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30 4 DER SEEDED-REGION-GROWING ANSATZ terscheidung der Lage eines Pixels (innen oder außen) wird die Funktion L : Ω ↦→ [−a, a] verwendet. L(x, y) entspricht einem Zugriff auf das Label eines Pixels (x, y). Ein positives Label indiziert einen innen liegenden Pixel und ein negatives Label folglich einen äußeren Punkt. Die am Anfang des Absatzes erwähnten Mittelwerte berechnen sich durch das Aufsummieren über die jeweilige Teilmenge N in bzw. N out , dividiert durch die Kardinalität dieser Mengen (siehe Gleichung 4.1). µ in (p) = 1 ‖N in ‖ · µ out (p) = 1 ‖N out ‖ · ∑ I(x, y) (x,y)∈N in ∑ I(x, y) (x,y)∈N out (4.1) Die Berechnung der Mittelwerte erfolgt analog zu einem 2-Means-Clustering. Bei einer Veränderung des Konturverlaufs ändert sich auch die Zusammensetzung der Teilmengen N in/out für einen bestimmten Pixel. Mit zunehmender Konturentwicklung passt sich der Konturverlauf so an, dass eine optimale Zuordnung der Bildpixel in den inneren bzw. äußeren Bereich stattfindet. Es sei angemerkt, dass diese 2-Means-Klassifikation nicht zwangsläufig einer optimalen Zellform entsprechen muss. Anhand der Werte µ in/out wird nun eine Gaußsche Normalverteilung verwendet, um die Abweichung der Intensität des Pixels p von den Mittelwerten zu bestimmen (siehe Gleichung 4.2). Als Erwartungswert µ für die Gaußverteilung werden die vorher berechneten Mittelwerte µ in bzw. µ out angenommen. Das Ergebnis der beiden Gaußverteilungen p in und p out ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte und dient als ein Maß für die Abweichung der Intensität von p von den Mittelwerten. Je weiter die Intensität I(p) vom Mittelwert µ in/out abweicht, desto kleiner das Resultat von p in/out (siehe Abb. 8). Der Wert ǫ in der Gleichung für p out stellt sicher, dass die Region eher zu einem Wachstum neigt. Für den Fall, dass die beiden Mittelwerte µ in/out fast identisch sind, sorgt ǫ dafür, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte p in höhere Werte liefert. Daraus resultiert eine leicht erhöhte Wahrscheinlichkeit, dass ein Pixel (x,y) eher zum inneren Regionsbereich gezählt wird. p in (p) = √ 1 · exp (− (I(p) − µ in(p)) 2 ) 2πσ 2σ 2 p out (p) = 1 √ 2πσ · exp ( − (I(p) − µ out(p)) 2 + ǫ 2σ 2 ) (4.2)
4.2 Regionswachstum 31 Abbildung 8: Funktionsbilder der Gleichungen aus dem Regionswachstum. (Labelberechnung) Ausgehend von den Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus Gleichung (4.2) können wir nun eine Kostenfunktion E D (c) formulieren, die für eine Zellregion c die Güte des Konturverlaufs bewertet. Damit die Energiefunktion E D für die Lösung eines Energieminimierungsproblems geeignet ist, müssen p in und p out negativ logarithmiert werden. Wie in den Funktionsbildern in Abb. (8) zu sehen ist, erhält man durch Anwendung des negativen Logarithmus jeweils quadratische Funktionen für p in und p out . Die Gleichungen für −logp in/out können auch als (I(p) − µ in/out ) 2 approximiert werden. Wie in Gleichung (4.4) ersichtlich ist, wird auf die logarithmierten Wahrscheinlichkeitsdichten die Heaviside-Funktion H mit H : R ↦→ 0, 1 angewandt. Die Funktion H(x) ist eine in der Bildverarbeitung häufig anzutreffende Gewichtungsfunktion, deren mathematische Definition für in Gleichung 4.3 vorhanden ist. ⎧ ⎨ H(x) = ⎩ 1 wenn x > 0 0 wenn x ≤ 0 (4.3)
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