Erweiterung des NMR-Versuchs im F-Praktikum um eine ...

3 Methoden der NMR und ihre Unterschiede 16
Berechnet man nun die Fourier-Transformation dieser Funktion erhält man für das Frequenzspektrum:
− T P
∫ 2
∫−∞
û(ω) = u(t) · e −iωt dt = A 0 e −(Ω−ω)t dt (3.4a)
∞
T P2
= A )
0
(e i(Ω−ω) T P
2 − e −i(Ω−ω) T P
2 (3.4b)
i(Ω − ω
sin ( )
(Ω − ω) T P
= 2A 2
0 (3.4c)
Ω − ω
Die Energiedichte, also die Energie dE pro Frequenzintervall dω ergibt sich zu:
(
dE
dω = 2P ( )) RF sin (Ω − ω)
T 2 P2
(3.5)
π Ω − ω
Mit der Leistung P RF des Radiofrequenzpulses.
Die maximale Energiedichte des Pulses liegt nun bei Ω.
dE
dω (Ω) = P RF TP
2
2π
Damit ist die Halbwertsbreite des Hauptmaximums gegeben durch:
Γ ω =
5, 566
T P
bzw. Γ ν =
(3.6)
8, 886
T P
(3.7)
Die Halbwertszeit verhält sich antiproportional zur Pulszeit, je kürzer der Puls also ist,
desto größer ist die Verbreiterung des Frequenzspektrums (siehe Abb. 3.1).
Als zweite Möglichkeit kann man die Grundschwingung der Frequenz ω mit einer Sinus-
Cardinalis-Funktion modulieren:
sinc(x) = sinx
x
Prinzipiell erfüllen beide Möglichkeiten die Anforderung ein verbreitertes Anregungsspektrum
zu liefern, es wird jedoch meist die erste verwendet, da mit der zweiten häufig ein
starkes Rauschen einhergeht.
(3.8)
3.2.2 Freier Induktionszerfall FID
Das Auslenken der Magnetisierung von der z-Achse weg erzeugt eine transversale Komponente
der Magnetisierung M ⊥ , die nach Ende des Pulses um die Magnetfeldachse präzediert.
M ⊥ = M ⊥,0 · (sin(ωt)⃗e x + cos(ωt)⃗e y ) (3.9)
Für kleine Auslenkungen ist die transversale Magnetisierung proportional zur ursprünglichen
Magnetisierung in Feldrichtung:
M ⊥ = M z sin(θ) kleine θ
−−−−→ M ⊥
M z
= θ (3.10)