Erweiterung des NMR-Versuchs im F-Praktikum um eine ...

2 Grundlagen der kernmagnetischen Resonanz 8
2.2 Magnetisierung
Die Magnetisierung ⃗ M eines Teilchenensembles wird durch die Summe der magnetischen
Momente ⃗µ im Probenvolumen V erzeugt.
⃗M =
N∑
i
⃗µ i
V
(2.1)
Im Fall des thermischen Gleichgewichtes lässt sich die
Besetzung der verschiedenen Zeeman-Niveaus mit einer
Boltzmann-Verteilung beschreiben:
M 0
m = 1 2
B 0
m = − 1 2
P (m I ) ∝ e −Emag(m I)/k B T
(2.2)
Durch die unterschiedlichen Besetzungen der Niveaus
entsteht eine Nettopolarisation des Kernensembles.
〈I z 〉 =
I∑
m I =−I
I∑
m I e −Emag(m I)/k B T
e −Emag(m I)/k B T
m I =−I
(2.3)
Diese Nettopolarisation erzeugt eine Nettomagnetisierung
der Teilchen.
Abb. 2.2: Magnetisierung
in Feldrichtung
Da bei Raumtemperatur E mag (m I ) < k B T gilt lässt sich die Gleichung unter Berücksichtigung
von (Gl. 1.24) und Entwicklung der Exponentialfunktion auf diese Gestalt bringen:
〈I z 〉 =
I∑
m I =−1
I∑
m I =−1
m I (1 + γm I B 0 /k B T )
(1 + γm I B 0 /k B T )
(2.4)
Mit weiteren Vereinfachungen führt dies letzendlich zu folgender Gleichung:
〈I z 〉 = γB ∑
0 M
2
I
k B T (2I + 1) = γ2 I(I + 1)B 0
3k B T
(2.5)
Der Kernspin ist mit dem Dipolmoment verknüpft und erzeugt ein Magnetfeld, es entsteht
also insgesamt eine Magnetisierung in Richtung des ⃗ B-Feldes.
Der Erwartungswert M z der Magnetisierung berechnet sich demnach aus der zuvor bestimmten
Polarisation, die verkürzt mit Hilfe der Kernspindichte n dargestellt wird.
M z =
n∑
i
µ z,i
V = nγ〈I z〉 (2.6)
Setzt man in diese Gleichung nun Gl. (2.4) ein erhält man einen Ausdruck für die Magnetisierung
in Feldrichtung im thermischem Gleichgewicht
M 0 = nγ2 2 I(I + 1)
B 0 (2.7)
3k B T