 0;n ) bezeichnet.
n2Z
Konstruiere nun den Punkt-Proze R aus N 0 , der auch hier die Startpunkte fur die Konstruktion
der stationaren Punkt-Prozesse N i beinhaltet: T 0;n ist ein Punkt des Punkt-Prozesses
R, falls T 0;n , T 0;n,1 > A. Da die N i nach Vorgabe t -kompatibel sind, folgt dies auch fur den
Punkt-Proze R (vergleiche Beweis von 8.5).
Setze fur C 2 B
N i (C) def
=
Z
C
N i
dt
0;
i(S t N 1 ;:::;S t N K )
;
1 i K. Wie wir spater sehen werden, ist diese Festlegung auch hier sinnvoll.
Behauptung 1. Falls die Punkt-Prozesse N 1 ;:::;N K konstruierbar sind, lassen sie sich auf
[R k ; 1) ohne Kenntnis von N 1 ;:::;N K auf (,1;R k ) konstruieren.
Begrundung: Nach Wahl der R k gilt
0 N i ([R k , A; R k ))
Z
[R k ,A;R k )
N i (dt [0; 1]) =0:
Fur alle ! 2 und t 2 [R k (!); 1) zeigt sich damit wie gewunscht fur alle i 2f1;:::;Kg
(12.3)
i (!; t) = i (S t N 1 (!;);:::;S t N K (!;))
= i (N l (!; ( + t) \ [t , A; t) \ [R k (!); 1)) ; 1 l K)
aufgrund des beschrankten Speichers der Abbildungen 1 ;:::; K .
Da lim k!,1 R k = ,1 (nach 6.3) ergibt sich die folgende
Behauptung 2. Fur i 2f1;:::;Kg ist N i auf ganz R konstruierbar.
Begrundung: Geeignete Punkt-Prozesse fur eine induktive Konstruktion fur den Fall
K = 1 werden durch Gleichung (8.3) angegeben. Fur den Fall K > 1 wird die Konstruktion
analog durchgefuhrt:
Deniere zu festem k 2 Z induktiv die Punkt-Prozesse
i(;;:::;;)
0;
N (k;0)
i
N (k;n)
i
def
= N i
\fT 0;k g
def
=
Z
\[T 0;k ;T 0;k +n]
N i
dr
0; 1
i
S r N (k;n,1)
j
;1j K
;
1 i K, n 2 N, mit k wie vor 8.4 deniert. Wir konnen induktiv entscheiden, ob der Punkt
T 0;k +n zu einem der Prozesse N (k;n)
i
N i gehort:
gehort, 1 i K. Damit ist festgelegt, ob dieser Punkt zu
N i (\[T 0;k ;T 0;k +n]) = N (k;n)
i
;
1 i K.

80 13. Existenz im Fall nichtfallender Anregungsfunktionen
Die t -Kompatibilitat der Prozesse N 1 ;:::;N K ist auch im multivariaten Fall eine direkte
Folge der t -Kompatibilitat der Prozesse N 1 ;:::; N K und R.
N
Analog zu A1.8 lat sich die F t
-Adaptiertheit von N 1 ;:::;N K zeigen. Dabei ist die Mebarkeit
der Prozesse N (n)
i;t
der Form (A1.10), die jeweils aus den Punkt-Prozessen N i entstehen,
parallel zu betrachten, da sie voneinander abhangen. Diese Konstruktion wird induktiv fur alle
k 2 N jeweils auf den Mengen 9n 2 Z : T i;n = T , k (s)
durchgefuhrt, T , k
(s) wird wie in (A1.7)
aus N 0 =(T 0;n ) n2Z
gebildet (1 i K).
Lemma 6.8 zeigt die F P N K
t
-Vorhersagbarkeit von
j=1
R(,1;t) h N
ji(t , s) N j (ds), woraus die F t
-
Vorhersagbarkeit von ( i (t)) t2R folgt (1 i K).
N
Nach 6.11 lat N i die F N
t
-Intensitat ( i (t)) t2R zu. Da F t eine Unter--Algebra von F t
alle t 2 R ist, stellt ( i (t)) t2R ebenfalls eine F t -Intensitat von N i dar (1 i K).
Die Stationaritat von N ist eine Folge von P t
N 1 ;:::;N K , vergleiche 5.7.
fur
= P und der t -Kompatibilitat von
Nun zur Stabilitat von N. Da der Proze der "
Regenerationspunkte\ samtliche Punkte der
Prozesse N 1 ;:::;N K berucksichtigt, lat sich die Kopplungszeit T , hier deniert unter Nutzung
der Punkte des Prozesses N 0 , und somit der Beweis zu 8.7 ubernehmen.
Lemma 4.7 zeigt sodann die Eindeutigkeit des stationaren Punkt-Prozesses.
13. Existenz im Fall
nichtfallender Anregungsfunktionen
Die Erweiterung von Satz 9.1 ist weniger kanonisch. Wir zeigen hier die Version fur bivariate
Punkt-Prozesse. Die Beschrankung des Wachstums von , siehe Gleichung (9.1), mu der Beschranktheit
(13.3) weichen.
13.1. Satz (Wachsende Anregungsfunktionen). Gegeben seien zwei nichtnegative mebare
Funktionen h 11 , h 22 auf [0; 1) mit
(13.1)
Z
h 11 (x) dx < 1 und
[0;1)
[0;1)
Z
h 22 (x) dx < 1:
Ferner seien h 12 und h 21 nichtnegative (oder beide nichtpositive) mebare Funktionen auf [0; 1),
die
(13.2)
,1 <
Z
h 12 (x) dx < 1 und ,1<
[0;1)
[0;1)
Z
h 21 (x) dx < 1
erfullen. Fur die nichtnegativen, nichtfallenden Funktionen 1 und 2 , deniert auf R, gelte
(13.3)
1 (x) und 2 (x) fur alle x 2 R

iii. Der K-variate Fall 81
und ein > 0. Auerdem sei 1 linksseitig stetig. Sind h 12 ;h 21 0, so sei 2 ebenfalls linksseitig
stetig, im Fall h 12 ;h 21 0 rechtsseitig stetig.
In dieser Situation existiert ein stationares Verteilungsgesetz fur den bivariaten Punkt-
Proze N =(N 1 ;N 2 ) mit der Dynamik (D2).
Beweis: Es bezeichne (; F) den kanonischen Raum der Punkt-Prozesse auf R mit [0; 1]-
wertigen Marken (bzw. das zweifache Produkt dieses Raumes). Auf (; F) seien zwei untereinander
unabhangige Punkt-Prozesse N 1 = (T 1;n ;U 1;n ) und n2Z
N 2 = (T 2;n ;U 2;n ) n2Z
deniert, fur
die
(T i;n ) n2Z
(U i;n ) n2Z
ein Poisson-Proze mit Intensitat 2 [0; 1) ist
unabhangige identisch R[0; 1]-verteilte Zufallsgroen sind
(T i;n ) n2Z und (U i;n) n2Z
unabhangig sind,
i = 1; 2. Die Konstruktion des gewunschten bivariaten Punkt-Prozesses wird erneut induktiv
durchgefuhrt. Setze (0)
1 (t) 0 und
(0)
2 (t)
(
0 falls h 12 ;h 21 nichtnegativ
falls h 12 ;h 21 nichtpositiv :
Fur n 2 N 0 wird der bivariate Punkt-Proze N (n) (C) = N (n)
1 (C);N (n)
2 (C) , C 2 B, und
der bivariate stochastische Proze (n+1) (t) = (n+1)
1
(t); (n+1)
2
(t) , t 2 R, deniert durch die
Komponenten
Z
#!
N (n)
i
(C) = N i dt
"0; (n) i
(t)
C
(13.4)
2X Z
!
(n+1)
i
(t) = i h ji (t , s) N (n)
j
(ds)
j=1
(,1;t)
i =1;2. Analog zu 7.1 konnen wie die t -Kompatibilitat von N (n)
i
und
somit mittels 5.7 bei gleichem Vorgehen wie in 8.4 die Stationaritat zeigen.
Deniere eine gemeinsame Filtration von N 1 und N 2 durch F N
t
Behauptung 1.
Proze
(n)
i
(t)
t2R
Die Punkt-Prozesse N (n)
1
und N (n)
N
2
sind F t
ist eine F N
t
(n)
i
t2R
def
=
F
N1
t ; F N 2
t
-Intensitat von N (n)
i
fur alle n 2 N 0 (i =1;2).
, i =1;2, und
.
-adaptiert, und der stochastische
Begrundung: Eine Induktion zeigt das Gewunschte. Sei C 2 B((,1;t]) fur ein t 2 R.
Im Fall n = 0 ist (0)
i
(t) 2f0;gund
N (0)
i
(C) =
Z
C
N i
dt
"0; (0) i
(t)
#!
= N i C
"0; (0) i
(t)
#!

82 13. Existenz im Fall nichtfallender Anregungsfunktionen
F N
t
-mebar. Nach 6.11 stellt (0)
N
i
(t) eine F t
-Intensitat von N (0)
i
dar (i =1;2).
Gelte Behauptung 1 fur n 2 N. Dann zeigt 6.8, da durch h (,1;t) ji(t , s) N (n)
j
N
F t
-vorhersagbarer Proze deniert wird. Daher gilt dies auch fur
N
6.9 die F t
-Adaptiertheit von N (n+1)
i
N
F t
-Intensitat von N (n)
stetig ist.
R
(n+1)
i
resultiert. Erneut zeigt Satz 6.11, da
(t)
t2R
(n+1)
i
(ds) ein
t2R
, woraus nach
(t)
t2R
eine
i
darstellt (i =1;2).
Wir betrachten zunachst den Fall, da h 12 und h 21 nichtnegativ sind, also 2 linksseitig
Behauptung 2. Fur alle t 2 R, C 2 B und n 2 N gilt
(13.5)
(n,1)
i
(t) (n)
i
(t) und N (n,1)
i
(C) N (n)
i
(C);
d.h. die Zufallsvariablen (n)
i
(t) und N (n)
i
(C) sind monoton wachsend in n (i =1;2).
Begrundung: Auch hier kommt eine Induktion nach n zum Einsatz. Der Induktionsanfang
ist klar: Da i nichtnegativ ist, folgt (0)
i
(t) 0 (1)
i
(t), was zu
Z
#! "0; (1) i
fuhrt, i =1;2.
N (0)
i
(C) = N i (Cf0g)
C
N i
dr
(r)
= N (1)
i
(C)
Gelte (13.5) fur n 2 N und i = 1; 2. Nach Voraussetzung gilt h ji 0 (i; j 2 f1; 2g). Hieraus
ergibt sich
Z
(,1;t)
Z
h ji (t , s)N (n,1)
j
(ds)
(,1;t)
h ji (t , s)N (n)
j
(ds);
was unmittelbar nach Denition zu (n)
i
(t) (n+1)
i
(t) aufgrund der Monotonie von i fuhrt,
i =1;2. Damit folgt auerdem
N (n)
i
(C) =
Z
C
N i
wie gewunscht (i =1;2).
dr
"0; (n) i
(r)
#!
Zu jedem t 2 R und C 2 B existiert i (t) def
jedoch kann N i (C) auch den Wert "
1\ annehmen.
Der Satz von der monotonen Konvergenz zeigt
R
C 1h 0; i (t)
Z
C
1 h
0; i
(z) N (t)
i (dt dz) N i (C) =
Z
C
Z
C
N i
dr
"0; (n+1) i
(r)
#!
= N (n+1)
i
(C);
= lim n!1 (n)
(t) und N i (C) def
= lim n!1 N (n)
(C),
Z
C
i
lim
n!1 1 h0; (n) i
(t)
1 h i
0; i
(z) N (t)
i (dt dz):
i (z) Ni (dt dz)
Wir konnen analog zu 6.11 zeigen, da durch ( i (t)) eine F N
t2R
-Intensitat des Punkt-Prozesses
(z) N i (dt dz)
t
gegeben wird. Dies gilt ebenso fur den Punkt-Proze, der wie
C2B
i

iii. Der K-variate Fall 83
zuvor, jedoch mit dem rechts abgeschlossenen Intervall, deniert wird. Damit erkennen wir, da
N i die F N
t
-Intensitat ( i (t)) t2R
Behauptung 3. Die Intensitat ( i (t)) t2R
Begrundung: Nach oben kann die Folge
h ji 0(j2f1;2g) abgeschatzt werden durch
(n)
zulat, vergleiche dazu auch Lemma 11.1.
2X Z
i
(t) i
j=1
ist von der gewunschten Form (D2) (i =1;2).
(,1;t)
(n)
i
(t)
n2N
h ji (t , s) N j (ds)
da i monoton wachsend ist. Andererseits ist i (t) eine obere Schranke von
i
2X Z
j=1
(,1;t)
h ji (t , s) N (n)
j
(ds)
!
wegen N (n)
i
(C) " n!1 N i (C) und
!
;
; n 2 N
denn (n)
i
(t) " n!1 i (t), was im Grenzubergang n ! 1 aufgrund der linksseitigen Stetigkeit
von i Behauptung 3 zeigt. Wir haben also einen Punkt-Proze mit der gewunschten Dynamik
erhalten. Beachtet man die Uberlegungen vor Behauptung 1, so ist klar, da N t -kompatibel
ist, woraus wie ublich die Stationaritat folgt.
Gelte h 12 ;h 21 0, also ist 2 rechtsseitig stetig und (0)
2 (t) . Es werden vergleichbare
Aussagen wie zuvor nachgerechnet.
Behauptung 4. Fur i =1bleiben unter den geanderten Voraussetzungen die Zuvallsvariablen
(n)
i
(t) und N (n)
i
(C) monoton wachsend fur alle t 2 R und C 2 B, d.h. es gilt (13.5), fur i =2
sind sie monoton fallend:
(13.6)
(n,1)
2 (t) (n)
2 (t) und N (n,1)
2 (C) N (n)
2 (C)
fur alle t 2 R, C 2 B und n 2 N.
Begrundung: Der Induktionsanfang folgt sofort aus 0 i , i = 1; 2. Gelten nun
(13.5) und (13.6) fur ein n 2 N. Dies liefert gemeinsam mit h 11 0 und h 21 0
Z
(,1;t)
h j1 (t , s) N (n,1)
j
(ds)
Z
(,1;t)
h j1 (t , s) N (n)
j
(ds)
fur j =1;2. Nach Denition fuhren diese Uberlegungen zu (n)
1
(t) (n+1)
1
(t). Wie in Behauptung
2 schliet man hieraus N (n)
1 (C) N (n+1)
1 (C). Da h 12 0 und h 22 0, gilt
Z
(,1;t)
h j2 (t , s) N (n,1)
j
(ds)
Z
(,1;t)
h j2 (t , s) N (n)
j
(ds);
j =1;2, woraus (n)
2
(t) (n+1)
2
(t) und schlielich N (n)
2
(C) N (n+1)
2
(C) folgt.
Auch in diesem Fall existiert also i (t) def
= lim n!1 (n)
(t) wie auch N i (C) def
= lim n!1 N (n)
(C)
fur t 2 R, C 2 B, und erfullt die gewunschten Mebarkeitseigenschaften (i =1;2).
i
i

84 14. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { der unbeschrankte Fall
Sei (a; b] R. Nach Wahl von N besitzt N ((a; b] [0; 1]) eine Poi((b , a))-Verteilung,
,
also E N ((a; b] [0; 1]) =(b,a). Majorisierte Konvergenz im bedingten Fall zeigt
N
E N i ((a; b]) jF
a
= lim
n!1 E N (n)
N
i
((a; b]) F a
Z
Z
= lim
n!1 E
(a;b]
(n)
i
(t) dt
F N
a
= E
d.h. ( i (t)) t2R ist eine F N
t
-Intensitat von N i (i =1;2).
Wir konnen in dieser Situation Behauptung 3 abschreiben:
(a;b]
i (t) dt
F N
a
;
Behauptung 5. Die Intensitat ( i (t)) t2R
ist von der gewunschten Form (D2) (i =1;2).
Begrundung: Im Fall i = 1 fuhrt die gleiche Argumentation wie im Nachweis von Behauptung
3 zum Ziel. Fur 2 (t) gelten die Abschatzungen
2X Z
2 (t) 2
(n)
2 (t) 2
Die rechtsseitige Stetigkeit von 2
N (n) # n!1 N.
2X Z
j=1
j=1
(,1;t)
(,1;t)
h j2 (t , s) N j (ds)
!
h j2 (t , s) N (n)
j
(ds)
zeigt im Grenzubergang n ! 1 das Gewunschte, denn
Wir haben gesehen, da ( i (t)) in beiden Fallen eine F N
t2R t
-Intenstitat von N i darstellt.
und ( i (t)) ist ein F t2R t-vorhersagbarer stochastischer Proze,
Nach Konstruktion gilt F t F N
t
woraus folgt, da ( i (t)) t2R auch eine F t-Intensitat von N i ist (i =1;2).
!
:
14. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { der
unbeschrankte Fall
Die Ubertragung der Aussagen der Satze 10.5, 10.10 und 10.12 auf den K-variaten Fall ndet
sich wieder im
14.1. Satz (unbeschrankte Lipschitz-Dynamik). Gegeben seien ein K 2 N und i -Lipschitz-stetige
Funktionen i : R ! [0; 1), 1 i K. Die Funktionen h ji :[0;1)!R seien so
gewahlt, da die Matrix
(14.1)
A =(a ij ) i=1;:::;K
j=1;:::;K
def
=
i
Z 1
0
jh ji (t)j dt
i=1;:::;K
j=1;:::;K
endliche Eintrage und einen Spektral-Radius echt kleiner 1 besitzt. Dann gilt:

iii. Der K-variate Fall 85
(i) Es gibt ein eindeutiges stationares Verteilungsgesetz N =(N 1 ;:::;N K ) mit Dynamik (D2)
und endlichen durchschnittlichen Intensitaten i = E(N i ((0; 1])), 1 i K.
(ii) Sei N K 0
die Menge aller K-variaten Punkt-Prozesse N = (N 1 ;:::;N K ) mit Intensitat
f.s. lokal inte-
( 1 (t);:::; K (t)) auf [0; 1), fur die die Abbildung t 7! E, t2[0;1)
i (t)jF N 0
grierbar auf [0; 1) ist, 1 i K. Fur t 2 R und a 2 (0; 1) sei
(14.2)
" a (t) = X
i=1;:::;K
j=1;:::;K
Z t_0
(t,a)_0
Z
(,1;0]
jh ji (s , u)j N j (du) ds:
In der Menge N K 0 ist die Dynamik (D2) stabil in Verteilung bezuglich jeder der folgenden
Anfangsbedingungen
(AB i') sup t0 " a(t) < 1 f.s. und lim t!1 " a (t) =0f.s. fur alle a>0
(AB ii') sup t0 E(" a (t)) < 1 und lim t!1 E(" a (t)) = 0 fur alle a>0.
(iii) Gelte in der Situation von (ii) zusatzlich R 1
0
t jh ji (t)j dt < 1 fur i; j 2 f1;:::;Kg, dann
ist (D2) auf N0
K stabil in Variation bezuglich der Anfangsbedingung
P R 1 R
(AB iii') jh i=1;:::;K
j=1;:::;K 0 (,1;0] ji(t , s)j N j (ds) dt < 1 f.s..
Beweis (Satz 14.1(i)): Um die Existenz eines stationaren Verteilungsgesetzes zu beweisen,
bedienen wir uns erneut einer induktiven Konstruktion: Sei (; F) der kanonische Raum
der Punkt-Prozesse auf R 2 (ggf. das K-fache Produkt dieses Raumes) und P ein Wahrscheinlichkeitsma
mit P t = P . N1 ;:::; N K bezeichnen K bivariate t -kompatible Poisson-Prozesse
N auf R 2 K
der Intensitat 1, die stochastisch unabhangig sind. Falls (; F) =
i=1 (M0 2 ; M0 2) gelte
N i ((! 1 ;:::;! K );)=! i (), ansonsten N i (!;) =!(). Eine gemeinsame Filtration dieser Prozesse
ist F N
t
def
1 i K.
zeigen, da
=
F
Ni
t
;1iK
N (n)
i
(C) def
=
Z
C
X
K
(n+1)
i
(t) def
= i
j=1
(n)
i
t2R
. Setze (0)
i
0 (1 i K) und deniere induktiv
N i
dt h i
0; (n)
i
(t) ; C 2 B;
Z
!
(,1;t)
h ji (t , s) N (n)
j
(ds)
; t 2 R;
(a) Nach Voraussetung ist i eine i -Lipschitz-stetige Funktion. Analog zu 7.1 konnen wir
N
(t) F N
t
-vorhersagbar und eine t -kompatible F t
-Intensitat von N (n)
i
ist.
Auerdem ist N (n) N
F t
-adaptiert und t -kompatibel. Mit Hilfe von 6.15 und dem Satz von Fubini
erhalten wir die Ungleichung
E (n+1)
i
(0) , (n)
i
(0)
i E
KX Z
j=1
(,1;0)
jh ji (,s)j N
(n)
j
, N (n,1)
j
(ds)
!

86 14. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { der unbeschrankte Fall
= i E
= i
K X
j=1
KX Z
Z
j=1
(,1;0)
(,1;0)
jh ji (,s)j
(n)
j
(s) , (n,1)
j
jh ji (,s)j ds E (n)
j
(0) , (n,1)
(s) ds
j
(0)
Bei der letzten Gleichheit wurde P t = P und die t -Kompatibilitat der Punkt-Prozesse
N 1 ;:::; N K genutzt, die dazu fuhrt, da die Prozesse (t) und N i ebenfalls t -kompatibel
t2R
sind (analog zu 7.1(i)). Zu n 2 N folgt fur den Intensitatenvektor\ (n+1) (0) "
, (n) (0)
(n)
i
0
,
E (n+1) (0) , (n) (0) E (n+1)
= B
@
E (n+1)
K
0
B
@
1
P K
j=1
K
P K
j=1
R
R
[0;1) h j1(s) ds E
[0;1) h jK(s) ds E
= AE , (n) (0) , (n,1) (0) ;
1
C
A
(0) K
1 (0) , (n)
1 (0)
.
.
(n)
(0) , (n)
j
(n)
j
(0) , (n,1)
j
(0)
(0) , (n,1)
j
(0)
1
C
A
die Ungleichung ist komponentenweise zu lesen. Induktiv gelangt man hiermit unter Verwendung
von N (0)
j
= N j (f0g)Poi(0) zur Ungleichung
, E (n+1) (0) , (n) (0)
, A n E (1) (0) , (0) (0)
0 1
= , A n E (1) (0) E(j 1 (0)j)
=
B
A n @
C
. A
E(j K (0)j)
K max
1iK
i (0) kA n k :
Nach [Asm87] Kapitel X 1. Lemma 1.1 (iv) gibt es ein k 2 N 0 , so da sich A n fur n ! 1 mit
geeignetem k wie n k n
!
:
verhalt, bezeichne den Spektralradius von A. Unter Ausnutzung des
Quotientenkriteriums (z.B. [For76] x7 Satz 7) folgt
K max i (0)
1iK
1X
n=0
n k n < 1;
denn

iii. Der K-variate Fall 87
d.h. (n)
i
(0) konvergiert im L 1 (; F;P)-Sinn gegen ein passendes i (0) fur n !1.Fur beliebiges
t 2 R deniere i (t) def
= i ( t ; 0) = lim n!1 (n)
i
( t ; 0) = lim n!1 (n)
i
(t).
Der weitere Beweis wird nicht in allen Details durchgefuhrt, denn ab nun konnen wir die
Beweisschritte zu Satz 10.5 ubernehmen. Aus
P (n+1)
i
(0) , (n)
i
(0)
folgt die f.s. Gultigkeit von lim n!1 (n)
i
(0) = i (0).
(b) Die Endlichkeit von
1X
n=0
P
Z
C
N (n+1)
i
, N (n)
i
(ds) 6= 0
n
> A 2 n
K max i (0) A 2
1iK
n (C)
bei vorliegen beschrankten Mengen C 2 B zeigt nach Borel-Cantelli
P
lim sup
n!1
Z
d.h. die Lage der Punkte von N (n+1)
i
C
N (n+1)
i
und N (n)
i
, N (n)
i
1X
n=0
(ds) 6= 0
E (n+1)
i
(0) , (n)
=0;
i
(0)
< 1
auf C stimmen f.s. ab einem genugend groen
f.s., 1 i K. Nach
n uberein. Somit gibt es einen Punkt-Proze N mit N i = lim n!1 N (n)
i
Konstruktion ist N i t -kompatibel, hieraus folgt mit P t = P wie ublich die Stationaritat.
Fur alle 1 i K stimmt N i mit ,R C
N i (ds [0; i (s)]) C2B
fur beschrankte Mengen C 2 B eine Abschatzung nden:
E
Z
C
Ni (ds) , N i (ds [0; i (s)])
n (C) lim
n!1 E
(n)
Der Proze N i hat also die F N
t
-Intensitat ( i (s)) s2R .
(c) Um die Darstellung der F N
t
zunachst i (0). Hierfur gilt
E
X
K Z
i(0) , i
j=1
(,1;0)
E i
(0) , (n+1)
KX Z
+ E
i
j=1
i
(0)
E i
(0) , (n+1)
n!1
,,,! 0;
somit ist i (0) = i
P K
j=1
f.s.. Dies sorgt gemeinsam mit der t -Kompatibilitat
fur die Gleichheit
(,1;0)
i
(0)
R
f.s. uberein: Erneut lat sich
i
(0) , i (0)
=0:
-Intensitat in der Form (D2) zu erhalten, betrachten wir
h ji (,s) N j (ds)
! !
h ji (,s) N (n)
j
(ds)
X
K Z
+ i
j=1
(,1;0) h ji(,s) N j (ds)
i (t) = i ( t ;0) = i
K X
j=1
(,1;0)
Z
!
, i
K X
j=1
Z
(,1;0)
jh ji (,s)j ds E (n)
h ji (,s) N j (ds)
j
(0) , j (0)
! !
(,1;t)
h ji (t , s) N j (ds)
!
:

88 14. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { der unbeschrankte Fall
Nach Konstruktion wird durch ( i (s)) s2R ebenfalls eine F N t
-Intensitat von N i gegeben, denn
( , i (s)) ist aufgrund der vorhergehenden Darstellung F N s2R t
-vorhersagbar, dabei gilt F N t
=
F N i
t ;1i N
K F t
.
(d) Um den Existenzbeweis abzuschlieen, wird noch die Endlichkeit von E(N i ((0; 1]))
benotigt. Hierfur besteht aufgrund der i -Lipschitz-Stetigkeit der i die komponentenweise Abschatzung
(14.3)
0 PK
1 E
j=1
B
@ PK
K E
j=1
R(,1;t) jh j1(t , s)j N (n)
j
(ds)
.
R(,1;t) jh jK(t , s)j N (n)
j
(ds)
1
nX
C
A
k=1
0
1 (0)
B
A k .
@
K (0)
fur alle n 2 N 0 . Den Nachweis fuhren wir durch eine Induktion nach n.
Begrundung: Der Fall n = 0 ist nach Denition der Prozesse N (0)
1
;:::;N (0)
K
klar. Gelte
(14.3) fur ein n 2 N 0 . Fur die i-te Komponente gilt aufgrund der j -Lipschitz-Stetigkeit von j
(1 j K) und dem Satz von Fubini
i E
KX Z
j=1
i E
(,1;t)
+ i E
0
B
= @A
0
B
@
KX Z
j=1
+ i
K X
j=1
jh ji (t , s)j N (n+1)
j
(ds)
(,1;t)
KX Z
j=1
1 (0)
.
K (0)
Z
(,1;t)
11
C
A
C
A
(,1;t)
i
!
jh ji (t , s)j j (0) ds
jh ji (t , s)j
jh ji (t , s)j j E
KX
l=1
!
j
Z
KX Z
l=1
(,1;s)
(,1;s)
1
C
A
jh lj (s , u)j N (n)
l
(du) ds
jh lj (s , u)j N (n)
l
(du)
!
!
ds:
Durch Anwendung der Induktionsvoraussetzung erhalten wir hieraus
i E
KX Z
j=1
A
= A
0
B
@
0
B
@
(,1;t)
1 (0)
C
. A +
K (0)
jh ji (t , s)j N (n+1)
j
(ds)
1
0
B
@ i
1 (0)
C
. A + A
K (0)
1
nX
k=1
KX Z
j=1
(,1;t)
0
1 (0)
B
A k .
@
K (0)
!!
1iK
jh ji (t , s)j
1
C
A
0
BX
@ n
k=1
0
1 (0)
B
A k .
@
K (0)
11
C
A
C
A
j
ds
1
C
A
1iK

iii. Der K-variate Fall 89
=
Xn+1
k=1
0 1
1 (0)
B
A k @
C
. A :
K (0)
Wie bereits in (a) gesehen, bleibt die rechte Seite von Abschatzung (14.3) auch nach dem
Ubergang zu n !1endlich, dies sichert die geforderte Endlichkeit, denn aus ( i ist i -Lipschitzstetig)
0
B
@
fur alle n 2 N folgt
E(N 1 ((0; 1]))
C
. A =
E(N K ((0; 1]))
1
0
B
@
E( 1 (0))
.
E( K (0))
1
C
A
0
E 1 (0) , (n+1)
1
(0) 1 0
B
.
@
E K (0) , (n+1)
K
(0) C
A + B
@
0
E 1 (0) , (n+1)
1
(0) 1
0
B
.
@
E K (0) , (n+1)
K
(0) C
B
A + @
0
1 EP K
j=1
+ B
@
K EP K
j=1
0
E 1 (0) , (n+1)
1 (0) 1
0
B
.
@
E K (0) , (n+1)
K
(0) C
B
A + @
!
E(N 1 ((0;1]))
.
E(N K ((0;1]))
!
1(0)
.
K (0)
E
E
1 (0)
.
K (0)
(n+1)
1
(0)
.
(n+1)
K
(0)
1
C
A
1
C
A
R(,1;t) jh j1(t , s)j N (n)
j
(ds)
.
R(,1;t) jh jK(t , s)j N (n)
j
(ds)
1 (0)
C
. A +
K (0)
1
+ P 1
k=1 Ak 1 (0)
.
K (0)
nX
k=1
!
0
1 (0)
B
A k .
@
< 1.
K (0)
1
C
A
(e) Der Beweis der Eindeutigkeit des stationaren Prozesses nutzt die noch nachzuweisende
Aussage (ii) des Satzes. Wir rechnen Voraussetzung (AB ii') nach: Bezeichne ~ N =
N
einen stationaren Punkt-Proze mit F ~ -Intensitat
~ i
def
= E
~Ni
((0; 1])
t
~(t)
t2R
, ~ (t) =
1
C
A
~N1
;:::; N
~ K
~1
(t);:::; ~ K (t)
. Sei
< 1, a 2 [0; 1) und t 2 R. ~" a werde gema (14.2) mit ~ N anstelle von N
deniert. Voraussetzung (AB ii') folgt mit dem Satz von Fubini und 5.8 aus
KX Z t_0
Z
E(~" a (t)) =
E
~ j ds
=
i;j=1
(t,a)_0
Z t_0
KX
i;j=1
(t,a)_0
~ j
Z 1
s
jh ji (s , u)j du
(,1;0]
jh ji (u)j du ds

90 14. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { der unbeschrankte Fall
Hiervon liest man ab:
KX
i;j=1
a ~ j
Z 1
(t,a)_0
jh ji (u)j du:
sup t0 E(~" a (t)) a P K
i;j=1 ~ j
R 1
0
jh ji (u)j du < 1
lim t!1 E(~" a (t)) = 0.
Der Nachweis von (ii) und (iii) verlauft zu Beginn wieder parallel:
Beweis (Satz 14.1(ii) und (iii)): Sei N 0 =(N 0 1 ;:::;N0 K )2NK 0
Proze auf dem mebaren Raum (; F), welcher eine F N0
t
-Intensitat
,
0
(t)
t2R = ,, 0 1 (t);:::;0 K (t) t2R
ein transienter Punkt-
der Form (D2) auf [0; 1) besitzt, und auerdem eine der Anfangsbedingungen (AB i'), (AB ii')
oder (AB iii') erfullt. Es bezeichne P die zugehorige Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Da N i =(T i;n ) n2Z 2N 0gilt, ist N i nichtexplodierend auf [0; 1) (1 i K). Somit lassen sich
gema 6.14 durch
homogene
N i (C X ,
L) = C T
0
,
i;n 1L
0
n2N1
F
N 0
t
i+
,
T
0
i;n U
0
Z Z
i;n + ^N0
C Ln(0; 0 (t)] i(dt dz)
i+
N
; F i
t
-Poisson-Prozesse N i der Intensitat 1 auf R 2 mit 0 def
i+
(t) = 1 (0;1) (t) 0(t)
i
und geeigneten Folgen (U i;n ) und Punkt-Prozessen ^N 0 n2Z i
wie in 6.14 konstruieren, 1 i K.
Es sei angenommen, da die nach 6.14 zur , Konstruktion benotigten Prozesse samtlich voneinander
unabhangig sind, so da N i einen F N0 N
t
; F t -Poisson-Proze bildet. Wir konnen sofort
nachrechnen, da
N 0 i(C) =
Z
C
N i (dt [0; 0 i(t)])
fur alle C 2 B gilt. Wie im ersten Beweisteil konstruiere den stationaren Punkt-Proze N =
(N 1 ;:::;N K ) mit Intensitat ((t)) t2R aus N = , N1 ;:::; N K
,wobei (t) =(1 (t);:::; K (t)).
Deniere fur i 2f1;:::;Kg die Funktion
f i (t) def
=
(
E , j i (t) , 0 i(t)jjF N0
0
fur t 0
0 fur t

iii. Der K-variate Fall 91
a; b 2 R. Ferner genugt f i (t) fur alle t 0 aufgrund der i -Lipschitz-Stetigkeit von i , der nach
Konstruktion gultigen Unabhangigkeit von F N0
0 und F ^N 0
0 sowie der F N0
0 -Mebarkeit von N 0 auf
(,1; 0) der Abschatzung
(14.5)
f i (t) i
K X
j=1
= i
K X
j=1
= i
K X
j=1
Z
E
(,1;0)
Z
Z
Z
+ E
+E
Z
(,1;0)
+E
Z
(,1;0)
+
Z
[0;t)
(,1;0)
[0;t)
jh ji (t , s)j Nj(ds)
0 F N0
0
jh ji (t , s)j N j (ds) F N0
0
jh ji (t , s)j
N
0
j
, N j
(ds) F N0
0
Z
jh ji (t , s)j N 0 j (ds)+E
[0;t)
jh ji (t , s)j j (s) ds
(,1;0)
jh ji (t , s)j
0
(s) , j j(s)
ds F N0
0
jh ji (t , s)j N 0 j(ds)+ j
Z
jh ji (t , s)j f j (s) ds
:
(t;1)
jh ji (s)j ds
Sei nun a > 0 fest und deniere dazu F a;i (t) def
= R t
t,a f i(s) ds = R t_0
(t,a)_0 f i(s) ds. Die vorherige
Ungleichung zeigt fur t 0 mit dem Satz von Fubini
(14.6)
F a;i (t) i
K X
j=1
Z t_0
+ i
K X
j=1
" a;i (t)+ i
K X
j=1
= " a;i (t)+ i
K X
j=1
= " a;i (t)+ i
K X
j=1
Z
(t,a)_0 (,1;0)
Z t_0
Z
(t,a)_0 [0;u)
Z Z t_0
Z
Z
[0;t) (t,a)_0
Z (t,s)_0
[0;t)
[0;t)
jh ji (u , s)j N 0 j (ds)+ j
jh ji (u , s)j f j (s) ds du
(t,s,a)_0
Z 1
f j (u , s) du jh ji (s)j ds
f j (u) du jh ji (s)j ds
F a;j (s) jh ji (t , s)j ds
u
jh ji (s)j ds du
unter Ausnutzung der Denition
" a;i (t) def
=
8
><
>:
i
P K
j=1
R t_0
(t,a)_0
R
(,1;0) jh ji(u , s)j N 0 j(ds)+ j
R 1
u jh ji(s)j ds
du
fur t 0
0 fur t

92 14. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { der unbeschrankte Fall
Fur jedes endliche Intervall I [x; y] R und t 2 R gilt nach (14.4)
F a;i (t) =
Z t_0
f i (s)ds
Z y_0
(t,a)_0
(x,a)_0
f i (s) ds < 1
f.s.,
d.h. F a;i ist auf jeder beschrankten Menge f.s. beschrankt. Aus Gleichung (14.6) folgt mit den
Festlegungen g (0) def
ij
(t) = 1fi=jg 0 (t) und
n 2 N 0 , die Abschatzung
(14.7)
g (n+1)
ij
(t) def
= i 1 [0;1) (t)
F a;i (t) G a;i (t) def
=
1X
KX
k=0 j=1
KX
k=1
Z t
0
jh ki (t , s)j g (n)
kj
(s) ds;
Z 1
1 [0;t] (s)" a;j (t , s)g (k)
(s) ds:
0
ij
Dazu zeigt man zunachst die folgende Behauptung, wovon wir im weiteren Beweis nur Ungleichung
(14.10) benotigen werden.
Behauptung 1. Sei M t;i
def
= sup s2[0;t] F a;i(s) (< 1 f.s.). Dann gilt fur alle t 2 [0; 1) die
Gleichung und die Ungleichungen
(14.8)
(14.9)
KX
j 1 ;:::;j n+1 =1
0
@
K X
Z
j 1 ;:::;j n+1 =1
F a;i (t)
Z
[0;t)
=
Z
nX
(14.10)
+
Z
i jh j1 i(t , s 1 )j
[0;s n)
[0;t)
KX
j=1
Z
[0;s 1 )
j1 jh j2 j 1
(s 1 , s 2 )j :::
jn
hjn+1
j n
(s n , s n+1 ) "a;jn+1 (s n+1 ) ds n+1 :::ds 2 ds 1
Z t
0
" a;j (t , s)g (n+1)
i;j
(s) ds;
i jh j1 i(t , s 1 )j
[0;s n)
0
M t;1
B
A n+1
KX
k=0 j=1
Z
[0;s 1 )
j1 jh j2 j 1
(s 1 , s 2 )j :::
jn
hjn+1
j n
(s n , s n+1 ) Fa;jn+1 (s n+1 ) ds n+1 :::ds 2 ds 1
Z t
0
KX
Z
@
j 1 ;:::;j n+1 =1
1
C
. A
M t;K
" a;j (t , s)g (k)
i;j
(s) ds
Z
[0;s n)
[0;t)
f.s. (komponentenweise),
Z
i jh j1 i(t , s 1 )j j1 jh j2 j 1
(s 1 , s 2 )j :::
[0;s 1 )
1iK
jn
hjn+1
j n
(s n , s n+1 ) Fa;jn+1 (s n+1 ) ds n+1 :::ds 2 ds 1 ;

iii. Der K-variate Fall 93
fur alle i 2f1;:::;Kg und n 2 N 0 .
Begrundung: Wir nutzen jeweils eine Induktion zum Nachweis.
zu (14.8). Im Fall n =0sehen wir sofort
KX Z
j 1 =1
[0;t)
=
=
i jh j1 i(t , s 1 )j " a;j1 (s 1 ) ds 1
KX Z
KX Z
j 1 =1
j 1 =1
[0;t)
[0;t)
" a;j1 (t , s 1 )
KX
j=1
i
Z s1
" a;j1 (t , s 1 )g (1)
ij 1
(s 1 ) ds 1 :
0
jh ji (s 1 , s)j 1fj 1 =jg 0 (s) ds ds 1
Falls (14.8) fur n 2 N 0 erfullt ist, gilt unter Ausnutzung der Induktionsvoraussetzung bei der
ersten Gleichheit
KX
j 1 ;:::;j n+2 =1
=
=
=
Z
Z
[0;t)
KX Z
j 1 =1
KX
Z
i jh j1 i(t , s 1 )j j1 jh j2 j 1
(s 1 , s 2 )j :::
[0;s 1 )
[0;s n+1 )
j;j 1 =1
0
Z t
KX
j=1
[0;t)
Z t
Z t
0
hjn+2
jn+1 j n+1
(s n+1 , s n+2 ) "a;jn+2 (s n+2 ) ds n+2 :::ds 2 ds 1
KX Z s1
i jh j1 i(t , s 1 )j
0
j=1
0
" a;j (s 1 , s)g (n+1)
j 1 ;j
(s) ds ds 1
i jh j1 i(t , s , s 1 )j " a;j (s 1 )g (n+1)
j 1 j
(s) ds ds 1
" a;j (s 1 )g (n+2)
ij
(t , s 1 ) ds 1 =
KX
j=1
Z t
0
" a;j (t , s 1 )g (n+2)
ij
(s 1 ) ds 1 :
zu (14.9). Es ist "
n =0\ nach Denition der M t;i klar. Gelte (14.9) fur ein n 2 N 0 . Dies liefert
0
@
K X
Z
j 1 ;:::;j n+2 =1
Z
[0;t)
0
B
KX Z
@
j 1 =1
[0;s n+1 )
0
B
A n+2
@
[0;t)
i jh j1 i(t , s 1 )j
Z
[0;s 1 )
j1 jh j2 j 1
(s 1 , s 2 )j :::
jn+1
hjn+2
j n+1
(s n+1 , s n+2 ) Fa;jn+2 (s n+2 ) ds n+2 :::ds 2 ds 1
i jh j1 i(t , s 1 )j
1
M t;1
C
. A
M t;K
f.s.,
0 0
B B
@A n+1
@
M s1 ;1
.
M s1 ;K
11
C
A
C
A
1
C
A
j 1
1iK
1iK
dabei Anwendung der Induktionsvoraussetzung beim ersten, M s1 ;i M t;i fur alle s 1 2 [0;t] beim
zweiten Ungleichheitszeichen.

94 14. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { der unbeschrankte Fall
zu (14.10). Aus Gleichung (14.6) und g (0)
ij (t) =1 fi=jg 0 (t)erhalten wir den Fall n =0.Nutzung
von (14.10) und einsetzen des Falls n = 0 liefert:
F a;i (t)
=
benutze (14.8).
nX
KX
k=0 j=1
+
+
n+1
X
Z t
KX
0
j 1 ;:::;j n+1 =1
KX
j 1 ;:::;j n+1 =1
k=0 j=1
+
KX
Z t
KX
0
j 1 ;:::;j n+1 =1
" a;j (t , s)g (k)
i;j
(s) ds
Z
Z
Z
Z
[0;t)
[0;s n)
[0;t)
[0;s n)
KX
j n+2 =1
Z
i jh j1 i(t , s 1 )j j1 jh j2 j 1
(s 1 , s 2 )j :::
[0;s 1 )
hjn+1
jn j n
(s n , s n+1 ) "a;jn+1 (s n+1 ) ds n+1 :::ds 2 ds 1
Z
i jh j1 i(t , s 1 )j
[0;s 1 )
j1 jh j2 j 1
(s 1 , s 2 )j :::
hjn+1
jn j n
(s n , s n+1 ) Z
hjn+2
jn+1 j n+1
(s n+1 , s n+2 ) Fa;jn+2 (s n+2 ) ds n+2
[0;s n+1 )
" a;j (t , s)g (k)
i;j
(s) ds
Z
Z
[0;t)
[0;s n)
KX
j n+2 =1
Z
i jh j1 i(t , s 1 )j j1 jh j2 j 1
(s 1 , s 2 )j :::
[0;s 1 )
ds n+1 :::ds 2 ds 1
hjn+1
jn j n
(s n , s n+1 ) Z
hjn+2
jn+1 j n+1
(s n+1 , s n+2 ) Fa;jn+2 (s n+2 ) ds n+2
[0;s n+1 )
ds n+1 :::ds 2 ds 1 ;
Da der Spektralradius von A echt kleiner als 1 ist, konvergiert die rechte Seite von (14.9)
fur n !1gegen 0. Somit gilt also F a;i (t) G a;i (t) nach (14.10) (Grenzubergang n !1).
Unser weiteres Vorgehen hangt von der gewahlten Anfangsbedingung ab, also:
Erfulle N 0 ab jetzt Anfangsbedingung (AB i'). Nach Anfangsbedingung (AB i') folgt gemeinsam
mit der fast sicheren Endlichkeit von j a R 1
0
jh ji (s)j ds die fast sichere Endlichkeit von
sup t2[0;1) " a;j (t), damit ist " a;i (t) f.s. beschrankt auf R
Es ist G a;i (t) < 1 f.s., t 2 [0; 1), falls wir zeigen konnen:
Behauptung 2. Fur t 2 R und i 2f1;:::;Kg gilt
1X
KX
k=0 j=1
Z t
0
" a;j (t , s)g (k)
ij
(s) ds < 1 f.s..

iii. Der K-variate Fall 95
Begrundung: Setze a;j
nach k die Ungleichung
KX
j=1
a;j
Z t
def
= sup t2[0;1) " a;j (t) < 1 f.s.. Wir zeigen durch eine Induktion
0
0
(s) ds B
ij
g (k)
0 1
a;1
B
@A k @
C
. A
a;K
Es ist "
n =0\einmal mehr klar. Den Induktionsschritt zeigt
KX
j=1
a;j
Z t
=
0
KX
l=1
KX
l=1
g (k+1)
ij
(s) ds =
KX
j=1
KX
a;j
Z t
0
KX
l=1
i
Z t
0
1
C
A
i
f.s..
1 [0;s] (s 1 ) jh li (s , s 1 )j g (k)
(s lj 1) ds 1 ds
Z t
Z t
i jh li (s 1 )j a;j 1 [s1 ;1) (s) g (k)
(s , s lj 1) ds ds 1
0
j=1
0
0 0 11
0 0 1
Z t
a;1
a;1
i jh li (s 1 )jB
B
@A k @
C
. A
C
A ds 1
B B
@A k+1 @
C
. A
0
a;K a;K
Nutzung der Induktionsvoraussetzung bei der ersten Ungleichheit. Hieraus konnen wir
0R t
1 0 1
1X KX 0
B
" a;j(t , s)g (k)
1j
(s) ds
@
C
1X
a;1
. A
B
A k @
C
. A < 1 f.s.
k=0 j=1
(s) ds k=0
Kj
a;K
folgern.
R t
0 " a;j(t , s)g (k)
Nach Anfangsbedingung (AB i') und wegen R 1
(t,a)_0 jh ji(s)j ds < 1 konvergiert " a;j (t , s)
fur t !1gegen 0, dominierte Konvergenz sichert damit lim t!1 F a;i (t) = 0 f.s.. Ab nun konnen
wir der Argumentation von Abschnitt 10.2) folgen. Nach Denition von F a;i (t) gilt
F a;i (t) =E
Z t_0
X k>0
P
=1,P
(t,a)_0
Z t_0
(t,a)_0
Z t_0
jN i ,N 0 ij(du)
(t,a)_0
=1,P
N i N 0 i
l
F N0
0
jN i , N 0 ij (du) =k
jN i ,N 0 ij(du) =0
FN0 0
FN0 0
auf ((t , a) _ 0;t_0] jFN0
0
so da nach den vorangegangenen Uberlegungen { wie bereits im Beweis von 10.8 { mit dem
= 1 geschlossen werden kann.
Lemma von Fatou lim t!1 P , N i N 0 i
auf ((t , a) _ 0;t_0] jFN0
0
Schlielich gilt die schwache Konvergenz von S t N 0 i + gegen N + i
fur t ! 1, siehe 10.9 und die
daran anschlieende Anmerkung.
;
1
C
A
i
f.s.,

96 14. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { der unbeschrankte Fall
Genugt N 0 Anfangsbedingung (AB ii'), liefert Erwartungswertbildung bei Gleichung (14.7)
mit dem Satz von Fubini
0
B
@
E(F a;1 (t))
.
E(F a;K (t))
1
C
A
1X
0
KX B
@
k=0 j=1
R t
E(" 0 a;j (t , s)) g (k)
1j
R t
0 E(" a;j (t , s)) g (k)
.
1
(s) ds
C
A :
(s) ds Kj
Der Satz von der majorisierten Konvergenz zeigt aufgrund der Beschranktheit jeder Komponente
der rechten Seite nach Anfangsbedingung (AB ii') lim t!1 E(F a;i (t)) = 0, 1 i K, woraus wir
schlielich die schwache Konvergenz von S t N 0+ gegen N + folgern konnen.
Besitze N 0 Anfangsbedingung (AB iii') und gelte zusatzlich R 1
0
t jh ji (t)j dt < 1, 1 i; j
K. Wir haben jetzt (iii) zu zeigen. Aus (14.5) folgt durch Integration zwischen 0 und T > 0
Z T
0
f i (t) dt i
K X
j=1
dabei wird " i deniert als
Z T
0
+ i
K X
j=1
" i + i
K X
j=1
" i + i
K X
j=1
" i
def
= i
K X
j=1
Z
(,1;0]
Z T
Z
Z
Z 1 Z
0
0
[0;T )
Z 1
0
(,1;0]
[0;t)
Z T
0
jh ji (t , s)j N 0 j (ds)+ j
jh ji (t)j dt
jh ji (t , s)j f j (s) ds dt
jh ji (t , s)j dt f j (s) ds
Z T
0
f j (s) ds;
Z 1
jh ji (t , s)j N 0 j(ds) dt + j
Z 1
t
0
jh ji (s)j ds
dt
t jh ji (t)j dt :
Nach Voraussetzung (AB iii') und der zusatzlichen Bedingung an h ji ist " i < 1 f.s., es gilt ebenso
R T
0 f i(t) dt < 1 f.s. (vergleiche Beweis zu 10.12 Gleichung (10.16)). Obige Ungleichung lat sich
als komponentenweise Ungleichung im R K schreiben:
Z T
0
f(t) dt =
0
B
@
R T
0 f 1(t) dt
.
R T
f 0 K(t) dt
1
C
A
0
B
@
1
" 1
C
. A + A
" K
0
B
@
R T
1
f 0 1(t) dt
C
.
R
A = " + A
T
f 0 K(t) dt
Z T
0
f(t) dt:
R T
Durch Iteration zeigt dies f(t) dt P R k
0 n=0 An " + A k+1 T
f(t) dt fur k 2 N, was wegen
0
R
lim k!1 A k+1
T
= 0 zu
n=0 An " f.s. fur alle T 2 (0; 1) fuhrt. Die rechte Seite
dieses Ausdruckes ist, R unabhangig von T , f.s. endlich, denn der Spektralradius von A ist echt
1
kleiner 1. Also gilt f(t) dt < 1 f.s.. Aus
0
Z 1 Z 1
1 > f i (t) dt = E
= E
0
Z 1
0
0 f(t) dt P 1
jN i , Nij 0 (dt) F N0
0
0
j i (t) , 0 (t)j dt i
F N0
0
E
jNi , N 0 ij ((0; 1)) jF N0
0
f.s.

iii. Der K-variate Fall 97
ergibt sich jN i , N 0 ij ([0; 1)) < 1 f.s., d.h. N i und N 0 i
und somit N und N 0 koppeln f.s. in
endlicher Zeit auf der positiven reellen Achse, woraus wie im Beweis von 10.12 die Stabilitat in
Variation folgt.
N K 0
Wie bereits im univariaten Fall erweist sich auch hier die Einschrankung auf die Menge
als unnotig. Wir konnen die Argumentation der Begrundung von Bemerkung 10.14 auf den
K-variaten Fall ubertragen, fuhren jedoch die Details an dieser Stelle nicht aus.
15. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { der
beschrankte Fall
Wenden wir uns nun schlielich der Verallgemeinerung der Satze 11.6 und 11.8 zu.
15.1. Satz. Gegeben seien K 2 N und i -Lipschitz-stetige Funktionen i : R ! [0; 1), welche
jeweils durch ein i > 0 beschrankt sind, 1 i K. Fur die mebaren Funktionen h ji :[0;1)!
R gelte
(15.1)
Z
[0;1)
jh ji (t)j dt < 1
und
Z
[0;1)
t jh ji (t)j dt < 1;
1 i; j K. In dieser Situation existiert ein eindeutiges stationares Verteilungsgesetz fur den
Punkt-Proze N = (N 1 ;:::;N K ) mit Dynamik (D2), und (D2) ist stabil in Variation bezuglich
der Anfangsbedingung
(15.2)
(1 i; j K).
Z 1
lim
s!1
s
Z
(,1;0]
jh ji (u , v)j N j (dv) du =0
Beweis: (i) Existenz eines stationaren Punkt-Prozesses. Sei (; F) der kanonische Raum
der markierten Punkt-Prozesse mit [0; 1]-wertigen Marken (oder das K-fache Produkt dieses
Raumes), t = S t und P ein Wahrscheinlichkeitsma auf (; F) mit P t = P . Es bezeichne
N 1 ;:::; N K stochastisch unabhangige, markierte Punkt-Prozesse mit
f.s.
N i =(T i;n ;U i;n ) n2Z
(T i;n ) ist ein Poisson-Proze mit F N i
n2Z t -Intensitat i
(U i;n ) n2Z
ist eine Folge u.i.v. Zufallsgroen, jeweils R[0; 1]-verteilt
F N
t
(T i;n ) n2Z und (U i;n) n2Z
sind stochastisch unabhangig
fur 1 i K. Fur ! 2 gelte N i (!;) = !() (bzw. Ni
((! 1 ;:::;! K );) = ! i ()). Durch
= F
Ni
t ;1iK wird eine gemeinsame Filtration dieser markierten Poisson-Prozesse
gegeben.

98 15. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { der beschrankte Fall
Der gesuchte stationare Punkt-Proze wird einmal mehr das Ergebnis einer induktiven
Konstruktion sein: Deniere Punkt-Prozesse und stochastische Prozesse durch (0)
i
(t) 0 und
N (n)
i
(C) def
=
Z
C
N i
X
K
(n+1)
i
(t) def
= i
j=1
Wie in 7.1 konnen wir zeigen, da
ds
Z
(,1;t)
(n)
i
#! "0; (n) i
(s)
; C 2 B;
i
!
h ji (t , s) N (n)
j
(ds)
(t)
t2R
die ubrigen Ergebnisse aus 7.1 konnen ubernommen werden.
Mittels der Hilfsprozesse
; t 2 R:
N
eine F t
-Intensitat von N (n)
i
~N i (ftg) = lim sup N (n)
i
(ftg) , lim inf
n!1 n!1 N (n)
i
(ftg)
~ i (t) = lim sup (t) , lim inf (t);
n!1 (n) i
n!1 (n) i
darstellt, und auch
def
t 2 R, werden wir folgern, da der Grenzwert N i = lim n!1 N (n)
i
existiert. Dazu weisen wir nach,
da N ~ i dem Punkt-Proze ohne einen einzigen Punkt auf der reellen Achse entspricht.
(a) Wie im Beweis von 11.6 (vergleiche ab Lemma 11.1) sieht man, da , ~ i (t) t2R
N
F t
-Intensitat von N ~ i ist. Fur diese Intensitaten gilt die Ungleichung ~ i (t) i i1 (a)+ i i2 (a)
mit den Festlegungen
i1 (a) def
= lim
n!1 sup
kn
i2 (a) def
= lim
n!1 sup
kn
KX Z
KX Z
j=1
j=1
(,1;t,a)
[t,a;t)
jh ji (t , s)j N (k)
j
(ds) , inf
kn
jh ji (t , s)j N (k)
j
(ds) , inf
kn
KX Z
Nach Konstruktion der beteiligten Prozesse ist i2 (a) P K
j=1
klar und daher i2 (a) < 1 f.s.. Auerdem erfullt i2 (a)
i2 (a) lim
n!1
KX Z
j=1
KX Z
j=1
[t,a;t)
[t,a;t)
jh ji (t , s)j
sup
kn
jh ji (t , s)j ~ Nj (ds) f.s..
j=1
KX Z
j=1
N (k)
j
[t,a;t)
R
(,1;t,a)
jh ji (t , s)j N (k)
j
(ds)
jh ji (t , s)j N (k)
j
(ds)
!
:
eine
!
[t,a;t) jh ji(t , s)j Nj (ds [0; 1])
, inf N (k)
j
(ds)
kn
Fur i1 (a) gilt i1 (a) < 1 f.s. und lim a!1 i1 (a) = 0 f.s., was eine Folgerung aus
E( i1 (a)) E
=
KX
j=1
KX Z
j=1
E
Z
(,1;t,a)
(,1;t,a)
jh ji (t , s)j Nj (ds [0; 1])
jh ji (t , s)j j ds < 1
!

iii. Der K-variate Fall 99
ist. Insgesamt gilt im Grenzubergang a !1also
~ i (t) i
K X
j=1
Z
(,1;t)
jh ji (t , s)j ~ Nj (ds)
f.s..
(b) Die Aussagen 2.4 und 2.6 lassen sich ohne groere Modikationen auf den Fall K-
variater Punkt-Prozesse erweitern, d.h. die nach [Bre81] II.4., Theorem 14, existierende F ~ N
t
-
vorhersagbare Version der F , N
t
-Intensitat i
~ (t) von N ~ t2R i besitzt eine Darstellung der Form
,
~N1
i ;:::; N ~ K ;t
. Wie in Lemma 11.3 erhalten wir das Analogon zu (11.4) fur den vorliegenden
Fall:
(15.3)
t2R
i ~N ,
X
1 ;:::; N ~ , K Z
;t K i jh ji (t , s)j Nj
~ (ds)
j=1
(,1;0]
Wird die rechte Seite dieses Ausdrucks noch bezuglich t uber [0; 1) integriert, bleibt der entstehende
Ausdruck f.s. endlich, denn aus (15.1) folgt
E
Z
KX Z
(0;1)
j=1
=
KX
j=1
E
(,1;0]
Z
(0;1)
jh ji (t , s)j Nj (ds [0; 1]) dt
Z
(,1;0]
!
jh ji (t , s)j j ds dt =
KX
j=1
j
Z
(0;1)
f.s..
t jh ji (t)j dt < 1
unter Nutzung des Satzes von Fubini. Gleichung (15.3) und Korollar 5.6 zeigen (beachte das
Disjunktheitslemma in [Kin93] 2.2)
P
~Ni
((0; 1)) = 0
KY Z
i=1
> 0 f.s.,
exp ,
dies fuhrt zu P
~Ni
((0; 1)) = 0
F ~ N
0
P ~N((0; 1) f1;:::;Kg)=0F N ~
0
(0;1)
i
K X
j=1
Z
(,1;0]
jh ji (t , s)j Nj (ds [0; 1]) dt
= 1 (vergleiche Uberlegungen im Anschlu an 11.4). Damit
wird die Festlegung N i
def
= lim n!1 N i sinnvoll, denn fur beschrankte Mengen C 2 B stimmen die
Punkte von N (n)
i
und N (n+1)
i
auf C ab einem genugend groen n f.s. uberein. Nach Konstruktion
ist die t -Kompatibilitat von N i klar, dies liefert die Stationaritat von N i .
(c) Sei ( i (t)) t2R von der Form (D2), dieser Proze ist eine F N t
-Intensitat von N i :
Fur beschrankte Mengen C 2 B gilt aufgrund der t -Kompatibilitat, des Lemma's von Fatou
und 6.15
Z
E
C
N i(ds) , N i
ds
Aus der Endlichkeit von E
R
0; i(s)
i
(,1;0) jh ji(,s)j
Nj (ds [0; 1])
sichere Endlichkeit von R (,1;0) jh ji(,s)j N
(n)
j
n (C) lim
n!1 E
(n+1)
R
= j
!
i
(0) , i (0)
:
[0;1) jh ji(s)j ds folgt die fast
, N j
(ds) fur alle n 2 N. Da N
(n)
i
auf jedem

100 15. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { der beschrankte Fall
beschrankten Intervall schlielich mit N i
resultierende Abschatzung
(n+1)
i
(0) , i (0)
die f.s. Konvergenz von lim n!1
i
(0) , i (0) gegen 0. Der Satz von der dominierten Konvergenz
sichert
X
K Z
i
j=1
(n+1)
ubereinstimmt, zeigt die aus der Lipschitz-Stetigkeit
(,1;0)
jh ji (,s)j N
(n)
j
, N j
(ds)
lim
n!1 E
(n+1)
i
(0) , i (0)
=0;
d.h. N i stimmt auf jeder beschrankten Borel-Menge schlielich mit
uberein, also N i =
R
C
N i
ds h 0; i(s)
i
iC2B f.s..
R
C
N i
ds h 0; i(s)
i
iC2B
Den Nachweis der Eindeutigkeit erbringen wir im Anschlu an den Beweis der Stabilitat.
(ii) Stabilitat in Variation. Sei N 0 = (N 0 1 ;:::;N0 K
) ein K-variater Punkt-Proze , der der
Anfangsbedingung (15.2) genugt und auf [0; 1) die F N0
t
-Intensitat ( 0 (t)) t2[0;1)
von der Form
F
N 0 i
t ;1iK
(D2) zulat, dabei ist F N0
t
=
und 0 (t) def
= ( 0 1(t);:::; 0 K
(t)) auf [0; 1). Die
Funktionen 1 ;:::; K sind beschrankt und daher die Prozesse N 1 ;:::;N K auf [0; 1) nichtexplodierend.
Im Hinblick auf die Anwendung von 6.14 wahlen wir eine Folge u.i.v. Zufallsvariablen U 0 i
,
U 0
i;n
n2Z (U0 i;n
R[0; 1]) unabhangig von F1 N0 sowie einen homogenen Poisson-Proze ^N 0 i
auf R2
der Intensitat 1 unabhangig von F1 U N0
und F1 , so da der durch
N i ((a; b] X ,
L) = (a;b] T
0
,
i;n 1L
0
,
T
0
i;n U
0
Z Z
i;n + ^N0
i
(dt dz);
n2N1
i+
(a;b]
Ln(0; 0 i+ (t)]
(a; b] R, L 2 B, denierte Punkt-Proze ein homogener F i;t -Poisson-Proze der Intensitat 1
def
auf [0; 1) ist. Dabei sei F i;t = F
N 0
, N 0 i
t
; F , N i +
t = T 0 und i;n
0 n2N i+(t) =1 (0;1) (t) 0 i(t) (1
iK). Die Folgen und Punkt-Prozesse U 0 1 ;:::;U0 ; ^N 0 K 1 ;:::; ^N 0 K
sollen unabhangig voneinander
sein. In diesem Fall ist dann N i ein homogener F t -Poisson-Proze, F t = , F i;t ;1iK .
Durch N i ([0; i ])=(T i;n ) n2Z wird ein F i;t -Poisson-Proze der Intensitat i auf R deniert.
Nach Konstruktion gilt auf [0; 1) die Identitat N 0(C) =R i C
Wie im Existenzbeweis konnen wir den stationaren Punkt-Proze
N i (C) =
Z
C
N i (dt [0; i (t)])
def
=
N i (dt [0; 0 i
(t)]), C 2 B((0; 1)).
N
mit F t
-Intensitat ( i (t)) t2R
der Form (D2) konstruieren (beachte 8.6). Diese Intensitat ist
gema 6.12 auch eine F t -Intensitat von N i . Ferner stellt ( 0(t)) eine F i t2R
t-Intensitat von N 0 i
auf [0; 1) dar, beachte F i;t F t
F i;t ; F ^N 0 j
t ; F U0 j
1 ; j 2f1;:::;Kgnfig
und die gegebenen
Unabhangigkeiten zur Anwendung von 5.4. Auf [0; 1) ist (j i (t) , 0 i(t)j) t2[0;1) eine F t-Intensitat
von jN i , N 0 ij. Diese genugt aufgrund der i -Lipschitz-Stetigkeit von i der Abschatzung
j i (t) , 0 i (t)j i
KX Z
j=1
(,1;t)
jh ji (t , s)j Nj , N 0 j
(ds):

iii. Der K-variate Fall 101
Da F jN,N0 j
t
def
=
F jN i,N 0 ij
t
;1 iK
F t
vorhersagbare Version der F jN,N0 j
t -Intensitat von jN i , Nij:
0
,
i Ss Nj , N 0 X
K Z
j (\(,1; 0]); 1 j K; t i
j=1
fur alle t 2 [0; 1) gilt, folgt fur die F jN,N0 j
t -
(,1;0]
jh ji (t , u)j S s
Nj
, N 0 j
(du):
Wie im Beweis von 11.8 ist das Ziel unserer Bemuhungen die Kopplung von N und N 0 . Korollar
5.6 zeigt
P
jN , N 0 j ((s; s + t]) = 0 jF jN,N0 j
s
KY
KX Z
=
i=1
KY
i=1
KY
i=1
exp
exp
exp ,
, i
Z t
0
, i
Z s+t
s
j=1
KX Z
j=1
(,1;0]
Z 1
g i;s (u) du
mit den Festlegungen g s (u) def
= P K
i=1 g i;s(u) und
s
(,1;s]
jh ji (u , v)j S s
Nj
, N 0 j
!
(dv) du
jh ji (u , v)j !
Nj , N 0
j (dv) du
= exp
X
K Z
g i;s (u) def
= i jh ji (u , v)j Nj(dv)+
0
j=1
(,1;0]
Wir prufen fur die Prozesse
Z(s) def
= exp ,
KX
i=1
(s) def
= Z(s) , exp
i
Z 1
,
= Z(s) 1 , exp ,
KX Z
s
j=1
Z 1
g s (u) du
s
KX
i=1
(,1;s]
i
Z 1
s
,
Z
Z 1
s
(,1;s]
g s (u) du
jh ji (u , v)j Nj
(dv [0; j ]) du:
jh ji (u , v)j Nj (dv [0; j ]) du
KX Z
j=1
(,1;0]
!
jh ji (u , v)j N 0 j(dv) du
s 2 [0; 1), die Voraussetzungen von 11.7 und folgen dafur der Argumentation aus dem Beweis von
11.8. Da 0 Z(s) 1 gilt lim s!1 (s) =0f.s., siehe Voraussetzung (15.2), und die Darstellung
Z(s) =f , S s
N
fuhrt aufgrund der Ergodizitat von
,
P N ; (S t ) t2R
zu
1
lim
t!1 t
Z s+t
s
1 [;1),
f
,
Su
N
du = P(Z(s) ) f.s.
fur alle 2 (0; 1). Die Gultigkeit von P(Z(s) ) wird bewiesen durch die Endlichkeit
!!
;

102 15. Lipschitz-stetige Anregungsfunktionen { der beschrankte Fall
von
E
KX
i=1
=
=
=
i
Z 1
KX
i=1
KX
i=1
KX
i=1
s
KX Z
j=1
i
Z 1
s
i
K X
j=1
i
K X
j=1
(,1;s]
KX
j=1
Z 1
s
j
Z
E
Z
jh ji (u , v)j Nj (dv [0; j ]) du
Z
(,1;s]
[0;1)
(,1;s]
!
jh ji (u , v)j Nj
(dv [0; j ]) du
jh ji (u , v)j j dv du
u jh ji (u)j du:
Satz 11.7 zeigt nun die Kopplung von N und N 0 in endlicher Zeit.
(iii) Eindeutigkeit des stationaren Punkt-Prozesses. Gegeben sei ein stationarer Punkt-
Proze N =(N 1 ;:::;N K ) mit Dynamik (D2) auf R, welcher (15.1) erfullt. Die Funktion j ist
beschrankt durch j . Damit folgt aus
0 E
Z 1 Z
s
= j
Z 1
s
(,1;0]
jh ji (u , v)j N j (dv) du
(u,s)jh ji (u)j du < 1
die Gultigkeit von Anfangsbedingung (15.2).
Z 1
s
Z
E jh ji (u , v)j j dv du
(,1;0]

Kapitel IV.
Anhang
A1. Mebarkeit
1) Einige Mengenidentitaten. Wir listen hier nun einige Mengenidentitaten auf, die in
den eigentlichen Beweisen im vorangegangenen Teil der Arbeit nur von untergeordnetem Interesse
sind und der Vollstandigkeit halber angegeben werden.
Fur den gesamten Abschnitt sei N = (T n ) n2Z ein (einfacher) Punkt-Proze, (F t) t2R eine
Filtration von N und ((t)) t2R ein F t-vorhersagbarer Proze.
A1.1. Lemma. In der zuvor beschriebenen Situation gilt die Gleichheit
(A1.1)
f(!; s) 2 (0; 1); T 1 (!) \ s>0g= fT 1 bg
n2Nb2Q 0
[
b; b + 1 n
2P(F t ):
Beweis: Sei zunachst T 1 (!) s>0. Dann gibt es zu jedem n 2 N ein b n 2 Q 0 , so da
T 1 (!) b n und s 2 , b n ;b n + 1 n
.
Gebe es zu (!; s) fur alle n 2 N ein b n 2 Q 0 , so da T 1 (!) b n und s 2 , b n ;b n + 1 n
.
Oensichtlich gilt lim n!1 b n = s und somit T 1 (!) s>0.
A1.2. Lemma. Sei (a; b] R. Die Menge f(!; t) 2 R; N(!; [t , b; t , a)) = ng lat sich
fur jedes fest vorgegebene n 2 N darstellen als
\ [
(A1.2)
! 2 ; N !;
k2N t2Q
t , 1 k , b; t , 1 k , a
= n
t , 1 k ;t :
Beweis: "
\ Gelte N (! 0 ; [t 0 , b; t 0 , a)) = n. Dann gibt es zu jedem k 2 N ein t 2 Q
mit t , 1 k

104 A1. Mebarkeit
A1.3. Lemma. In der gegebenen Situation gilt die Gleichheit:
(!; s; z) 2 R 2 ; 1 [0;(!;s)] (z) =1
(A1.3)
= \
k2N
[
t2Q 0 (!; s) 2 R; t (!; s) t + 1 k
0;t+ 1 2P(F t )B
k
Beweis: Zum Nachweis von "
\ gelte 1 [0;(!0 ;s 0 )] (z 0 ) = 1 fur ein Tupel (! 0 ;s 0 ;z 0 ) aus
R 2 . Fur alle k 2 N gibt es somit ein t 2 Q 0 mit z 0 2 [0;(! 0 ;s 0 )] 0;t+ 1 k
und
t (! 0 ;s 0 )t+ 1 ,was die erste Inklusion zeigt.
k
Gebe es andererseits fur das Tupel (! 0 ;s 0 ;z 0 ) 2 R 2 fur alle k 2 N ein t k 2 Q 0 mit
z 0 2 0;t k + 1 k
und tk (! 0 ;s 0 ) t k + 1 k . Dann folgt lim k!1
,
tk + 1 k
= (!0 ;s 0 ) und daher
z 0 2 T k2N
0;tk + 1 k
=[0;(!0 ;s 0 )], so da auch "
\ gezeigt ist.
A1.4. Lemma. Ist N ein homogener Poisson-Proze der Intensitat 2 (0; 1), R = (R k ) k2Z
der Proze der Punkte T n von N, die T n , T n,1 > A erfullen (A 2 (0; 1)), und R , (s) def
=
sup fR k s; k 2 Zg. Dann gilt
(A1.4)
fur alle s; x 2 R.
R
, (s) >x =
[
t2Q[fsg
x

iv. Anhang 105
Beweis: Sei (a; b] (,1;t]. Es reicht, fur beliebige k 2 N 0 die Gleichheit
N ((a; b] [0;Y(t)]) k
nachzurechnen:
= \ n2N
[
y2Q
y, n 1 0
Y (t) 2
y , 1 n ;y
\ N((a; b] [0;y]) k
Zunachst "
\: Aus N (!; (a; b] [0;Y(t)(!)]) k folgt fur alle n 2 N die Existenz eines y n 2 Q
mit y n , 1 n
0, so da
y n , 1 n Y (t)(!) y n und N (!; (a; b] [0;yn ]) k:
0, mit
Nun zu \. Es gebe also zu n 2 N stets Zahlen y " n 2 Q, y n , 1 n
Y (t)(!) 2 y n , 1 n ;y n und N (!; (a; b] [0;yn ]) k:
Daraus ergibt sich lim n!1 y n = Y (t)(!) und somit N (!; (a; b] [0;Y(t)(!)]) k.
A1.6. Bemerkung. Es sei (F t ) t2R
C 2 B
(A1.6)
eine Filtration und N ein Punkt-Proze, so da fur alle
N(C) :!R
!7! N(!; C);
F t -mebar ist. Die Abbildung N() :!M,!7! N(!;) ist dann ebenfalls F t -mebar.
Begrundung: Sei A 2 M. Es genugt, Mengen der Form A = fm 2 M; m(C) 2 Bg mit
B; C 2 B zu betrachten. Oensichtlich ist f! 2 ; N(!;) 2 Ag = f! 2 ; N(!; C) 2 Bg 2F t ,
was die Behauptung zeigt.
A1.7. Satz. Gegeben sei ein 2 (0; 1) und einer der folgenden beiden Punkt-Prozesse:
ein markierter Punkt-Proze N =(T n ;U n ) auf R, soda(U n2Z n) n2Zeine Folge unabhangiger,
identisch R[0; 1]-verteilter Zufallsvariablen ist. Der Punkt-Proze N ([0; 1]) ist ein
Poisson-Proze mit Intensitat unabhangig von (U n ) n2Z .
ein Poisson-Proze N der Intensitat 1 auf R 2 . Dabei sei N ([0; ])=(Tn ) n2Z .
Auerdem sei : (M;M) ! (R; B) eine Abbildung mit beschranktem Speicher (der Lange
def
A 2 (0; 1)) und sup m2M
(m) =.Im Fall eines markierten Punkt-Prozesses sei u = 1. Liegt
ein Poisson-Proze auf R 2 vor, so sei u def
= . Deniere fur s 2 R
(A1.7)
T , 0
T , k
(s)
def
= sup t 2 (,1;s]; N([t , A; t) [0;u])=0; N([t , A; t] [0;u]) > 0
def
(s) = inf T n >T , k,1
(s); n 2 Z ; k 2 N:
Dann gilt fur (s; t] R:

106 A1. Mebarkeit
(i) Fur alle k 2 N 0 , C 2 B ist T , k
(s) 2 C \ (,1;t] 2
T , k (s)1 fT , (s)tg + 11 k fT , (s)>tg F N
t
-mebar.
k
F N
t
und die Abbildung T , k
(s; t)
def
=
N
(ii) Bei gegebenen k 2 N 0 , C 2 B und F t
-mebarer Abbildung Y (t) stellt
(A1.8)
X k (s; t; C) :(;F N
1 )!(f0;1g;P(f0;1g))
!7! 1 fT , k (s)tg (!) N , !; C \ T , k
(s)(!) [0;Y(t)(!)]
N
eine F t
-mebare Abbildung dar.
(iii) Die Zufallsgroe
(A1.9)
N((s; t]) def
=
Z
(s;t]
N
dr h 0; u
i
(S rN)
N
ist F t
-mebar.
Beweis: zu (i). Die Mebarkeit ist fur T , 0
(s) nach 6.3 klar. Sei nun die Behauptung fur
ein k 2 N gultig. Ist x 2 R mit x s, gilt nach Denition T , (s) x = k ;2F N N
x
F t
.Falls
x>sist, ergibt sich T , k (s) x = 9n 2 Z : T , 0 (s)

iv. Anhang 107
Dann folgt zunachst T , k (s)(!) 2 (,1;t] und fur alle n 2 N, n 1 A , die Existenz von j n 2 N mit
T jn (!) 2 , x n , 1 n ;x n
und N (!;fTjn (!)g[0;Y(t)(!)]) 1. Auerdem mu x n
n!1
,,,! T , k (s)(!)
gelten und j n nach Wahl von N ( N als Poisson-Proze nichtexplodierend) fur genugend groe n
konstant bleiben. Somit ist die Existenz eines j 2 N mit
T j (!) =T , k (s)(!) 2 C und N (!;fTj (!)g[0;Y(t)(!)]) 1
gesichert.
zu (iii). Es wird die Mebarkeit von
N , T , 0 (s);t =
Z[T , 0 (s);t] N
dr h 0; u
i
(S rN)
nachgewiesen. Dazu deniere induktiv die Punkt-Prozesse (n 2 N 0 )
, i
N (n)
t (C) def
= N C \ T
,
S T
,
(s)N 0
(A1.10)
+
nX
k=1
,
= N C \ T
,
nX
+
k=1
h (s) 0
0; u
h
N dr 0;
Z(T u , k,1 (s)^t;T ,
k (s)^t]\C h
(s) 0
0; u i
(;)
1 fT , k (s)tg N
,
C \
T
,
k (s) h 0; u
i
(S rN)
(k,1)
S T
,
(s;t)N t
k
i
;
C 2 B, wobei das zweite Gleichheitszeichen aufgrund des beschrankten Speichers von gultig
ist.
N
(C) eine F t
eine Induktion nach n gefuhrt: im Fall n = 0 ist die Behauptung wegen
Fur alle n 2 N 0 und C 2 B ist N (n)
t
S T
,
0 (s)N
= (;) und
-mebare Abbildung, der Nachweis wird durch
T
,
0
(s) t =mit (ii) klar.
Gelte die Behauptung fur alle k 2f0;:::;ngund C 2 B. Durch S :(RM; BM) ! (M;M),
(t; )7!S t wird eine mebare Abbildung gegeben. Die Abbildung ! 7! T , k+1
N
von nach R M ist F t
N
Hieraus folgt die F t
-Mebarkeit von ! 7! S T
,
k+1
ist fur 1 k n + 1 und C 2 B
F N
t
(s; t)(!);N(k) (!;)
, B M-mebar, beachte A1.6 und die Induktionsvoraussetzung.
(k)
(s;t)(!)N t
1 fT , k (s)tg N
,
C \
T
,
k (s) h 0; u
-mebar. Daher ist auch N (n+1)
t
Mebarkeit von ! 7! N (n+1)
t
(!;) fur alle k 2f0;:::;ng. Nach (ii)
(k,1)
S T
,
(s;t)N t
k
i
N
(C) fur alle C 2 B F N
t
-mebar. Es folgt schlielich die F
(!;) (erneut A1.6). Fur alle Mengen C 2 B gilt lim n!1 N (n)
t (C) =
N , C\ T , 0 (s);t . Damit ist das Gewunschte gezeigt worden. Insbesondere zeigt dies die F N
t
-
Mebarkeit von
N((s; t]) = N , T , 0 (s);t , N , T , 0 (s);s :
t
t
-

108 A2. Analysis
A1.8. Korollar. Gegeben die Situation von A1.7 ist der durch
(A1.11)
N(C) def
=
Z
C
N
dt h 0; u
(S tN)
i
; C 2 B;
N
denierte Punkt-Proze N F t
-adaptiert:
Im Fall C 2 B((n , 1;n]), n 2 Z, liefert Aussage A1.7(iii) gemeinsam mit einem Dynkin-
System-Argument das Gewunschte, fur C 2 S B((,1;t]) nutze die Darstellung C =
n2Z (n ,
1;n]\C.
A2. Analysis
A2.1. Lemma. Es sei t 0 > 0 und f :(0;t 0 )!R eine auf (0;t 0 )nichtnegative oder integrierbare
Funktion. Dann gilt:
(A2.1)
Z t0
Z t1
n,1 Z t0
n
n f(t 1 ) f(t 2 ) dt 2 dt 1 = f(t) dt
0
0
0
und
(A2.2)
Z t0
Z t1
Z tn,1
Z t0
n
n! f(t 1 ) f(t 2 ) f(t n )dt n :::dt 2 dt 1 = f(t) dt
0
0
0
0
fur alle n 2 N.
Beweis: Der Beweis von (A2.1) wird durch Induktion uber n gefuhrt. Im Fall n = 1 ist
die Aussage klar. Sei n =2.
2
Z t0
0
f(t 1 )
=
=
=
=
Z t0
0
Z t0
0
Z t0
Z t1
0
0
Z t0
0
f(t 1 )
f(t 1 )
f(t 1 )
f(t 2 )dt 2 dt 1
Z t1
0
Z t1
0
Z t1
0
f(t 2 ) dt 2 +
Z t1
0Z t0
f(t 2 ) dt 2 dt 1
Z t0
f(t 2 ) dt 2 dt 1 + f(t 2 ) f(t 1 ) dt 1 dt 2
0
t
Z
2
t0
f(t 2 ) dt 2 + f(t 2 ) dt 2 dt 1
t 1
f(t 2 )dt 2 :
f(t 1 ) dt 1
Z t0
Gelte fur n>2 Gleichung (A2.1). Unter Beachtung von
0
ft =(t 1 ;:::;t n+1 ) 2 R n+1 ;0t 1 t 0 ;t 1 t 2 t 0 ;0t 3 ;:::;t n+1 t 1 g
= ft =(t 1 ;:::;t n+1 ) 2 R n+1 ;0t 1 t 2 ;0t 2 t 0 ;0t 3 ;:::;t n+1 t 1 g

iv. Anhang 109
zeigt der Satz von Fubini
n
Z t0
0
f(t 1 )
= n
=
Z t0
t
Z
1
t0
0
Z t0
0
f(t 2 ) dt 2
Z t1
f(t 2 )
f(t 2 )
Z t2
0
Z t2
0
0
f(t 1 )
Z t1
f(t 3 ) dt 3
Z t1
0
f(t) dt n
dt 2
0
f(t 3 ) dt 3
f(t n+1 ) dt n+1 dt 1
Z t1
0
f(t n+1 ) dt n+1 dt 1 dt 2
unter Ausnutzung der Induktionsvoraussetzung (A2.1) beim letzten Gleichheitszeichen. Wir konnen
durch erneute Anwendung von (A2.1), diesmal beim 2. Gleichheitszeichen,
Z t0
0
f(t) dt n+1
=
=
= n
= n
Z t0
0
Z t0
0
Z t0
+ n
f(t) dt n
0
Z t0
0
=(n+1)
f(t 1 )
f(t 1 )
f(t 1 )
Z t0
0
Z t0
0
Z t0
0
Z t1
0
Z t1
0
Z t0
t 1
f(t 1 )
f(t) dt
f(t 1 )
Z t0
0
Z t1
f(t) dt +
0
Z t0
f(t) dt
f(t) dt
t 1
f(t) dt n
dt 1
f(t) dt
Z t1
0
Z t1
0
f(t) dt
f(t)dt n
dt 1
n
n,1
dt 1
Z t1
0
n,1
f(t) dt dt 1
n,1
f(t)dt dt 1
schlieen. Der Nachweis von (A2.2) lat sich ebenfalls leicht durch Induktion fuhren, wenn (A2.1)
genutzt wird.
A2.2. Satz. Sei f : R ! R eine Funktion mit lim x!1 f(x) =aund jf(x) , aj lokal integrierbar.
Dann gilt ebenfalls
fur alle s 2 R.
1
lim
x!1 x
Z s+x
s
f(u) du = a
Beweis: Sei s 2 R und " > 0. Nach Voraussetzung gibt es ein x 1 2 [0; 1), so da
jf(x) , aj < " fur alle x x 2 1. Die lokale Integrierbarkeit sichert die Existenz eines x 2 2 [0; 1)
mit
fur x x 2 . Ist nun x max fx 1 ;x 2 g, folgt
1 x
Z s+x
s
f(u) du , a
1 x
Z s+x1
s
Z
1
s+x1
jf(u) , aj du < " x s
2
jf(u) , aj du + 1 x
Z s+x
jf(u) , aj du < "
s+x 1
2 + x , x 1
x
"
2 ";

110 A2. Analysis
denn x 1 0.

Kapitel V.
Simulation von Punkt-Prozessen mit
beschranktem Speicher
A3. Zum Programm
Zunachst eine kurze Ubersicht uber die Funktionsweise der zugrundeliegenden Berechnungsroutine.
Die Basis des Programms bildet der Beweis des Satzes 8.5 uber Dynamiken mit beschranktem
Speicher.
Das Programm erzeugt eine zufallige positive Zahl mittels einer Exponentialverteilung.
Diese Zahl stellt den Abstand des ersten Punktes t 1 eines Poisson-Prozesses zur 0 dar. Wie zuvor
wird eine weitere positive Zahl erzeugt, die nun den Abstand des ersten Punktes t 1 zum nachsten
Punkt t 2 angibt. Diese Konstruktion wird nun weitergefuhrt, bis eine vorgegebene Anzahl von
Punkten erzeugt wurde oder die Position eines Punktes einen vorgegebenen Wert uberschreitet.
Wir haben dann die Positionen und Zwischenabstande einer Realisation eines Poisson-Prozesses
in einem Ausschnitt der positiven reellen Achse erhalten.
Als nachstes mu induktiv, beginnend mit dem Punkt t 1 ,entschieden werden, ob ein Punkt
des Poisson-Prozesses zu einem neuen (noch zukonstruierenden) Proze mit Dynamik der Form
(D1) gehort. Dies geschieht unter Zuhilfenahme von (8.3), wobei zu beachten ist, da wir Intensitaten
der Form (D1) betrachten. Nachdem wir (t 1 )=(0) berechnet haben, erzeugen wir
gema einer R[0; 1]-Verteilung einen Wert u 1 und prufen, ob dieser 0 u 1 (t 1)
erfullt. Ist
dies der Fall, so ist t 1 ein Punkt der zu konstruierenden Realisation des neuen Prozesses und die
zugehorige Marke wird gleich 1gesetzt, ansonsten gleich 0.
Ist bis zu einem Punkt t k die zugehorige Marke bestimmt worden, so ist nun die Marke zu t k+1
festzulegen. Dazu berechnen wir
(t k+1 )=
Z
(0;t k+1 )
h(t k+1 , s) n k (ds)
!
Z
= h(t k+1 , s) n k (ds) ;
(0;t k ]
wobei n k die bereits erzeugte Realisation des neuen Prozesses im Intervall [t 1 ;t k ] ist. Wir erzeugen
wieder einen R[0; 1]-verteilten Wert u k+1 und testen, ob 0 u k+1 (t k+1)
. Die zu t
k+1 gehorige
111

112 A3. Zum Programm
Marke wird auf 1 gesetzt, falls dies der Fall ist, sonst auf 0. Dieses Verfahren wird solange
angewendet, bis wir zum letzten Punkt des Poisson-Prozesses gelangt sind.
Die erhaltenen Punkte samt Marken werden in eine Datei mit der Endung .dat\ gespeichert.
Aus dieser konnen sie zur graphischen Darstellung oder Weiterverarbeitung gelesen
"
werden.
1) Installation. Installation des Simulationsprogramms auf einem SUN-Rechner (im Netz
des Fachbereichs Mathematik der WWU Munster, Stand: Januar 1999):
Die benotigte Diskette bendet sich auf der letzten Seite dieser Arbeit.
Der Installationsrechner besitzt ein Diskettenlaufwerk.
1. Zunachst ein Kommandozeilenfenster onen (ein xterm, eine bash oder ahnliches; falls
dies noch nicht geschehen ist).
2. Diskette einlegen und durch den Befehl volcheck im Dateisystem anmelden (ublicherweise
lat sich die Diskette dann unter dem Verzeichnis /a ansprechen).
3. Mittels cd [Pfad] in das Verzeichnis wechseln, in welchem das Programm installiert
werden soll. Der Aufruf cd wechselt in das Heimat-(home-)Verzeichnis des aktuellen
Benutzers. (Achtung: Der Benutzer mu in dem Ziel-Verzeichnis Schreibrechte
besitzen.)
4. Durch den Aufruf tar xvf /a/simupp.tar wird das Programm in das Unterverzeichnis
simuPP des aktuellen Verzeichnisses installiert (eventuell ist der Befehl tar xvf
/a/SIMUPP.TAR einzugeben).
5. Die Diskette kann nun mit eject ausgeworfen werden.
6. Zum Start der Simulation mit dem Befehl cd [Pfad]/simuPP bzw. cd /simuPP in
das Programmverzeichnis wechseln und dort simuPP eingeben.
Der Installationsrechner besitzt kein Diskettenlaufwerk. Es wird dann ein Rechner im Netz
benotigt, der ein solches Laufwerk besitzt. Der Name dieses Rechners wird im folgenden
mit [Rechnername] bezeichnet.
Das Vorgehen ahnelt dem zuvor beschriebenen Fall, so da nur die zusatzlichen Schritte
erklautert werden.
1. Starte ein Kommandozeilenfenster auf dem Rechner ohne Diskettenlaufwerk. Einlegen
der Diskette in das Laufwerk des Rechners [Rechnername]. Um Zugri auf das
Laufwerk zu erhalten mittels rlogin [Rechnername] auf den Computer mit Laufwerk
einloggen\, heit der Rechner z.B. wald, so ist rlogin wald einzugeben.
"
2. Diskette durch volcheck anmelden und ...
3. durch cd [Pfad] in das gewunschte Verzeichnis wechseln.
4. Eingabe von tar xvf /a/simupp.tar (bzw. tar xvf /a/SIMUPP.TAR), um die Installation
des Programmes durchzufuhren.

v. Simulation von Punkt-Prozessen mit beschranktem Speicher 113
5. Auswurf der Diskette mit eject.
6. Druch Eingabe von logout den Rechner [Rechnername] wieder verlassen.
7. Zum Start der Simulation mit dem Befehl cd [Pfad]/simuPP in das Programmverzeichnis
wechseln, und dort simuPP eingeben.
(Hinweis: Das Programm sollte ohne groere Modikationen auch auf Linux-Rechnern benutzt
werden konnen { der Start des Programms auf einem Rechner mit der Linux-Distribution
" S.u.S.E. Linux 5.3\ war ohne Anderungen des Quelltextes moglich.)
2) Bedienungshinweise. Nach dem Start des Programms erhalt der Benutzer durch
anklicken des Hilfe-Buttons mit der linken Maustaste die moglichen Hilfethemen aufgelistet.
Bewegt man nun die Maus auf eines der funf Themen, so onet ein Klick mit der linken Maustaste
ein Fenster mit dem gewunschten Text. Diese Themen haben folgende Inhalte:
1. Bedienung: Gibt Hinweise zur Benutzung der Maus im Simulationsprogramm und bei der
Verwendung des Editors (um eigene Funktionsdateien zu erstellen).
2. Aktionen: Erklart die Aufgaben der im Aktionenfeld angeordneten Buttons.
3. Parameter: Erlautert die Bedeutung der Parameter, die vom Benutzer ubergeben werden.
4. Funktionsweise: Gibt die theoretischen Grundlagen des Programms wieder. Weiter wird
die Vorgehensweise zur Erzeugung eines Punkt-Prozesses sowie der Darstellung (graphisch/
tabellarisch) dargelegt.
5. Denition von Funktionen: Liefert Hinweise fur die Erstellung eigener Denitionsdateien
von Funktionen.
Die Funktionen konnen in jedem beliebigen Editor erstellt werden. Es ist lediglich zubeachten,
da C-Syntax genutzt wird und die Datei einen Namen der Form .fkt erhalt. Ferner mu
diese im Verzeichnis simuPP gespeichert werden, damit diese Datei genutzt werden kann. Man
beachte die Meldungen nach Aufruf des Programms im Kommandozeilenfenster, hier werden
auch die verfugbaren Funktionsdateien aufgelistet. Eine aktuelle Ubersicht uber die verfugbaren
Funktionsdateien erhalt man durch Eingabe von ls *.fkt im Kommandozeilenfenster (Basisverzeichnis:
simuPP)
Das Programm kann durch Anwahl des Buttons Ende beendet werden.

114 A3. Zum Programm
3) Beispiel fur die Realisation eines Punkt-Prozesses. Zoomstufe:
(t) def
= exp(,jtj)
h(x) def
=
(
, 10,x
exp fur x A
5
0 fur x>A
1
,=1,A=10
16
0 25 50 75 100
100 125 150 175 200
200 225 250 275 300
300 325 350 375 400
400 425 450 475 500
500 525 550 575 600
600 625 650 675 700
700 725 750

v. Simulation von Punkt-Prozessen mit beschranktem Speicher 115
A4. Quellcodes
1) C-Programm. Die benotigten Berechnungen nimmt das folgende C-Programm vor:
/* Simulation von Punkt-Prozessen mit beschranktem Speicher.
Dieser Teil erzeugt zufallig die Punkte eines Poisson-Prozesses auf der
positiven reellen Achse und wahlt diese nach vorgegebenen Schema aus.
Die so erzeugten Punkte werden in die Datei ??? geschrieben. */
/* C-Programm-Datei: simuPP/progs/simu_bsd.c */
/* Ubersetzen mit "gcc -lm -O -W -ansi simu_BSD.c" */
/* Hinzuladen von Funktionen ... */
#include /* ... zur Ein-/Ausgabe. */
#include /* ... fuer Datentypen. */
#include /* ... fuer Dateioperationen. */
#include /* ... fuer Zeit-/Datumsoperationen. */
#include /* ... fuer mathematische Operationen. */
#include "function.h" /* Datei mit Definition der Funktionen "phi" und "h",*/
/* diese Datei ist eine temporaere Kopie einer */
/* Funktionsdatei [Name].fkt (durch simuPP erstellt).*/
/*----- Strukturen definieren -----*/
typedef struct markPkt /* Strukturdefinition, die die noetigen Informationen
fuer Punkte des Poisson-Prozesses beinhaltet. */
{
double abstand; /* Abstand zum vorherigen Punkt. */
unsigned char marke; /* Marke des Punktes:
= 0 -> gehort NICHT zum konstruierten Proze
> 0 -> gehort zum konstruierten Proze. */
struct markPkt *pre; /* Zeiger auf vorhergehenden Punkt. */
struct markPkt *next; /* Zeiger auf nachfolgenden Punkt. */
} markierterPunkt; /* Erklaere Typ "markierterPunkt" als Struktur vom Typ
"markPkt". */
/* Die folgenden Funktionen sollen dazu dienen, die erste Zufallszahl wirklich
zufallig zu wahlen, ohne zusatzliche Initialisierung ist Folge der Zufallszahlen
ansonsten stets gleich; hier geschieht dies mit der aktuellen Zeit.*/
int sekunden() /* Extrahiert Sekunden aus der */
{ /* aktuellen Systemzeit. */
long zeitOhneSek, zeitSek;

116 A4. Quellcodes
zeitOhneSek = (int)(time(&zeitSek)/60);
return(time(&zeitSek)-zeitOhneSek*60);
} /*=== ENDE "int sekunden" ===*/
int minuten() /* Extrahiert Minuten aus der */
{ /* aktuellen Systemzeit. */
long zeitOhneMin, zeitMin;
zeitOhneMin = (int)(((time(&zeitMin)-sekunden())/60)/60);
return((time(&zeitMin)-sekunden())/60-zeitOhneMin*60);
} /*=== ENDE "int minuten" ===*/
int stunden() /* Extrahiert Stunden aus der */
{ /* aktuellen Systemzeit. */
long zeitOhneStd, zeitStd;
zeitOhneStd = (int)(((((time(&zeitStd)-sekunden())/60)-minuten())/60)/24);
return(((time(&zeitStd)-sekunden())/60-minuten())/60-zeitOhneStd*24+1);
} /*=== ENDE "int stunden" ===*/
/* Funktionen zur Erzeugung eines Punkt-Prozesses durch ausdunnen eines
Poisson-Prozesses der Intensitat LAMBDA. */
double exponentialVert() /* Gema Statistik-Skript Satz 26.4: */
{ /* liefert Exp(LAMBDA)-verteilten Zufallswert. */
double Wert; /* Variable zur Zwischenspeicherung des berechneten Wertes. */
Wert = (-1)*log((double) (1-drand48()))/LAMBDA; /* Berechnung eines gemaess
Exp(LAMBDA)-verteilten
Punktes, schreibe in
Variable "Wert". */
return(Wert); /* bei erreichen dieser Stelle liefert die Funktion
"exponentialVert" den Wert der Variable "Wert" zurueck. */
} /*=== ENDE "double exponentialVert" ===*/
double integralN(markierterPunkt *aktuellerPunkt) /* berechnet das Integral */
/* uber h(t-s) bezuglich */
{ /* N(ds) in (0,t). */
markierterPunkt *hilfsPunkt; /* bei der Berechnung des Integrals
benoetigter Hilfspunkt. */
double abstandHilfsAktPkt = 0; /* speichere den Abstand des Hilfspunkts
vom aktuellen Punkt in dieser Variable.*/
double hgesamt = 0;
/* Variable fuer den Gesamt-Wert des
Integrals. */
hilfsPunkt = aktuellerPunkt;
/* setze den aktuellen Punkt als Hilfspunkt.*/

v. Simulation von Punkt-Prozessen mit beschranktem Speicher 117
while((hilfsPunkt->pre != NULL) && ((abstandHilfsAktPkt abstand; /* Abstand des
aktuellen Punktes zum Hilfspunkt gleich
bisheriger Wert dieser Variablen plus
Abstand des Hilfs-Punktes zum naechsten
Punkt. */
hilfsPunkt = hilfsPunkt->pre;/* speichere den Vorgaenger des bisher in
der Variable "hilfsPunkt" abgespeicherten
Punktes in der Variable "hilfsPunkt". */
if (hilfsPunkt->marke > 0) /* gehoert der Hilfs-Punkt zum */
hgesamt += h(abstandHilfsAktPkt); /* ausgeduennten Prozess, so */
} /* addiere Wert der Funktion "h" */
/* an der entsprechenden Stelle zu */
/* "hgesamt" hinzu. */
return(hgesamt); /* bei erreichen dieser Stelle liefert die Funktion
"integralN" den Wert der Variable "hgesamt" zurueck. */
} /*=== ENDE "double integralN" ===*/
float psi(markierterPunkt *aktuellerPunkt) /* liefert den Wert von psi = */
{ /* phi(Integral uber h (t-s) */
/* auf (0,t) bezuglich ...). */
return(phi(integralN(aktuellerPunkt)));
} /*=== ENDE "float psi" ===*/
unsigned char bestimmeMarke(markierterPunkt *aktuellerPunkt) /* pruft, ob */
{ /* der gerade konstruierte Punkt zu N gehort. */
if (LAMBDA*drand48()

118 A4. Quellcodes
/* erzeuge solange Punkte, wie die maximale Zahl der bisher erzeugten Punkte
das gegebene Limit nicht ueberschreitet und die erzeugten Punkte das
vorgegebene Intervall nicht verlassen. */
if (((aktAnzPkte < maxAnzPkte) || (maxAnzPkte == 0)) &&
((*aktPosition < maxPosition) || (maxPosition == 0)))
{
/* prufe, ob Speicherplatz zum Erzeugen des nachsten Punktes zur Verfugung
steht. */
if ((aktuellerPunkt = (markierterPunkt *) malloc(sizeof(markierterPunkt)) )
== NULL)
{
printf("\nFEHLER: es steht nicht genugend Speicher fur diese Zahl
von Punkten zur Verfugung.\n");
exit(0);
}
/* Zeiger und Variablen initialisieren/ Werte zuordnen. */
letzterPunkt->next = aktuellerPunkt;
/* der bisher letzte Punkt
verweist auf den Punkt
"aktuellerPunkt" als
nachfolgenden Punkt. */
aktuellerPunkt->abstand = exponentialVert(); /* erzeuge Abstand des neuen
Punktes von bisher letzen
Punkt gemaess Exp(LAMBDA)
Verteilung. */
aktuellerPunkt->pre = letzterPunkt;
/* Vorgaenger des neuen
Punktes ist der bisher
letzte Punkt. */
aktuellerPunkt->next = NULL;
/* der nachfolgende Punkt des
neuen Punktes existiert
(noch) nicht. */
aktuellerPunkt->marke = bestimmeMarke(aktuellerPunkt); /* setzen der Marke
des aktuellen Punktes. */
*aktPosition += (long double) aktuellerPunkt->abstand; /* die Position des
zuletzt erzeugten Punktes
auf dem Zahlenstrahl ist die
Position des zuvor erzeugten
Punktes zuzueglich des
Abstandes dieser Punkte. */
aktAnzPkte++;
/* Zahl der bisher erzeugten
Punkte um 1 erhoehen. */
printf("%6ld",aktAnzPkte);
/* Ausgabe der Nummer des
gerade erzeugten Punktes. */
if (aktAnzPkte % 10 == 0) /* nach 10 Punkten in neue */
printf("\n"); /* Zeile springen. */
letzterPunkt = aktuellerPunkt;
/* der neue Punkt wird zum
neuen letzten Punkt. */
/* durch (rekursiven) Aufruf von "naechsterPunkt" wird der nachfolgenden
Punkt konstruiert. */
naechsterPunkt
(letzterPunkt, aktAnzPkte, maxAnzPkte, aktPosition, maxPosition);
}
} /*=== ENDE "void naechsterPunkt" ===*/

v. Simulation von Punkt-Prozessen mit beschranktem Speicher 119
int schreibePunkt(markierterPunkt *aktuellerPunkt, FILE *datei) /* Speichern
der erzeugten Punkte in die Datei "'zieldatei'.dat". */
{
int tempZustand;
/* temporaere Variable, die den Zustand der
Schreiboperation beinhaltet. */
if ((tempZustand= fprintf(datei, "%1d; %20.8lf\n",
aktuellerPunkt->marke, aktuellerPunkt->abstand))
== -1) /* schlaegt die Schreiboperation fehlt, */
return(-1); /* steige aus Funktion aus; sonst */
else /* rekursiver Aufruf von "schreibePunkt", */
if (aktuellerPunkt->next != NULL) /* solange noch Punkte vorhanden. */
{
tempZustand = schreibePunkt(aktuellerPunkt->next, datei);
return(tempZustand);
}
else
return(0);
} /*=== ENDE "int schreibePunkt" ===*/
int speicherProzess(markierterPunkt *ersterPunkt, /* Oeffnet die Datei */
char zieldatei[255], /* "'zieldatei'.dat", um */
long double aktPosition) /* mittels "schreibe Punkt" */
/* die einzelnen Punkte */
/* darin zu sichern. */
{
FILE *datei; /* Variable als Verweis auf die zum Schreiben geoeffnete Datei */
int tempZustand; /* wie in Funktion "schreibePunkt". */
datei = fopen(zieldatei, "w");
/* oeffnen der Datei "'zieldatei'" zum schreiben.*/
if (datei == NULL) /* War das Oeffnen der Datei erfolglos, so liefere den Wert */
return(-1); /* "-1" zurueck, sonst: */
else /* schreibe Werte in die geoeffnete Datei. */
{
if ((tempZustand
= fprintf(datei, "PUNKT-PROZESS (Marke; Zwischenabstand)\n")) == -1)
return(-1); /* Kopfzeile schreiben. */
else if ((tempZustand = fprintf(datei, "%Lf\n", aktPosition)) == -1)
return(-1); /* Schreibe die Position des letzten Punktes in die Datei. */
else
{
tempZustand = schreibePunkt(ersterPunkt, datei); /* schreibe (rekursiv) die */
if (tempZustand == -1) /* Punkte in die Datei. */
return(tempZustand);
}
if ((tempZustand = fprintf(datei, "ENDE\n")) == -1) /* Als Markierung des */
return(-1);
/* Endes der Datei: "ENDE".*/

120 A4. Quellcodes
fclose(datei); /* Schliesse die Datei. */
return(0); /* die Schreiboperation war erfolgreich, gebe den Wert "0" zurueck. */
}
} /*=== ENDE "int speicherProzess" ===*/
/***************************/
/****** Hauptprogramm ******/
/***************************/
main(int argc, char *argv[], char *envp[])
{
/*----- Konstante Vorgaben -----*/
long double maxPosition = 0; /* (0,maxWert]=Konstr.intervall,=0: bel. lang. */
long int maxAnzPkte = 0; /* Zahl der zu konstr. Punkte,=0: bel. viele. */
char zieldatei[1024] = ""; /* Zieldatei fur den erzeugten Proze. */
/*----- Varablen Deklaration ----- */
long double aktPosition = 0; /* Summe der Abstande. */
long int aktAnzPkte = 0; /* Zahl der bisher konstruierten Punkte. */
markierterPunkt *ersterPunkt; /* Ausgezeichnete Punkte eines Punkt-Prozesses: */
markierterPunkt *letzterPunkt; /* erster und letzter Punkt. */
int tempZustand; /* temporaere Zustandsvariable. */
/* Folge der Zufallszahlen (mittels Uhrzeit) initialisieren. */
srand48(stunden()*minuten()*sekunden());
/* prufe, ob Speicherplatz zum Erzeugen der Punkteliste zu Verfugung steht. */
if ((ersterPunkt = (markierterPunkt *) malloc(sizeof(markierterPunkt)) )
== NULL)
{
printf("\nFEHLER: kein Speicher verfugbar, um eine Punkteliste zu erzeugen.\n");
exit(0);
}
/* Zeiger und Variablen initialisieren. */
maxPosition = (long double) atof (argv[1]); /* Position aller konstruierten
zwischen 0 und maxPosition. */
maxAnzPkte = (long int) atof (argv[2]); /* erzeuge hoechstens maxAnzPkte
Punkte. */
strcpy(zieldatei, argv[3]); /* Ziel fuer die Daten: */
strcat(zieldatei, ".dat"); /* "'zieldatei'.dat". */
ersterPunkt->abstand = 0; /* initialisiere die */
ersterPunkt->marke = 0; /* Komponenten des ersten */
ersterPunkt->pre = NULL; /* Punktes. */
ersterPunkt->next = NULL;
letzterPunkt = ersterPunkt;

v. Simulation von Punkt-Prozessen mit beschranktem Speicher 121
/* ersten Punkt konstruieren. */
ersterPunkt->abstand = exponentialVert();
ersterPunkt->marke = bestimmeMarke(ersterPunkt);
aktPosition = (long double) ersterPunkt->abstand;
aktAnzPkte++;
printf("%6ld",aktAnzPkte);
/* zweiten Punkt konstruieren, da sich diese Funktion rekursiv wieder aufruft,
werden durch diesen Aufruf alle weiteren Punkte konstruiert. */
naechsterPunkt
(letzterPunkt, aktAnzPkte, maxAnzPkte, &aktPosition, maxPosition);
/* speichern des erzeugten Punkt-Prozesses. */
if ((tempZustand = speicherProzess(ersterPunkt, zieldatei, aktPosition))
== -1)
printf("\nSpeicherung der erzeugten Werte in \"%s\" fehlgeschlagen!\n");
else
printf("\nDie erzeugten Werte wurden in die Datei\n \"%s\"\ngeschrieben.\n",
zieldatei);
return(0);
} /*=== ENDE "main" ===*/

122 A4. Quellcodes
2) Tcl/Tk-Script. Die Benutzerschnittstelle und Ausgabe der Punkte wurde in der
Script-Sprache Tcl/Tk realisiert:
#!/bin/sh
##### Tcl/Tk-Script: simuPP/progs/simuPP #####
# starte tcl/tk-Interpreter \
exec wish "$0" "$@"
##### Hauptfenster, von dem alle Funktionen aus angewahlt werden #####
eval destroy [winfo child .]
wm title . "Simulation von Punkt-Prozessen"
wm iconname . "Simulation PP"
wm resizable . 0 0
set tk_strictMotif 1
set quelldatei "PktProz"
set einheit 128
set maxAnzPkte 100
set maxPosition 100
set fenster 0
set ausgabe .ausgaben.text
if {$argc == 1} {
set quelldatei [lindex $argv 0]
}
#----- Aktionen -----#
frame .aktionen -borderwidth 2 -relief groove
pack .aktionen -side left -anchor nw -padx 4m -pady 4m
label .aktionen.kopfzeile -text "AKTIONEN."\
-font -*-Helvetica-Bold-R-Normal--*-180-*-*-*-*-*-*
pack .aktionen.kopfzeile -side top -anchor nw -padx 4m -pady 4m
label .aktionen.zwtext1 -text ""
button .aktionen.fktBearb -text "Bearbeite\nFunktionen" -width 13\
-command {exec textedit $quelldatei.fkt &}
button .aktionen.bspFkt -text "Beispiel fur\nFunktionen" -width 13\
-command {source [file join hilfe/fktbsp.hlp]}
button .aktionen.uebersetzen -text "Ubersetzen" -width 13\
-command {$ausgabe configure -state normal
$ausgabe delete 0.0 end
if {[file exists $quelldatei.fkt]} {
$ausgabe insert end "Bereite Erstellung eines Punkt-Prozesses\
mit den in\n\ \ \ \"${quelldatei}.fkt\"\ngegebenen Funktionen\
vor - bitte warten ..."
update
$ausgabe insert end [file copy -force\
$quelldatei.fkt progs/function.h]
if {[catch {exec gcc -lm -O -W progs/simu_bsd.c}] == 0} {
$ausgabe insert end [file delete progs/function.h]
file rename -force a.out $quelldatei.exe
exec chmod a+x $quelldatei.exe

v. Simulation von Punkt-Prozessen mit beschranktem Speicher 123
$ausgabe insert end "\n\nBeendet."
} else {
$ausgabe insert end "\n\nBei der Ubersetzung ist ein Fehler\
aufgetreten!\
\nPrufen Sie, ob die Funktionen phi und h korrekt\
definiert\nwurden."
}
$ausgabe see end
} else {
$ausgabe insert end "Ubersetzen.\n\
\nFEHLER: Die Datei \"$quelldatei.fkt\" existiert nicht!"
}
$ausgabe configure -state disabled}
label .aktionen.zwtext2 -text ""
button .aktionen.werteErzeugen -text "Erzeuge Punkte\ndes Prozesses" -width 13\
-command {$ausgabe configure -state normal
$ausgabe delete 0.0 end
if {[string match "" [string trim $maxAnzPkte 0123456789]] &&
[string match "" [string trim $maxPosition 0123456789]]} {
if {[string match "" $maxAnzPkte]} {
set maxAnzPkte 0}
if {[string match "" $maxPosition]} {
set maxPosition 0}
if {($maxAnzPkte == 0) && ($maxPosition == 0)} {
$ausgabe insert end "Erzeuge Punkte des Prozesses.\n\
\nFEHLER: Die maximale Anzahl der Punke und rechte\
\nIntervallbegrenzung ist \"0\"."
} else {
if {[file exists $quelldatei.exe]} {
$ausgabe insert end\
"Erzeuge Punkt-Proze - bitte warten ...\n"
update
$ausgabe insert end\
[exec $quelldatei.exe $maxPosition $maxAnzPkte $quelldatei]
$ausgabe insert end "\n\nBeendet."
} else {
$ausgabe insert end "Erzeuge Punkt-Proze.\n\
\nFEHLER: Die Datei \"$quelldatei.exe\" existiert nicht!\
\nBenutze \"Ubersetzen\", um diese Datei zu erzeugen."
}
$ausgabe see end
}
} else {
$ausgabe insert end "Erzeuge Punkte des Prozesses.\n\
\nFEHLER: Die maximale Anzahl der Punkte und/ oder die rechte\
\nIntervallbegrenzung ist keine naturliche Zahl."
}
$ausgabe configure -state disabled}
label .aktionen.zwtext3 -text "\nAusgabe des\nPunkt-Prozesses" -justify left
button .aktionen.graphisch -text "auf Zahlenstrahl" -width 13\
-command {$ausgabe configure -state normal
$ausgabe delete 0.0 end
if {[file exists $quelldatei.dat]} {
$ausgabe insert end "Ausgabe des Punkt-Prozesses aus\n\

124 A4. Quellcodes
\ \ \"$quelldatei.dat\"\
\n- bitte warten ...\n"
update
graphAusgabe $einheit $quelldatei $ausgabe
$ausgabe insert end "\n\nBeendet."
$ausgabe see end
} else {
$ausgabe insert end\
"Ausgabe des Punkt-Prozesses auf Zahlenstrahl.\n\
\nFEHLER: Die Datei \"$quelldatei.dat\" existiert nicht!"
}
$ausgabe configure -state disabled}
button .aktionen.tabelle -text "in Werte-Tabelle" -width 13\
-command {$ausgabe configure -state normal
$ausgabe delete 0.0 end
if {[file exists $quelldatei.dat]} {
$ausgabe insert end "Ausgabe der Werteliste aus\n\
\ \ \"$quelldatei.dat\"\
\n- bitte warten ..."
update
werteListe $quelldatei $ausgabe
$ausgabe insert end "\n\nBeendet."
$ausgabe see end
} else {
$ausgabe insert end\
"Ausgabe des Punkt-Prozesses in Werte-Tabelle.\n\
\nFEHLER: Die Datei \"$quelldatei.dat\" existiert nicht!"
}
$ausgabe configure -state disabled}
label .aktionen.zwtext4 -text ""
button .aktionen.hilfe -text "Hilfe" -width 13\
-command {hilfe $ausgabe}
pack .aktionen.zwtext1 .aktionen.fktBearb .aktionen.bspFkt\
.aktionen.uebersetzen .aktionen.zwtext2 .aktionen.werteErzeugen\
.aktionen.zwtext3 .aktionen.graphisch .aktionen.tabelle\
.aktionen.zwtext4 .aktionen.hilfe -side top -anchor nw -padx 4m
button .aktionen.ende -text "Ende" -command exit -width 13
pack .aktionen.ende -side top -anchor nw -padx 4m -pady 4m
#-----Parameter -----#
frame .parameter -borderwidth 2 -relief groove
pack .parameter -side top -anchor nw -padx 4m -pady 4m
# Datei und Ubersetzung #
frame .parameter.compPar
pack .parameter.compPar -side left -anchor nw -padx 4m -pady 4m
label .parameter.compPar.kopfzeile -text "PARAMETER."\
-font -*-Helvetica-Bold-R-Normal--*-180-*-*-*-*-*-*
label .parameter.compPar.zwtext1 -text ""
label .parameter.compPar.zwtext2\
-text "1. DATEI\nQuelldatei (ohne Endung \".fkt\", \".dat\"):" -justify left
frame .parameter.compPar.bearbDatei

v. Simulation von Punkt-Prozessen mit beschranktem Speicher 125
label .parameter.compPar.zwtext3 -text "\n2. ERZEUGUNG."
frame .parameter.compPar.maxAnzPkte
label .parameter.compPar.zwtext4\
-text "und beschranke die Konstruktion auf das"
frame .parameter.compPar.konstrIntervall
pack .parameter.compPar.kopfzeile .parameter.compPar.zwtext1\
.parameter.compPar.zwtext2 .parameter.compPar.bearbDatei\
.parameter.compPar.zwtext3 .parameter.compPar.maxAnzPkte\
.parameter.compPar.zwtext4 .parameter.compPar.konstrIntervall\
-side top -anchor w
entry .parameter.compPar.bearbDatei.wert -width 37 -textvariable quelldatei\
-justify left -xscrollcommand ".parameter.compPar.bearbDatei.xScroll set"\
-highlightthickness 0
scrollbar .parameter.compPar.bearbDatei.xScroll -relief sunken -orient horiz\
-command ".parameter.compPar.bearbDatei.wert xview" -width 9
pack .parameter.compPar.bearbDatei.wert .parameter.compPar.bearbDatei.xScroll\
-side top -fill x
label .parameter.compPar.maxAnzPkte.txt1 -text "Erzeuge maximal"
entry .parameter.compPar.maxAnzPkte.wert -width 13 -textvariable maxAnzPkte\
-justify right -highlightthickness 0
label .parameter.compPar.maxAnzPkte.txt2 -text "Punkte"
pack .parameter.compPar.maxAnzPkte.txt1 .parameter.compPar.maxAnzPkte.wert\
.parameter.compPar.maxAnzPkte.txt2 -side left
label .parameter.compPar.konstrIntervall.txt1 -text "Intervall (0,"
entry .parameter.compPar.konstrIntervall.wert -width 13\
-textvariable maxPosition -justify right -highlightthickness 0
label .parameter.compPar.konstrIntervall.txt2 -text "]."
pack .parameter.compPar.konstrIntervall.txt1\
.parameter.compPar.konstrIntervall.wert\
.parameter.compPar.konstrIntervall.txt2 -side left
# Zoomstufe #
frame .parameter.graphAus
pack .parameter.graphAus -anchor nw -padx 4m -pady 4m
label .parameter.graphAus.zwtext1 -text "\n3. AUSGABE."
frame .parameter.graphAus.einheit
pack .parameter.graphAus.zwtext1 .parameter.graphAus.einheit -side top\
-anchor nw
frame .parameter.graphAus.einheit.links
frame .parameter.graphAus.einheit.rechts
pack .parameter.graphAus.einheit.links .parameter.graphAus.einheit.rechts\
-side left
label .parameter.graphAus.einheit.links.zoomstufe -text "Zoomstufe:"
pack .parameter.graphAus.einheit.links.zoomstufe -side top
foreach i {64 32 16 8 4 2 1} {
radiobutton .parameter.graphAus.einheit.links.rb$i\
-text "[format "%5s " 1/[expr (128/$i)]]"\

126 A4. Quellcodes
-variable einheit -relief flat -value $i
pack .parameter.graphAus.einheit.links.rb$i -side top -anchor center
}
foreach i {128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384} {
radiobutton .parameter.graphAus.einheit.rechts.rb$i\
-text "[format "%3s" [expr ($i/128)]]"\
-variable einheit -relief flat -value $i
pack .parameter.graphAus.einheit.rechts.rb$i -side top -anchor center
}
#----- Ausgaben -----#
frame .ausgaben
pack .ausgaben -side top -anchor nw -padx 4m -pady 3m
text .ausgaben.text -width 60 -height 13 -wrap char\
-yscrollcommand ".ausgaben.yscroll set"
scrollbar .ausgaben.yscroll -relief sunken -command ".ausgaben.text yview"\
-width 13
pack .ausgaben.text .ausgaben.yscroll -fill y -side left
.ausgaben.text tag configure big\
-font -*-Helvetica-Bold-R-Normal--*-120-*-*-*-*-*-*
.ausgaben.text insert end\
"Simulation von Punkt-Prozessen mit beschranktem Speicher.\n" big
.ausgaben.text insert end "\n\nDieses Programm entstand im Rahmen der\
Diplomarbeit\
\n\"Existenz und Stabilitat nichtlinearer Hawkes-Prozesse\" am\
\nInstitut fur Mathematische Statistik der Westfalischen\
\nWilhelms-Universitat Munster.\n"
.ausgaben.text insert end "\nBetreuer: Prof. Dr. G. Alsmeyer"
.ausgaben.text insert end "\nErstellt von: Jurgen te Vrugt"
.ausgaben.text insert end "\n\nMunster, 1998/1999."
$ausgabe configure -state disabled
##### graphische Ausgabe des Punkt-Prozesses #####
proc graphAusgabe {einheit quelldatei ausgabe} {
global fenster
#---- Fenster zur graphischen Werteausgabe erstellen ----#
catch {destroy .zeigePunkte$fenster}
toplevel .zeigePunkte$fenster
wm title .zeigePunkte$fenster "Graphische Ausgabe der Punkte: $quelldatei"
wm iconname .zeigePunkte$fenster "Graphik"
# Linux: ...x250 Sun: ...x280
wm geometry .zeigePunkte$fenster [winfo screenwidth .]x280
#---- Variablen ----#
set zaehler 1
# fur Datei-Operationen #
set datei [open ${quelldatei}.dat r]
# fur Ausgabe #
set nummer 0

v. Simulation von Punkt-Prozessen mit beschranktem Speicher 127
set maxPosition 0
set xNullpkt 10
set position 0
set bitteWarten 0
set xScrollIncrement 1p
set aktLinienPos $xNullpkt
set aktZeichenPos $xNullpkt
#---- Datei-Kopf auslesen ----#
gets $datei
set maxPosition [string trim [gets $datei]]
set maxPosition [expr ($maxPosition * $einheit)]
#---- Ausgabefenster initialisieren/ Objekte erzeugen ----#
frame .zeigePunkte$fenster.ausgabe
pack .zeigePunkte$fenster.ausgabe
append hScrollBereich "0p 0p " [expr ($maxPosition+2*$xNullpkt+200)] "p 0p"
# Linux: -height 117 Sun: -height 147
canvas .zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse\
-height 147 -width [expr ($maxPosition + 8 * $xNullpkt + 200)]\
-relief sunken -borderwidth 2\
-xscrollcommand ".zeigePunkte$fenster.ausgabe.hscroll set"\
-scrollregion $hScrollBereich
pack .zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse
scrollbar .zeigePunkte$fenster.ausgabe.hscroll -orient horiz\
-command ".zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse xview"
pack .zeigePunkte$fenster.ausgabe.hscroll -fill x
label .zeigePunkte$fenster.bitteWarten -text "Bitte warten ..."
pack .zeigePunkte$fenster.bitteWarten
# Zeichne Grundlinie #
.zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse create line\
${xNullpkt}p 66p ${xNullpkt}p 96p -width 2
.zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse create line\
[expr ($xNullpkt-1)]p 66p\
[expr (int ($maxPosition)+$xNullpkt+200)]p 66p -arrow last -width 2
.zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse create text ${xNullpkt}p 103p\
-text [expr ($zaehler-1)]
#---- Einlesen der Daten, Erzeugung eines Zahlenstrahls, ----#
#---- Ausgabe der Punkte auf diesem Zahlenstrahl ----#
while {![eof $datei]} {
# Einlesen der Punkte und Marken in die Arrays "abstand()" und marke() #
set marke($zaehler) [read $datei 1]
set abstand($zaehler) [gets $datei]
set abstand($zaehler) [string trim $abstand($zaehler) " ;"]
set zeile ""
append zeile $marke($zaehler) $abstand($zaehler)
if {[string compare $zeile "ENDE"] == 0} {

128 A4. Quellcodes
set marke($zaehler) -1
set abstand($zaehler) ""
gets $datei
} else {
# Punkte auf die Achse zeichnen #
set aktZeichenPos [expr ($aktZeichenPos + ($abstand($zaehler)*$einheit))]
.zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse create line\
${aktZeichenPos}p 66p\
${aktZeichenPos}p [expr (55 - $marke($zaehler) * 22)]p
if {$marke($zaehler) == 1} {
.zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse create oval\
[expr ($aktZeichenPos-2)]p 29p [expr ($aktZeichenPos+2)]p 33p\
-fill red
#.zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse create text\
# [expr ($aktZeichenPos+.2)]p 33p -text ""
}
# Skala auf die reellen Achse zeichnen #
while {$aktLinienPos < $aktZeichenPos} {
if {$einheit >= 1} {
if {[expr ($einheit * $nummer)] % 2048 == 0} {
if {$bitteWarten == 0} {
.zeigePunkte$fenster.bitteWarten configure\
-text "Bitte warten ..."
set bitteWarten 1
} else {
.zeigePunkte$fenster.bitteWarten configure -text ""
set bitteWarten 0
}
}
if {($einheit >= 128) ||
(($einheit == 64) && ([expr (($nummer+1) % 2)] == 0)) ||
(($einheit == 32) && ([expr (($nummer+1) % 5)] == 0)) ||
(($einheit == 16) && ([expr (($nummer+1) % 10)] == 0)) ||
(($einheit == 8) && ([expr (($nummer+1) % 25)] == 0)) ||
(($einheit = 8) && ($einheit < 64)} {
.zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse create line\
[expr ($aktLinienPos+$einheit)]p 66p\
[expr ($aktLinienPos+$einheit)]p 81p
} elseif {($einheit >= 1) && ($einheit < 8) &&\
([expr (($nummer+1) % 5)] == 0)} {

v. Simulation von Punkt-Prozessen mit beschranktem Speicher 129
.zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse create line\
[expr ($aktLinienPos+$einheit)]p 66p\
[expr ($aktLinienPos+$einheit)]p 81p
}
if {$einheit >= 64} {
.zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse create line\
[expr ($aktLinienPos + .5 * $einheit)]p 66p\
[expr ($aktLinienPos + .5 * $einheit)]p 85p
if {$einheit >= 256} {
.zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse create text\
[expr ($aktLinienPos+.5*$einheit)]p 103p -text $nummer.5
}
if {$einheit >= 128} {
for {set tempzaehler 1} {$tempzaehler < 10} {incr tempzaehler} {
.zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse create line\
[expr ($aktLinienPos + ($tempzaehler*.1)*$einheit)]p 66p\
[expr ($aktLinienPos + ($tempzaehler*.1)*$einheit)]p 79p
if {$einheit >= 1024} {
.zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse create text\
[expr ($aktLinienPos+$tempzaehler*.1*$einheit)]p 103p\
-text $nummer.$tempzaehler
}
}
if {$einheit >= 256} {
for {set tempzaehler 1} {$tempzaehler = 4096} {
.zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse create text\
[expr ($aktLinienPos+($tempzaehler*.1-.05)*$einheit)]p\
103p -text [expr ($nummer+$tempzaehler*.1-.05)]
}
}
if {$einheit >= 1024} {
for {set tempzaehler 1} {$tempzaehler < 100}\
{incr tempzaehler} {
.zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse create line\
[expr ($aktLinienPos + ($tempzaehler*.01)*$einheit)]p\
66p\
[expr ($aktLinienPos + ($tempzaehler*.01)*$einheit)]p 72p
if {$einheit >= 16384} {
.zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse create text\
[expr ($aktLinienPos+$tempzaehler*.01*$einheit)]p 103p\
-text [expr ($nummer+$tempzaehler*.01)]
}
}
if {$einheit >= 4096} {
for {set tempzaehler 1} {$tempzaehler

130 A4. Quellcodes
}
}
}
}
}
}
[expr ($aktLinienPos+($tempzaehler*.01-.005)*$einheit)]p\
66p\
[expr ($aktLinienPos+($tempzaehler*.01-.005)*$einheit)]p\
70p
}
if {$einheit >= 16384} {
for {set tempzaehler 1} {$tempzaehler < 1000}\
{incr tempzaehler} {
.zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse create line\
[expr ($aktLinienPos+($tempzaehler*.001)*$einheit)]p\
66p\
[expr ($aktLinienPos+($tempzaehler*.001)*$einheit)]p\
68p
}
}
set aktLinienPos [expr ($aktLinienPos + $einheit)]
incr nummer
}
}
# "zaehler" erhohen
incr zaehler
}
close $datei
#
destroy .zeigePunkte$fenster.bitteWarten
unset bitteWarten
frame .zeigePunkte$fenster.unten
pack .zeigePunkte$fenster.unten
# Info-Leiste
frame .zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste -relief groove -borderwidth 2
pack .zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste -side left -padx 7m -pady 3m
if {$einheit >= 128} {
label .zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.auflsg\
-text "Zoomstufe: [expr ($einheit / 128)]"
} else {
label .zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.auflsg\
-text "Zoomstufe: 1/[expr (128 / $einheit)]"
}
frame .zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.pkte
pack .zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.auflsg\
.zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.pkte\

v. Simulation von Punkt-Prozessen mit beschranktem Speicher 131
-side left -padx 17 -anchor w
frame .zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.pkte.legende1
frame .zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.pkte.legende2
pack .zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.pkte.legende1\
.zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.pkte.legende2 -side top -anchor w
canvas .zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.pkte.legende1.symbol\
-height 38 -width 13
label .zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.pkte.legende1.zwtext\
-text "-Punkte des erzeugten Prozesses."
pack .zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.pkte.legende1.symbol\
.zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.pkte.legende1.zwtext\
-side left -anchor w
.zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.pkte.legende1.symbol create line\
2p 34p 12p 34p
.zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.pkte.legende1.symbol create line\
7p 4p 7p 34p
.zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.pkte.legende1.symbol create oval\
5p 2p 9p 6p -fill red
canvas .zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.pkte.legende2.symbol\
-height 27 -width 13
label .zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.pkte.legende2.zwtext\
-text "-nicht ausgewahlter Punkt des Poisson-Prozesses. "
pack .zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.pkte.legende2.symbol\
.zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.pkte.legende2.zwtext\
-side left -anchor w
.zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.pkte.legende2.symbol create line\
2p 19p 12p 19p
.zeigePunkte$fenster.unten.iLeiste.pkte.legende2.symbol create line\
7p 9p 7p 19p
# Button-Leiste
frame .zeigePunkte$fenster.unten.bLeiste
pack .zeigePunkte$fenster.unten.bLeiste -padx 7m
frame .zeigePunkte$fenster.unten.bLeiste.ausgPS
frame .zeigePunkte$fenster.unten.bLeiste.befehle
pack .zeigePunkte$fenster.unten.bLeiste.ausgPS\
.zeigePunkte$fenster.unten.bLeiste.befehle -side top -padx 5m -pady 1m
button .zeigePunkte$fenster.unten.bLeiste.ausgPS.ausschnittPS -width 30\
-text "Postscript-sichtbarer Bereich"\
-command "ausschnittPS .zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse\
$maxPosition $xNullpkt $quelldatei"
button .zeigePunkte$fenster.unten.bLeiste.ausgPS.gesamtPS -width 30\
-text "Postscript-gesamte Achse"\
-command "gesamtPS .zeigePunkte$fenster.ausgabe.reelleAchse $maxPosition\
$xNullpkt $quelldatei"
pack .zeigePunkte$fenster.unten.bLeiste.ausgPS.ausschnittPS\

132 A4. Quellcodes
.zeigePunkte$fenster.unten.bLeiste.ausgPS.gesamtPS -side top
button .zeigePunkte$fenster.unten.bLeiste.befehle.druckHilfe\
-text "Postscript Hilfe" -width 14\
-command "source [file join hilfe/pshilfe.hlp]"
button .zeigePunkte$fenster.unten.bLeiste.befehle.fensterSchliessen\
-text "Schlieen" -width 11\
-command "destroy .zeigePunkte$fenster"
pack .zeigePunkte$fenster.unten.bLeiste.befehle.druckHilfe\
.zeigePunkte$fenster.unten.bLeiste.befehle.fensterSchliessen\
-side left -padx 1m
}
incr fenster
proc ausschnittPS {canv maxPosition xNullpkt quelldatei} {
$canv postscript -colormode mono -file $quelldatei.ps\
-pagewidth 28.0c -pagey 14.85c -rotate 1\
-width [expr (floor ([lindex [$canv xview] 1]*\
($maxPosition+8*$xNullpkt+200)+1)-\
floor ([lindex [$canv xview] 0]*$maxPosition))]p\
-x [expr (floor ([lindex [$canv xview] 0]*$maxPosition))]p
# Parameter fuer:
# DIN-A4 quer: -pagewidth 28c -pagey 14.85c -rotate 1
# -width [...*(...+8*...+200)+1)-...]
# DIN-A4 hoch: -pagewidth 17.2c -pagey 8.6c -rotate 0
# -width [...*(...+8*...+200)+1)-...]
}
proc gesamtPS {canv maxPosition xNullpkt quelldatei} {
for {set ausgzaehler 0}\
{[expr ($ausgzaehler*1500)]

v. Simulation von Punkt-Prozessen mit beschranktem Speicher 133
wm positionfrom .liste$fenster program
label .liste$fenster.kopf -anchor w\
-text "Marke Position "
pack .liste$fenster.kopf
frame .liste$fenster.werte
pack .liste$fenster.werte
text .liste$fenster.werte.text\
-width 24 -setgrid 1\
-yscrollcommand ".liste$fenster.werte.scroll set"
scrollbar .liste$fenster.werte.scroll\
-command ".liste$fenster.werte.text yview"
pack .liste$fenster.werte.scroll -side right -fill y
pack .liste$fenster.werte.text -fill y
set zaehler 1
set aktPos 0
set datei [open ${quelldatei}.dat r]
gets $datei
gets $datei
while {![eof $datei]} {
set marke($zaehler) [read $datei 1]
set abstand($zaehler) [gets $datei]
set abstand($zaehler) [string trim $abstand($zaehler) " ;"]
set zeile ""
append zeile $marke($zaehler) $abstand($zaehler)
if {[string compare $zeile "ENDE"] == 0} {
set marke($zaehler) -1
set abstand($zaehler) ""
gets $datei
}
if {$marke($zaehler) != -1} {
if {$zaehler > 1} {
.liste$fenster.werte.text insert end \n}
.liste$fenster.werte.text insert end $marke($zaehler)
set aktPos [expr ($aktPos + $abstand($zaehler))]
.liste$fenster.werte.text insert end [format " %22.4f" $aktPos]
}
if {($zaehler % 100) == 0} {
$ausgabe insert end "."
update
}
}
incr zaehler
close $datei

134 A4. Quellcodes
button .liste$fenster.fensterSchliessen -text "Schlieen"\
-command "destroy .liste$fenster"
pack .liste$fenster.fensterSchliessen
}
incr fenster
##### Hilfe #####
proc hilfe {ausgabe} {
if {[winfo depth $ausgabe] > 1} {
set bold "-background #43ce80 -relief raised -borderwidth 1"
set normal "-background {} -relief flat"
} else {
set bold "-foreground white -background black"
set normal "-foreground {} -background {}"
}
$ausgabe configure -state normal
$ausgabe delete 0.0 end
$ausgabe tag configure big\
-font -*-Helvetica-Bold-R-Normal--*-180-*-*-*-*-*-*
$ausgabe insert end "Hilfe.\n" big
$ausgabe insert end "Simulation eines Punkt-Prozesses mit beschranktem\
Speicher\nauf der positiven reellen Achse.\n\n"
$ausgabe insert end "1. Bedienung\n" bedienung
$ausgabe insert end "2. Aktionen\n" action
$ausgabe insert end "3. Parameter\n" para
$ausgabe insert end "4. Funktionsweise\n" fktsweise
$ausgabe insert end "5. Definition von Funktionen\n" fktdef
$ausgabe insert end "\nAuswahl eines Themas durch anklicken mit der\
linken\nMaustaste."
foreach tag {bedienung action para fktsweise fktdef} {
$ausgabe tag bind $tag "$ausgabe tag configure $tag $bold"
$ausgabe tag bind $tag "$ausgabe tag configure $tag $normal"
}
$ausgabe tag bind bedienung {source [file join hilfe/bedienng.hlp]}
$ausgabe tag bind action {source [file join hilfe/action.hlp]}
$ausgabe tag bind para {source [file join hilfe/para.hlp]}
$ausgabe tag bind fktsweise {source [file join hilfe/fktsweis.hlp]}
$ausgabe tag bind fktdef {source [file join hilfe/fktdef.hlp]}
$ausgabe configure -state disabled
}

v. Simulation von Punkt-Prozessen mit beschranktem Speicher 135
3) Beispiel fur eine Funktionsdatei. Durch das C-Programm wird eine Funktionsdatei
importiert, die die Denitionen von h und (im Programmtext mit phi\ bezeichnet) beinhaltet.
"
Hier nun ein Beipiel fur eine solche Datei. Da diese durch ein C-Programm verarbeitet wird, mu
die Datei dem Formalismus von C-Programmen genugen.
double LAMBDA = 1; /* Wert, durch den die Funktion phi beschrankt wird */
double phi(double x)
{
double wertvonphi = 0;
if ((-50

136 A4. Quellcodes
4) Funktionsdateien zum Programm. Es folgt eine Auistung der Funktionsdateien,
die unmittelbar nach Installation des Programms verfugbar und im Verzeichnis simuPP zu nden
sind.
Zur Erinnerung: : R ! [0; 1) und h :[0;1)!R(siehe auch Abschnitt 3).
Datei: bsp01.fkt
= 1, 1, A = 0, h 0 (alle Punkte des Poisson-Prozesses werden
mit der Marke 1versehen)
Datei: bsp02.fkt
Datei: bsp03.fkt
Datei: bsp04.fkt
Datei: bsp05.fkt
Datei: bsp06.fkt
Datei: bsp07.fkt
Datei: bsp08.fkt
= 1, 0, A = 0, h 0 (alle Punkte des Poisson-Prozesses werden
mit der Marke 0versehen)
=1,(t)=
(
A= 10, h(x) =
exp(t) fur t 0
exp(,t) fur t>0 ,
(
, 10,x
exp fur x A
5
0 fur x>A
(^= PktProz.fkt) =1,(t)=
A = 50, h(x) =
(
(
, 50,x
exp fur x A
25
0 fur x>A
(^= beispiel.fkt) =1,(t)=
A = 100, h(x) =
(
8
><
>:
exp , 50,x
25
, exp , 50,x
25
(
1 fur t 1
=1,(t)=
0:1 fur t

v. Simulation von Punkt-Prozessen mit beschranktem Speicher 137
Datei: bsp10.fkt =7:389, (t) =
A=1,h(x)=
Datei: bsp11.fkt =7:389, (t) =
(
A=0:1, h(x) =
Datei: bsp12.fkt =1:5, (t) =
Datei: bsp13.fkt =1:5, (t) =
(
8
><
>:
(
exp(jtj) fur ,2 t 2
exp(2) fur t2 ,
1,x fur x A
(
0 fur x>A
exp(jtj) fur ,2 t 2
exp(2) fur t2 ,
1 fur x A
0 fur x>A
0:1 fur t 0:1
t
fur 0:1 1:5
A=1,h(x) = exp(,x)
A=1,h(x)=
Datei: bsp14.fkt =1:5, (t) =
A=1,h(x)=
Datei: bsp15.fkt =1:5, (t) =
8
><
>:
(
8
><
>:
(
8
><
>:
A=3:141592654, h(x) =
0:1 fur t 0:1
t
fur 0:1 1:5
1,x fur x A
0 fur x>A
0:1 fur t 0:1
t
fur 0:1 1:5
1 fur x A
0 fur x>A
0:1 fur t 0:1
t
fur 0:1 1:5
sin(x)
,
,
,
,
fur x A
0 fur x>A
Datei: bsp16.fkt
(
=1,(t) = exp(,jtj),
, 10,x
exp fur x A
5
A = 10, h(x) =
0 fur x>A
(siehe auch Unterabschnitt 3))

Literaturverzeichnis
[Als96]
[Als98]
Gerold Alsmeyer. Skript zur Vorlesung Stochastische Prozesse. Universitat Munster,
1996.
Gerold Alsmeyer. Wahrscheinlichkeitstheorie. Skripten zur Mathematischen Statistik
Nr. 30. Universitat Munster, 1998.
[Asm87] Sren Asmussen. Applied Probability and Queues. Wiley Series in Probability and
Mathematical Statistics. John Wiley & Sons Chichester, 1987.
[Bau92] Heinz Bauer. Ma- und Integrationstheorie. de Gruyter Berlin, 1992.
[BB94]
Franois Baccelli and Pierre Bremaud. Elements of Queueing Theory. Springer Verlag
Berlin, 1994.
[BFL90] Andreas Brandt, Peter Franken, and Bernd Lisek. Stationary Stochastic Models. Wiley
Series in Probability and Mathematical Statistics. John Wiley & Sons Chichester, 1990.
[BM96]
Pierre Bremaud and Laurent Massoulie. Stability ofnonlinear Hawkes Processes. The
Annals of Probability, 24(3):1563{1588, 1996.
[Bre81] Pierre Bremaud. Point Processes and Queues. Springer Verlag New York, 1981.
[DVJ88] D.J. Daley and D. Vere-Jones. An Introduction to the Theory of Point Processes. Springer
Verlag New York, 1988.
[For76]
[Jac79]
[Kin93]
[Nev65]
Otto Forster. Analysis 1 Dierential- und Integralrechnung in einer Veranderlichen.
Grundkurs Mathematik, 4. Auage. Verlag Vieweg Braunschweig, 1976.
Jean Jacod. Calcul stochastique et problemes de martingales. Springer Verlag Berlin,
1979.
J.F.C. Kingman. Poisson Processes. Oxford Studies in Probability. Clarendorn Press
Oxford, 1993.
J. Neveu. Mathematical Foundations of the Calculus of Probability. Holden-Day San
Francisco, 1965.
iii

Symbolverzeichnis
B() Borelsche -Algebra auf ; S.2
B,B d ,B + ,B , Borelsche -Algebra auf R, R d ,[0;1) bzw. (,1; 0]; S. 2
(D1) Grundform der Dynamiken im univariaten Fall; S.12
(D2) Grundform der Dynamiken im K-variaten Fall; S. 13
(F t ) t2R
Filtration eines (markierten) Punkt-Prozesses ; S. 4
, F
N
t t2R
, F
U
t
t2R
Filtration eines (markierten) Punkt-Prozesses N; S. 4
Filtration der Marken (U n ) n2Z
(M;M) mebarer Raum der Radon-Mae auf R; S. 14
(M E ; M E ) mebarer Raum der Radon-Mae auf E; S. 14
eines markierten Punkt-Prozesses N; S. 4
(M 0 ; E M0 E
) mebarer Raum der ganzzahligen Radon-Mae auf E; S. 14
(M k ; M k ) mebarer Raum der Radon-Mae auf R k ;S.14
, ,
M R
k
; M , k R mebarer Raum der Radon-Mae auf R k ;S.14
(M 0 k ; M0 k ) mebarer Raum der ganzzahligen Radon-Mae auf Rk ; S. 14
(M(X); M(X)) mebarer Raum der Radon-Mae auf X; S.14
N, N 0 Menge der naturlichen Zahlen ohne (mit) Null; S. 2
N 0 Menge aller Punkt-Prozesse N, fur die (10.5) f.s. lokal integrierbar auf [0; 1)
ist; S. 51
N K 0
N = N [ f1g; S.2
Menge aller K-variaten Punkt-Prozesse N mit Intensitat ((t)) t2R, fur die
t 7! ,
E i (t)jF0
N f.s. lokal integrierbar auf [0; 1) ist (1 i K); S. 85
N Einschrankung des Punkt-Prozesses N auf R ;S.4, 7
(P , ) Anfangsbedingung; S.15
P (F t ) -Algebra der F t -vorhersagbaren Ereignisse (Kurzschreibweise); S. 5
P ,
(F t ) t2R
-Algebra der F t -vorhersagbaren Ereignisse; S. 5
P G (F t ) -Algebra der F t -progressiv mebaren Ereignisse (Kurzschreibweise); S. 5
,
P G (Ft ) t2R
-Algebra der F t -progressiv mebaren Ereignisse; S. 5
R + , R , positive bzw. negative reelle Achse inklusive Null; S. 2
S u (t) = (u + t); S.15
iv

Index
v
S t Shift-Operator; S.14, 15
(ST1) erste Bedingung fur Stabilitat; S.16
(ST2) zweite Bedingung fur Stabilitat; S.16
(ST2') alternative zweite Bedingung fur Stabilitat; S. 16
S t N = N ((t + ) \ R ); S. 15

Index
A
(F t -) adaptiert 4
Aktivitat
neuronale 13
Anfangsbedingung 15
angeregt 13
Anregungs-Funktion 13
Anregungs-Schwelle 13
Anregungsfuktion 13
D
Dynamik 12, 13
F
auf [0; 1) 16
mit beschranktem Speicher 38
Filtration 4
interne 4, 24
Funktion
G
anregende 13
Transfer 13
Gedachtnis
beschranktes 38
gehemmt 13
H
Hawkes-Proze
I
nichtlinearer 13
multivariater 13
multivariater nichtlinearer 13
in Ruhe 13
Intensitat 5, 7
auf [0; 1) 16
Intensitats-Ma 23
K
kanonischer Raum der Punkt-Prozesse 34
kausal 38
t -kompatibel 15
Konvergenz
in Variation 16
in Verteilung 15
schwache 15
vage 15
Kopplung 16
Kopplungsungleichung 17
M
Marken 4
-raum 4
mebar
progressiv 5
mebarer Flu 15
mischend 27
N
Netzwerk
neuronales 13
Neuron
Potential eines 13
P
Parameter-Ma 23
Poisson-Proze 23, 24
markierter 24
Potential 13
Punkt-Proze 3
bivariater 7
vi

Index
vii
der Spitzen 14
einfacher 3
Hawkes' 13
kanonischer Raum der ... e 34
(einfacher) markierter 4
multivariater 7
selbst-anregender 13
univariater 7
K-variater 7
wechselseitig anregender 13
Punkte 3, 7
R
Radon-Ma 5
S
Semi-Ring 28
Shift-Operator 14
Speicher
beschrankter 38, 77
Stabilitat
in Variation 16
in Verteilung 16
Stationaritat 15
T
transient 17
Translations-Operator 14
U
Ubertragungsfunktion 13
V
Voraussetzung 1 39
Voraussetzung 2 47
Voraussetzung 3 51
vorhersagbar 5

Hiermit versichere ich, da ich die vorliegende Arbeit selbstandig verfat habe und keine anderen
als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.
Munster, Januar 1999
Jurgen te Vrugt