Erweiterung des NMR-Versuchs im F-Praktikum um eine ...

1 Physikalische Grundlagen 3
Da die magnetische Quantenzahl m j nur Werte im Intervall [−j, j] mit ∆m j = ±1 annehmen
kann, gibt es 2j + 1 mögliche Einstellungen der Projektion des Drehimpulses auf die
z-Achse, diese sind in Abb. 1.1 veranschaulicht.
Eine genauere Erläuterung der quantenmechanischen Betrachtung ist in [Schwabl, 2005]
zu finden.
1.2 Magnetisches Moment
So wie in der Elektrodynamik durch den Bahndrehimpuls ⃗ L eines geladenen Teilchens immer
auch ein magnetisches Dipolmoment ⃗µ induziert wird, zeigt sich, dass dies analog für
den Spin eines Teilchens gilt.
Im Bohrschen Atommodell besteht ein H-Atom aus einem Kern und einem auf einer Kreisbahn
um diesen rotierenden Elektron, dieses System lässt sich über das Modell einer geschlossenen
Leiterschleife darstellen.
In diesem Modell ergibt sich dann das magnetische Moment ⃗µ durch Multiplikation des
Kreisstromes I mit der eingeschlossenen Fläche A ( ⃗ A = A · d ⃗ f, gerichtete Fläche) aus der
nachfolgenden einfachen Rechnung:
⃗µ = I · ⃗A (1.6)
Durch die Rotation des Elektrons um den Kern wird
der Kreisstrom I im Rand der Fläche A erzeugt:
⃗µ
I = p t = −eω 2π
(1.7)
Dabei ist ω die Kreisfrequenz der Rotation und e die
Elementarladung. Die eingeschlossene Fläche, die für
die Berechnung des magnetischen Momentes notwendig
ist, berechnet sich wie aus der klassischen Mechanik
bekannt:
e −
⃗r
A
⃗p
| L| ⃗ = |⃗r × ⃗p| = mωr 2 (1.8)
A = πr 2 = − πL
(1.9)
mω
Für Elektronen der Masse m e folgt daraus ein magnetisches
Moment von:
⃗µ = −I · ⃗A = − e
2m e
⃗ L = −
µ B
⃗ L (1.10)
⃗L
Abb. 1.2: Elektron
im Bohrschen
Atommodell
Die Verwendung des Bohrsches Magneton µ B =
e
2m e
ist allgemein üblich und findet sich in den gängigen Lehrbüchern wieder. Der Betrag des
magnetischen Momentes verhält sich proportional zu dem des Bahndrehimpulses L, ⃗ der
Vektor ist allerdings durch die negative Ladung antiparallel zu diesem ausgerichtet. Dieser
geometrische Sachverhalt wird durch (Abb. 1.2) veranschaulicht.